培优09 三角函数、平面向量与解三角形的综合8大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优09 三角函数、平面向量、解三角形的综合（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 三角函数与三角变换的综合（跨章节） 题型02 三角变换与平面向量的综合（跨章节） 题型03 三角变换与解三角形的综合（跨章节） 题型04 平面向量与三角函数的综合（跨章节） 题型05 平面向量与解三角形的综合（跨章节） 题型06 三角函数与解三角形的综合（跨章节） 题型07 平面向量、三角函数与解三角形的综合（跨章节） 题型08 创新题型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角函数的图象与性质 熟记公式图象性质，掌握奇偶周期最值，熟练变换化简，能快速处理基础题型. 选择填空高频考查，侧重图象性质、恒等变换，难度中等，分值稳定 平面向量 熟记公式图象性质，掌握奇偶周期最值，熟练变换化简，能快速处理基础题型 选择填空高频考查，侧重图象性质、恒等变换，难度中等，分值稳定 解三角形 吃透运算法则与坐标运算，掌握夹角模长计算，活用向量几何意义 常结合几何、函数出题，小题为主，偶融合解答题，考点固定 平面向量 灵活运用正余弦定理，熟练求解边角、面积，适配实际建模题型 必考解答小题，多结合最值范围问题，题型常规，套路性较强 知识点01平面向量 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 2. 零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 3. 单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量. 4. 相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关. 5. 相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量记为-a. 6. 向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律. 7. 向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则. 8. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积为λa，模为|λ|·a |，方向由λ的符号决定. 9. 向量数乘的性质：λ(μa)=(λμ) a；(λ+μ)a=λa+μa；λ(a +b)=λa +λb. 10. 向量共线的充要条件：非零向量a与b共线⇔存在唯一实数λ，使得b=λa. 11. 向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角，θ∈[0,π]），结果为实数. 12. 数量积的性质：a·a=|a|²；a⊥b⇔a·b=0（a,b为非零向量）；|a·b|≤|a||b|. 13. 向量数量积的运算律：a·b=b·a；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(a+b)·c=a·c+b·c. 14. 平面向量的坐标表示：若a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂). 15. 向量数乘的坐标运算：λa=(λx₁,λy₁)；向量数量积的坐标运算：a·b=x₁x₂+y₁y₂. 16. 向量夹角的坐标计算公式：cos θ＝（a,b非零）. 17．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 18.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 19.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 20.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 21.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 22.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. (3)向量a在向量b上的投影向量为·. 知识点02 解三角形 1. 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 2. 正弦定理：（R为三角形外接圆半径）. 3．正弦定理的变形： 4. 余弦定理： 5. 余弦定理的变形：， 6.三角形面积公式: ，并可由 可由此计算． 题型一 三角函数与三角变换的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先化简解析式，借助诱导、和差、二倍角公式统一角度与函数名.再转化为正弦余弦标准型，分析周期、单调性、最值与对称轴.遇范围问题结合图像定区间，利用换元法简化计算.求值问题优先锁定角的范围，规避增根，结合不等式求解参数. 【典例1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为；(3) 【详解】（1）， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 【变式1-1】（2026·广东茂名·二模）若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【详解】由题意可得：， 因为函数图象的一条对称轴是， 则，，解得，， 又因为，，则， 若函数在上有唯一零点，则，解得， 即，可得， 所以的最小值为. 【变式1-2】（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由辅助角公式得， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； （2）当时，， 由正弦函数性质得， 因此， 即函数的值域为； （3）由题意可得，即， 因为，则， 要使方程有3个不同的实数根， 由正弦函数性质可知，，解得， 所以实数的取值范围. 题型二 三角变换与平面向量的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先依托向量坐标、数量积公式列式，转化为三角关系式.运用三角恒等变换化简式子，统一函数与角度.结合向量模长、夹角、垂直平行性质列条件.根据角的范围判定函数取值，求解最值、参数与角度问题，把控取值边界避免出错. 【典例2】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，. (1)若，求； (2)若，已知，求. 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以. （2）因为， 所以由，得， 因为，所以， 所以， 令，则，，， 所以，， 所以. 【变式2-1】平面直角坐标系xOy中，设定点，若当点Q在直线上运动时，的值始终保持不变，则θ的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点Q在直线上，可设点， 所以, 可得， 因为的值始终保持不变，可知取值与无关， 即，又，可得. 故选：D 【变式2-2】（25-26高一下·上海普陀·期中）已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 【答案】 【详解】因，，则在方向上的投影为 ，因，则，故，故在方向上的投影的取值范围是 题型三 三角变换与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先利用边角互化，借助正、余弦定理统一边或角.运用三角公式化简关系式，梳理角度关联.结合内角范围限定取值，求解边长、角度与面积.