10.3 频率与概率 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10．3　频率与概率 要点整合夯基础 课堂达标练经典 课时作业 典例讲解破题型 核心素养培优 [课标解读]1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.了解概率的意义以及频率与概率的区别.3.学会用随机模拟法估计概率． [素养目标] 水平一：1.随机事件的不确定性和频率的稳定性.2.频率与概率的区别． 水平二：1.通过对概率概念的理解，体现了数学抽象的素养.2.借助对概率的实际问题求解，提升数学运算的素养. 知识点一　　频率与概率 [填一填] 1．频率的稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为______________因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 频率的稳定性． 2．频率与概率的区别与联系 (1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的，试验前是______________ (2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将eq \f(nA,n)作为事件A发生的概率的近似值，即______________. (3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率，任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 不能确定的． P(A)＝eq \f(nA,n) [答一答] 1．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是(　 　) A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市明天将有70%的时间降雨 C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨 　C　 解析：气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，则本市明天降雨的可能性比较大．与降水地区面积和降水时间无关，所以A，B错误．降水概率是事件发生的可能，不是一定会发生的事情，所以D错误．而由降水概率是70%，可知降水概率较大，所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大，所以C正确. 知识点二　　随机模拟 [填一填] 1．随机模拟产生的原因 用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现． 2．随机模拟的方法 利用计算器或计算软件产生随机数(根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验)． [答一答] 2．用计算机或计算器模拟试验(蒙特卡洛法)的步骤是什么？ 提示：①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； ②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N； ③计算频率fn(A)＝eq \f(M,N)作为所求概率的近似值. 类型一　频率与概率的理解 [例1]　(1)请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其他同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？ (2)历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示： 抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的比例 2 048 1 061 0.518 1 4 040 2 048 0.506 9 12 000 6 019 0.501 6 24 000 12 012 0.500 5 30 000 14 984 0.499 5 72 088 36 124 0.501 1 在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？ (3)在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？ (4)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？ (5)在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等？ [分析]　理解频率与概率的关系，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． [解]　(1)通过实际比较可知一致的可能性小，因为抛掷硬币是随机事件，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一致的可能性比较小． (2)当试验次数很多时，出现正面的比例在0.5附近摆动． (3)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率． (4)事件A发生的频率趋于稳定，在某个常数附近摆动． (5)频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关． 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. [变式训练1]　下列说法中正确的有(　 　) ①任何事件的概率总是在[0,1]之间； ②概率是随机的，在试验前不能确定； ③频率是客观存在的，与试验次数无关； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． A．①④　　　　　 B．②③ C．①③④ D．①②③④ A 解析：频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，故②③不正确．①④显然正确． 类型二　利用频率估计概率 [例2]　某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数，如下表： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数(m) 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n))) 乙击中10环的次数(m) 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n))) (1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率； (2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率． [分析]　先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率． [解]　(1)两名运动员击中10环的频率如下表： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 甲击中10环 的次数(m) 9 17 44 92 179 450 甲击中10环 的频率eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n))) 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 乙击中10环 的次数(m) 8 19 44 93 177 453 乙击中10环 的频率eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n))) 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 (2)由(1)中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以预测两人在奥运会上击中10环的概率均约为0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当． 1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率． 2．此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率． [变式训练2]　一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892 (1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ 解：(1)计算eq \f(m,n)即得男婴出生的频率依次约是0.520 0,0.517 3, 0.517 3,0.517 3. (2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3. 类型三　　利用随机模拟法估计概率 [例3]　已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　) A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15 B [分析]　用整数随机数模拟试验估计概率时，应该准确理解题意，明确随机数的范围和每个数字的意义． [解析]　由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为eq \f(5,20)＝eq \f(1,4)＝0.25.故选B. 用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三个方面考虑： 1．当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点； 2．研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； 3．当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复. [变式训练3]　袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232　321　230　023　123　021　132　220　001 231　130　133　231　013　320　122　103　233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为(　 　) A.eq \f(1,9)　　　B.eq \f(1,6) C.eq \f(2,9)　　　D.eq \f(5,18) B 解析：经随机模拟产生的18组随机数中，232　321　230　023　123　021　132　220　001　231　130　133　231　013　320　122　103　233，恰好第三次就停止包含的样本点有：023　123　132，共3个，由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为eq \f(3,18)＝eq \f(1,6).故选B. 1．给出下列三个说法，其中正确说法的个数是(　 　) ①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是eq \f(3,7)； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A．0 B．1 C．2 D．3 A 解析：①概率指的是可能性，错误；②频率为eq \f(3,7)，而不是概率为eq \f(3,7)，错误；③频率不是概率，错误． 2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指(　 　) A．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖 B．这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元 C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001 D．以上说法都不正确 C 解析：摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10(元)，故选C. 3．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球. 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 问其中不公平的游戏是(　 　) A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 D 解析：游戏1中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为eq \f(1,3)，游戏是不公平的． 4．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，分别测得各袋的质量如下(单位：g)： 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496 497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为______________. 0.25 解析：20袋食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，所以概率约为eq \f(5,20)＝0.25. 5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表. 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000 发芽 的粒数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786 2 709 发芽 的频率 (1)请完成上述表格(保留3位小数)； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 解：(1)填表如下： 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000 发芽 的粒数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786 2 709 发芽 的频率 1.000 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 (2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900. ——本课须掌握的三大问题 1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率． 2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大． 3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养. ●考点　概念不清，致使判断错误 [典例]　某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则(　　) A．正面朝上的概率为0.6 B．正面朝上的频率为0.6 C．正面朝上的频率为6 D．正面朝上的频率接近于0.6 [错解]　A　eq \f(6,10)＝0.6是此次试验正面朝上的概率．故选A. B [正解]　B　eq \f(6,10)＝0.6是此次试验正面朝上的频率而不是概率．故选B. [易错警示]　频率与概率的定义不清晰导致出错，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． $