10.2 事件的相互独立性课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件核心内容为事件的相互独立性，通过抛硬币、有放回摸球两个试验导入，先复习概率基本性质，引导观察事件是否相互影响，从具体实例抽象出定义，构建学习支架。 其亮点是以试验探究为基础，结合古典概型实例（如不放回摸球与有放回对比），培养数学抽象与运算能力，通过辨析互斥、对立与独立事件公式强化应用。课堂小结明确概念与判断方法，助力学生理解，教师可高效教学。

讲课人： 日期： 10.2 事件的相互独立性 学习目标 学习目标 核心素养 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.（重点） 数学抽象 2.结合古典概型，利用独立性计算概率，并能解决一些简单问题.（难点） 数学运算 数学应用 复习回顾 概率的基本性质 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6 对任意的事件A,都有P(A)≥0 必然事件的概率为1,即P(Ω)=1 不可能事件的概率为0,即P(Ø)=0 互斥事件的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B) 对立事件的概率,即P(A)=1-P(B), P(B)=1-P(A) 概率的单调性,如果A⊆B,那么P(A)≤P(B) 概率的单调性,如果A⊆B,那么P(A)≤P(B) 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2:一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”. 探索新知 对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率． 在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用 0 表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} ，包含4个等可能的样本点．而A={(1,1) , (1,0)}，B={(1,0),(0,0)} ，所以AB={(1,0)} ．由古典概型概率计算公式，得 于是 P(AB)=P(A)P(B) 积事件AB的概率 P(AB) 恰好等于 P(A) 与 P(B) 的乘积． 探索新知 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率. 在试验 2 中，样本空间Ω={(m,n)∣m,n∈{1,2,3,4}} ，而 A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}, B= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, 所以 于是也有 P(AB)=P(A)P(B) 积事件AB的概率 P(AB) 也等于 P(A) 与 P(B) 的乘积． 探索新知 相互独立的概念 对任意两个事件 A 与 B ，如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立． 特殊的两个独立事件——不可能事件与必然事件 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω ，不可能事件都与任意事件相互独立．这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响．当然，它们也不影响其他事件是否发生． 我们知道，如果三个事件A,B,C 两两互斥，那么概率加法公式 P(A∪B∪C) =P(A)+P(B)+ P(C) 成立．但当三个事件A,B,C 两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 一般不成立． 探索新知 互斥事件、对立事件与独立事件公式辨析 互斥事件的公式： 对立事件的公式： 独立事件的公式： 探索新知 所以 典例分析 例 1 一个袋子中有标号分别为 1,2,3,4 的 4 个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件 A=＂第一次摸出球的标号小于 3 ＂，事件 B= ＂第二次摸出球的标号小于 3 ＂，那么事件 A 与事件 B 是否相互独立？ 因为样本空间 Ω={(m,n)∣m,n∈{1,2,3,4},且 m≠n} ， A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}, B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, 所以 此时 P(AB)≠P(A)P(B) ，因此，事件 A 与事件 B 不独立． 探索新知 典例分析 典例分析 典例分析 探索新知 探索新知 典例分析 典例分析 探索新知 课堂小结 1.相互独立的概念 2.判断相互独立的方法 课堂检测 D 课堂检测 D 课堂检测 C 课堂检测 A 课后作业 课本第252页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 问题：分别计算 ， ， ，你有什么发现？ 问题：分别计算 ， ， ，你有什么发现？ 探究：如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？A与 ， 与B， 与 是否独立？ 对于A与 ，因为 ，而且AB与 互斥，所以 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT 由事件的独立性定义，A与 相互独立． 类似地，可以证明事件 与B， 与 也都相互独立． ， . 【变式练习1】　从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设A＝“抽到老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ 由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽到红牌”，且抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K， 故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件， 以下考虑它们是否互为独立事件： 抽到老K的概率为P(A)＝＝， 抽到红牌的概率P(B)＝＝， 故P(A)P(B)＝×＝， 事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽到红桃老K或方块老K”， 故P(AB)＝＝，从而有P(A)·P(B)＝P(AB) 因此A与B互为独立事件. 【变式练习2】　某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率. 解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”， 则C＝(A)∪(B)，D＝C∪(AB). P(B)＝1－P()＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96， 所以两件都是正品的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912. (2)由于事件A与B互斥，所以恰有一件是正品的概率为 P(C)＝P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (1)由题意知，A与B是相互独立事件， (3)由于事件AB与C互斥， 所以P(D)＝P[(AB)∪C]＝P(AB)＋P(C) ＝0.912＋0.086＝0.998. 【变式训练3】　设事件A与事件B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率都是，求P(A)、P(B). 解 只有A发生，即A发生；只有B发生，即B发生.因为A，B相互独立， 所以与B，与A也相互独立. 所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝， P(B)＝P()P(B)＝P(B)[1－P(A)]＝， 即 1.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现偶数点”， “第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是( ) A.A与B互斥 B.A与B互为对立 C.A与B相等 D.A与B相互独立 解析：事件A与B能同时发生，如第一枚的点数2，第二枚的点数为1，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ， ， ， ，因为 ，所以A与B独立，故选项D正确；事件A与B不相等，故选项C错误.故选：D. 2.“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多.假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为 ，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为( ) A. B. C. D.0.936 解析：“至少有一人解决该问题”的对立事件为“三人都未解决”，故所求的概率为 . 4.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设 “甲中靶”， “乙中靶”，则( ) A.A与B，A与 ， 与B， 与 都相互独立 B. 与 是对立事件 C. D. $