针对最值范围题型，结合函数性质或不等式分析，验证结果合理性. 【典例3】（福建泉州外国语学校等校2026届高三下学期5月联考数学试卷）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， ，，，， ，． （2）因为边上的高为，所以， 由（1）知，所以， 因此，即①. 又由余弦定理，，，② 又因为，得代入②，， 所以，，解得或（舍去）. 再由②和①得， 因此，所以. 的周长为． 【变式3-1】已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件，得， ， ， , 故选：C. 【变式3-2】（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 题型四 平面向量与三角函数的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 利用向量坐标运算、数量积转化为三角表达式，再用三角公式化简.结合向量平行、垂直、模长、夹角等条件列等式.将式子化为正弦、余弦标准形式，结合角的范围，求解单调性、最值、参数等问题，注意角度取值限制. 【典例4】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； (3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，求出最小正周期； （2）由正弦曲线的图象特征确定不等关系，求出的取值范围； （3）先画出在区间上的图象，并换元，转化为关于的方程的根的个数问题，分情况讨论，求出答案 【详解】（1） ，所以函数的最小正周期. （2）由题意得变换后的函数解析式为， 当， 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故， 解得，所以的取值范围为. （3）当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根， 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立， 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 【变式4-1】（多选）已知向量.则函数下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数在区间上最小值为，此时.， C．的最大值为 D．为的一个零点 【答案】ABC 【解析】 对于A，，知最小正周期为，故A正确； 对于BC，则，可得，当时取得最小值，故BC正确； 对于D，令，解得，令，此时，故D错误. 故选：ABC 【变式4-2】（25-26高一下·辽宁大连·期中）若函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①当时，的最大值为，求的值； ②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①，；②. 【详解】（1）由图可知， ，可得，则 由，则，，得，， 又，则，故； （2）①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，周期为， 当，令，则，区间长度为. 的最大值等于区间内的最大值减最小值， 由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足. 因此，或， 解得，或， 综上所述， ②设， 因为，，， 所以，， ， 因为，所以，于是有， 所以， 所以的取值范围是. 题型五 平面向量与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 结合向量线性运算、数量积翻译条件，转化为边角关系.利用正、余弦定理实现边角互化，再结合三角公式化简.依托三角形内角范围、三边关系约束取值，求解边长、角度、面积及最值，留意隐含条件防出错. 【典例5】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)12 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 【变式5-1】已知向量，，设函数． (1)化简； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1） （2）， 由，则，则， 则 ； （3），又为锐角三角形，所以，则， 则 在锐角中，，即， 所以， 所以，则， 所以的取值范围是 【变式5-2】（2026·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． (1)求c． (2)设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为，，， ， 所以. （2）（ⅰ）如图，作出符合题意的图形， ， 平分，， ， ，即，. （ⅱ）如图，作出符合题意的图形， ，， 是 边上的中点，, 而平分，由角平分线定理得到， 且 ， 由（ⅰ）知，故. 题型六 三角函数与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先利用三角恒等变换化简已知条件，再结合正、余弦定理完成边角互化.依托三角形内角和、角的范围缩小取值区间，求解边角、面积.遇到最值、范围问题，可结合三角函数性质或基本不等式分析，最后检验结果是否符合三角形隐含条件. 【典例6】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知函数（，，）的部分图象如图， (1)求函数的最小正周期T； (2)在中，，D是的中点，，设，,，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）由图可知，，，解得，．∴， ∵，∴．∴， ∵，∴． ∵，即，∴． 设，． ∵，∴， ∵，， ∴分别在和中，由余弦定理得， ∴． 在中，由余弦定理得． ∴，∴（舍），或，即． 所以，的面积为 【变式6-1】已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)2；；(2) 【解析】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 【变式6-2】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)2 【详解】（1）函数， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）得，由，得， 由，得，则，解得， 由的面积为，得，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此，所以a的最小值为2. 题型七 平面向量、三角函数与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先将向量条件通过数量积、坐标运算转化为三角或边角关系式，再用三角公式化简.借助正、余弦定理完成边角互化，结合三角形内角范围、三边关系限定取值.对于边角、面积、最值问题，往往借助基本不等式或三角函数知识求解. 【典例7】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，且， (1)求函数的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 ， 即 ， 整理得， 令，则， 解得， 即的单调递减区间为； （2） ， 即， 因为为三角形内角，故，则， 因此，解得， 由题意知，三角形面积， 由面积公式 ，代入得 解得， 由余弦定理，代入已知条件得： ， 整理得，因此 ，， 即. 【变式7-1】（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 【变式7-2】已知，，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由，， 则函数； （2）由（1）得， 则， 即， 又，所以， 所以， 则； （3）由（1），即， 又，， 所以，即， 又在中，由正弦定理可知， 即，， 则三角形的周长为， 又，即， 所以， 则， 即， 即周长的取值范围为. 题型八 创新题型 解｜题｜技｜巧 1．劣构题：从中选择一个把握性较大的条件，再从该条件出发，解决问题. 2．新定义题：读懂新定义，再利用新定义和三角函数、平面向量、解三角形知识解决. 【典例8-1】（2026·北京丰台·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)若选②，，若选③，， 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择条件，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由余弦定理得， 因为，可得. （2）解：选择条件①：，且 由正弦定理，可得， 因为，所以这样的不存在； 选择条件②，因为，且， 所以，则， 由，可得， 因为，所以，解得，所以 由正弦定理，可得， 设边上的高为，可得的面积为，所以， 因为，可得， 又因为，可得，所以. 选择条件③：由， 根据向量的数量积的公式，可得，所以， 因为且，所以，解得， 由余弦定理， 可得，所以 设边上的高为，可得的面积为，所以， 所以. 【典例8-2】（25-26高一下·重庆·期中）定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“互助函数”，向量为函数的“互助向量”. (1)已知，若函数的“互助向量”为，求的最大值； (2)向量为函数的“互助向量”，的一条边长度等于的最大值，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，求这三个半圆围成的平面区域上任意两点间距离的最大值； (3)若函数为向量的“互助函数”，，.判断，，能否作为三边长？若能，给出证明；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，证明见解析 【分析】（1）根据“互助向量”得到，利用向量减法求出，结合向量的模及辅助角公式求解即可. （2）利用辅助角公式得到，结合三角形面积公式得到，根据余弦定理得到；根据三角形中位线及圆的性质得到，结合基本不等式求解即可. （3）根据题意可设，，，结合放缩法及三角恒等变换得到两边之和大于第三边，即可得证. 【详解】（1）因为函数， 所以其“互助向量”，所以. 所以 . 当时，取得最大值，为. （2）由题意知，，其中，. 所以，设内角所对的边长分别为， 由三角形的面积公式可得， 即，又，所以，所以. 由余弦定理得，所以. 不妨设边上的中点分别为，在上取一点，在上取一点， 由两点间线段最短可得， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以距离的最大值， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以两点间距离的最大值为. （3）能作为三边长. 证明：因为函数为向量的“互助函数”，所以， 令，，， 因为.所以， ； ， 又，所以，即，故； 同理可证得：， 即任意两边之和大于第三边，所以能作为三边长. 【变式8-1】（2026·北京昌平·二模）在△中，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的值． 条件①：△的面积为，； 条件②：，； 条件③：AB边上的高为，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件①：；选条件②无效；选条件③：； 【详解】（1）由正弦定理及， 得. 整理得 因为，所以. 所以. 因为在中，，所以. 因为，所以. （2）选条件①：的面积为，. 由（1）知，又由题知， 所以. 因为，所以，. 由余弦定理得， 所以 选条件②：，； ，. 则 代入得或 所以三角形不唯一确定，条件②无效 选条件③：AB边上的高为，． 因为，，所以. 因为, 所以. 因为AB边上的高为，所以，所以. 【变式8-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. (1)设向量的“积函数”为，若且，求的值； (2)若向量的“积函数”满足，求的值； (3)已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）依题意，， 则，由，得，则， 所以. （2）向量的“积函数”为， 令，则 ， 于是，，即，， 所以. （3）设，， 则 于是 ， 而， 当且仅当存在使得时取等号，，， 两式相减得，则，，即， 因此， 所以. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1.（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 所以， 在中，有， 故． 2．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 4．（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）由，，且，得， 由正弦定理得，而，则， ，又，所以. （2）在中，，，由正弦定理得， 由，设，又为锐角三角形，则， 而， 因此 所以周长的取值范围是. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（多选）（2026·山东青岛·二模）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 【答案】BCD 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到，故A不正确， 的对称轴满足，即，当时，，即直线是曲线的对称轴，故B正确； 令，解得：， 当时，，所以在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数是奇函数，故D正确. 2．(多选)（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（    ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC 【详解】对A，由余弦定理得， 又， 所以，即， 所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即， 又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形， 若，又，则，不是，D错误. 3．（2026·辽宁·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】(1);(2);(3) 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形. (1)求的解析式 (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， 为图象的最高点，则的纵坐标为2， 又为等腰直角三角形，则为的纵坐标的2倍，即， 且，解得，则，解得， 则. （2）=2， ， ， 取图像中最靠近原点的最高点，即， 得：，解得，即， ，即，化简得， 可得：， 当时：，解得，即零点， 当时：，解得，即零点， ， ， . 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1.（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围（即的三边）设置木质护栏.在Rt中，，，点，在斜边上，且.    (1)当时，求木质护栏的长度； (2)设，请用表示水景庭院的面积，并求的最小值. 【答案】(1)米 (2)平方米 【详解】（1）由题意可得，，且N点为BC的中点， 因为，所以为等边三角形， 故， 则， 故， 因此， 故木质护栏的长度为米. （2）由题意可知， 由正弦定理得，， 同理在解得， ， 化简， ， ，得出， 故当时，平方米 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，， (1)求； (2)求； (3)设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)4；(2)；(3) 【详解】（1）由，得, 即， 由于，所以， 则，即. 由正弦定理，得. （2）由于为边上的中点，所以， 则， 所以. （3）设，，， 所以，. 由于，所以. 由于、、三点共线，可得，所以. 由于 ； 由题意知，而， 所以. 由于. 所以 . 由于，而，所以， 则，所以， 所以. 3．（25-26高一下·上海静安·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 【答案】(1);(2);(3)证明见解析 【详解】（1）由题意得 ， . （2）∵函数为向量的伴随函数， ， ，或. 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， ，即. 由余弦定理，得， 得，即． （3）证明：先证必要性．由题可知， ， 设，， ， ， . 再证充分性．由， 设，，则， ， 因为，，， 又因为，，得到， 根据，得. 综上，向量的充要条件是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优09 三角函数、平面向量、解三角形的综合 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 三角函数与三角变换的综合（跨章节） 题型02 三角变换与平面向量的综合（跨章节） 题型03 三角变换与解三角形的综合（跨章节） 题型04 平面向量与三角函数的综合（跨章节） 题型05 平面向量与解三角形的综合（跨章节） 题型06 三角函数与解三角形的综合（跨章节） 题型07 平面向量、三角函数与解三角形的综合（跨章节） 题型08 创新题型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角函数的图象与性质 熟记公式图象性质，掌握奇偶周期最值，熟练变换化简，能快速处理基础题型. 选择填空高频考查，侧重图象性质、恒等变换，难度中等，分值稳定 平面向量 熟记公式图象性质，掌握奇偶周期最值，熟练变换化简，能快速处理基础题型 选择填空高频考查，侧重图象性质、恒等变换，难度中等，分值稳定 解三角形 吃透运算法则与坐标运算，掌握夹角模长计算，活用向量几何意义 常结合几何、函数出题，小题为主，偶融合解答题，考点固定 平面向量 灵活运用正余弦定理，熟练求解边角、面积，适配实际建模题型 必考解答小题，多结合最值范围问题，题型常规，套路性较强 知识点01平面向量 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 2. 零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 3. 单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量. 4. 相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关. 5. 相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量记为-a. 6. 向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律. 7. 向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则. 8. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积为λa，模为|λ|·a |，方向由λ的符号决定. 9. 向量数乘的性质：λ(μa)=(λμ) a；(λ+μ)a=λa+μa；λ(a +b)=λa +λb. 10. 向量共线的充要条件：非零向量a与b共线⇔存在唯一实数λ，使得b=λa. 11. 向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角，θ∈[0,π]），结果为实数. 12. 数量积的性质：a·a=|a|²；a⊥b⇔a·b=0（a,b为非零向量）；|a·b|≤|a||b|. 13. 向量数量积的运算律：a·b=b·a；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(a+b)·c=a·c+b·c. 14. 平面向量的坐标表示：若a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂). 15. 向量数乘的坐标运算：λa=(λx₁,λy₁)；向量数量积的坐标运算：a·b=x₁x₂+y₁y₂. 16. 向量夹角的坐标计算公式：cos θ＝（a,b非零）. 17．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 18.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 19.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 20.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 21.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 22.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. (3)向量a在向量b上的投影向量为·. 知识点02 解三角形 1. 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 2. 正弦定理：（R为三角形外接圆半径）. 3．正弦定理的变形： 4. 余弦定理： 5. 余弦定理的变形：， 6.三角形面积公式: ，并可由 可由此计算． 题型一 三角函数与三角变换的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先化简解析式，借助诱导、和差、二倍角公式统一角度与函数名.再转化为正弦余弦标准型，分析周期、单调性、最值与对称轴.遇范围问题结合图像定区间，利用换元法简化计算.求值问题优先锁定角的范围，规避增根，结合不等式求解参数. 【典例1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【变式1-1】（2026·广东茂名·二模）若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 【变式1-2】（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 题型二 三角变换与平面向量的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先依托向量坐标、数量积公式列式，转化为三角关系式.运用三角恒等变换化简式子，统一函数与角度.结合向量模长、夹角、垂直平行性质列条件.根据角的范围判定函数取值，求解最值、参数与角度问题，把控取值边界避免出错. 【典例2】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，. (1)若，求； (2)若，已知，求. 【变式2-1】平面直角坐标系xOy中，设定点，若当点Q在直线上运动时，的值始终保持不变，则θ的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·上海普陀·期中）已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 题型三 三角变换与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先利用边角互化，借助正、余弦定理统一边或角.运用三角公式化简关系式，梳理角度关联.结合内角范围限定取值，求解边长、角度与面积.针对最值范围题型，结合函数性质或不等式分析，验证结果合理性. 【典例3】（福建泉州外国语学校等校2026届高三下学期5月联考数学试卷）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设，且边上的高为，求的周长． 【变式3-1】已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 题型四 平面向量与三角函数的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 利用向量坐标运算、数量积转化为三角表达式，再用三角公式化简.结合向量平行、垂直、模长、夹角等条件列等式.将式子化为正弦、余弦标准形式，结合角的范围，求解单调性、最值、参数等问题，注意角度取值限制. 【典例4】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； (3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【变式4-1】（多选）已知向量.则函数下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数在区间上最小值为，此时.， C．的最大值为 D．为的一个零点 【变式4-2】（25-26高一下·辽宁大连·期中）若函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①当时，的最大值为，求的值； ②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围. 题型五 平面向量与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 结合向量线性运算、数量积翻译条件，转化为边角关系.利用正、余弦定理实现边角互化，再结合三角公式化简.依托三角形内角范围、三边关系约束取值，求解边长、角度、面积及最值，留意隐含条件防出错. 【典例5】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【变式5-1】已知向量，，设函数． (1)化简； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【变式5-2】（2026·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． (1)求c． (2)设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 题型六 三角函数与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先利用三角恒等变换化简已知条件，再结合正、余弦定理完成边角互化.依托三角形内角和、角的范围缩小取值区间，求解边角、面积.遇到最值、范围问题，可结合三角函数性质或基本不等式分析，最后检验结果是否符合三角形隐含条件. 【典例6】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知函数（，，）的部分图象如图， (1)求函数的最小正周期T； (2)在中，，D是的中点，，设，,，求的面积． 【变式6-1】已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【变式6-2】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 题型七 平面向量、三角函数与解三角形的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先将向量条件通过数量积、坐标运算转化为三角或边角关系式，再用三角公式化简.借助正、余弦定理完成边角互化，结合三角形内角范围、三边关系限定取值.对于边角、面积、最值问题，往往借助基本不等式或三角函数知识求解. 【典例7】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，且， (1)求函数的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 【变式7-1】（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【变式7-2】已知，，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 题型八 创新题型 解｜题｜技｜巧 1．劣构题：从中选择一个把握性较大的条件，再从该条件出发，解决问题. 2．新定义题：读懂新定义，再利用新定义和三角函数、平面向量、解三角形知识解决. 【典例8-1】（2026·北京丰台·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【典例8-2】（25-26高一下·重庆·期中）定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“互助函数”，向量为函数的“互助向量”. (1)已知，若函数的“互助向量”为，求的最大值； (2)向量为函数的“互助向量”，的一条边长度等于的最大值，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，求这三个半圆围成的平面区域上任意两点间距离的最大值； (3)若函数为向量的“互助函数”，，.判断，，能否作为三边长？若能，给出证明；若不能，请说明理由. 【变式8-1】（2026·北京昌平·二模）在△中，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的值． 条件①：△的面积为，； 条件②：，； 条件③：AB边上的高为，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式8-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. (1)设向量的“积函数”为，若且，求的值； (2)若向量的“积函数”满足，求的值； (3)已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1.（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（多选）（2026·山东青岛·二模）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 2．(多选)（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（    ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 3．（2026·辽宁·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形. (1)求的解析式 (2)求的值. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1.（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围（即的三边）设置木质护栏.在Rt中，，，点，在斜边上，且.    (1)当时，求木质护栏的长度； (2)设，请用表示水景庭院的面积，并求的最小值. 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，， (1)求； (2)求； (3)设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围. 3．（25-26高一下·上海静安·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $