17.1 用提公因式法分解因式-课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用提公因式法分解因式”，从因式分解定义切入，通过整式乘法与因式分解的互逆关系搭建学习支架，衔接已学整式运算，系统讲解公因式确定及提公因式步骤。 其亮点在于通过概念辨析、步骤拆解及多样化例题（如整体代入求值、巧算、整除证明），培养学生运算能力与推理意识，结合错题分析强化模型意识。采用讲练结合法，学生能提升技能与应用能力，教师可直接利用系统资源优化教学。

17.1 用提公因式法分解因式 第十七章 因式分解 知识点 因式分解 知1－讲 1 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 积中各因式都是整式，且相同因式的积要写成幂的形式 知1－讲 2. 整式乘法与因式分解的关系 整式乘法 因式分解 区别 化积为和 化和为积 联系 方向相反的变形： 多项式(和) 整式乘积(积) 因式分解 整式乘法 知1－讲 特别解读 1.因式分解的对象是一个多项式，结果是几个整式的积. 2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变. 3.因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止. 知1－练 例 1 下列从左到右的式子变形，属于因式分解的有( ) ① 8xy3＝2xy·4y2； ② x2＋1＝x； ③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3； ⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y). ⑥ x2+4x+4=(x+2)2. A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别. 知1－练 答案：C 解： 序号 等号左边是不是多项式 等号右边是不是整式的积 结论 ① 否 不是因式分解 ② 是 否，不是整式 不是因式分解 ③ 否 不是因式分解 ④ 是 否 不是因式分解 ⑤ 是 是 是因式分解 ⑥ 是 是 是因式分解 知1－练 1-1.[期末·北京朝阳区]下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是( ) A.4x(x-y)=4x2-4xy B.x2-4x-5=x(x-4)-5 C.x2-16=(x+4)(x-4) D.(x+y)2=x2+2xy+y2 C 知1－练 [期末·天津河东区]下列各式因式分解正确的是( ) A. a(a+b)=a2+ab B. -x2+4xy-4y2=-(x+2y)2 C. a2-2a-8=(a+2)(a-4) D. 2ab-4a=2a(b-4) 例 2 解题秘方：首先根据因式分解的定义判断是不是因式分解，再利用整式乘法判断因式分解的结果是否正确. 知1－练 答案：C 解：A. a(a+b)=a2+ab，从左到右的变形属于整式 乘法，不属于因式分解； B. -(x+2y)2=-(x2+4xy+4y2)=-x2-4xy-4y2 ≠ -x2+4xy-4y2，故因式分解不正确； C.( a+2)(a-4)=a2-2a-8，故因式分解正确； D. 2a(b-4)=2ab-8a ≠ 2ab-4a，故因式分解不正确． 2-1. 下列因式分解正确的是( ) A . x3y - 2x2y + xy =xy(x2-2x) B. x2-x+ =(x- )2 C. x2-2x+4=(x-2)2 D. 4x2- y 2=(4 x + y)·(4x-y) B 知1－练 知2－讲 知识点 公因式 2 1. 定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式. 知2－讲 特别解读 1. 公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分. 2. 公因式可以是单项式或多项式，还可以是多项式的幂的形式. 知2－讲 2. 确定公因式的步骤 步骤 举例(2a2b与4a5b2) (1)定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 2(取2 和4 的最大公因数) (2)定字母(或多项式)：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式) a，b 若多项式中首项的符号是“－”，则公因式的符号一般为“－” a－b与b－a可以变为相同的因式 知2－讲 续表 步骤 举例(2a2b与4a5b2) (3)定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数，取其中指数最低的 a指数最低为2，b指数最低为1 (4)写结果 公因式为2a2b 知2－练 例 4 指出下列多项式各项的公因式： (1)3a2y－3ay＋6y； (2)4xy3－8x3y2； (3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3； (4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b. 解题秘方：紧扣公因式的定义求解. 知2－练 解：(1)中各项的公因式为3y； (2)中各项的公因式为4xy2； (3)中各项的公因式为(x－y)2； (4)中各项的公因式为－9a2b. 首项系数是负数，公因式系数含“-” 知2－练 3－1.多项式8a3b2＋12ab3c各项的公因式是( ) A. abc B. ab2 C. 4ab2 D. 4ab2c C 3－2. 4xy(m－n)＋8y(n－m)2各项的公因式是________. 4y(m－n) 知3－讲 知识点 用提公因式法分解因式 3 1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 知3－讲 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 知3－讲 特别解读 1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律. 2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商. 知3－讲 注意 (1)多项式第一项系数为负时，一般提出负号，且各项都变号； (2)使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式. 知3－练 例 4 将下列各式分解因式： (1)x2y－3xy2；(2)6x3y2－8xy3z； (3)－4a3b2＋12a2b－4ab；(4)3a(a－2b)＋6b(2b－a)； (5)5m(y－x)2－10(x－y)3. 解题秘方：(1)(2)(3)紧扣提公因式法的步骤分解因式，(4)(5)根据(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n－1＝－(b－ a)2n－1(n为正整数)进行变形后再分解. 解：xy·x-xy·3y＝xy(x－3y)； 知3－练 (1)x2y－3xy2； (2)6x3y2－8xy3z； 6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz ＝2xy2(3x2－4yz)； 确定公因式 知3－练 (3)－4a3b2＋12a2b－4ab； －4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab) ＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1) ＝－4ab(a2b－3a＋1). 首项系数为负数， 一般将“-”提出 4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此处容易漏掉“1”这一项而导致错误 (4)3a(a－2b)＋6b(2b－a)； (5)5m(y－x)2－10(x－y)3. 知3－练 解：3a(a－2b)＋6b(2b－a) ＝3(a－2b)(a－2b) ＝3(a－2b)2； 根据互为相反数凑公因式 看作一个整体 5m(y－x)2－10(x－y)3＝5m(x－y)2－10(x－y)3 ＝5(x－y)2[m－2(x－y)]＝5(x－y)2(m－2x＋2y). 写成幂的形式 知3－练 4－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A. x2－y B. x2－2x C. x2＋y2 D. x2－xy＋y2 B 知3－练 4－2. 下列因式分解正确的是(　　) A. a2b－2ab＝a(ab－2b) B. －a2b＋2ab＝－ab(a＋2) C. ab－ab2＝ab D. －a2b＋ab2＝－ab(a－b) D 知3－练 4－3. 分解因式： (1)ab＋a2b2－a3b2； (2)3x3－9x2－3x； 解：原式＝3x·x2－3x·3x－3x·1＝3x(x2－3x－1)； 解：原式=ab·1+ab·ab-ab·a2b=ab(1+ab-a2b)； 知3－练 (3)－15a－10ab＋5abc； (4)x(x－y)－y(y－x)； 原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)； 解：原式＝－(15a＋10ab－5abc)＝－(5a·3＋5a·2b－5a·bc)＝－5a(3＋2b－bc)； 用提公因式法分解因式 因式 分解 提公因式法 公因式 概念 互逆变形 检验 整式 乘法 题型 利用提公因式法化简求值 1 例 5 [新考法 整体代入法]已知a+b=10，ab=1，求a3b+ab3 的值. 思路导引： 解：a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2-2ab]. 当a+b=10，ab=1 时，原式=1×(102-2×1)=98. 方法点拨 在求值问题中，如果不能(或不容易)求出所求式子中每一个字母的值，那么可考虑提公因式，将所求式子分解因式成含有已知式子的形式，然后利用整体代入法求值. 题型 利用提公因式法进行巧算 2 例 6 [母题 教材P125 练习T3]利用因式分解计算： 解题秘方：把相同的数看成同一字母，把算式看成多项式，利用因式分解改变运算顺序以减少计算量. 解：原式=20.26×(29+72+13-14)=20.26×100=2 026； (1)29×20.26+72×20.26+13×20.26-20.26×14； (2)999×998+1 998； 原式=999×998+999×2=999×(998+2)=999×1000= 999 000； 解：原式= = ==. (3). 解法提醒 在算式很复杂的情况下，如果各项中有相同的因数，那么可以提取公因数简化运算，其实质是逆用乘法分配律进行计算. 题型 利用提公因式法证明整除问题 3 例 7 求证：817-279-913能被45 整除. 思路导引： 证明：817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13=328-327-326=326×32-326×3-326×1=326×(32-3-1)=326×(9-3-1)=326×5=324×32×5=324×9×5=324×45. 因为324×45 能被45 整除，所以817-279-913 能被45 整除. 解法提醒 解决整除问题时，首先要对所给的式子进行因式分解，然后确定因式分解结果中的因数能否被某个数整除，若能，则能整除，否则不能整除. 题型 利用提公因式法探究规律 4 例 8 [新考法 归纳法]阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)［1+x+x(1+x)］=(1+x)2(1+x)=(1+x)3. 思路导引： (1)上述因式分解的方法是________法，共应用了____次； (2)若把1+x+x(x+1)+x(x+1)2+… +x(x+1)2 029分解因式，则需要应用上述方法________次，因式分解后的结果是_________ ； 提公因式 2 2 029 (x+1)2 030 解： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+… +x(x+1)n =(x+1)[1+x+x(x+1)+… +x(x+1)n-1] =(x+1)2[1+x+x(x+1)+… +x(x+1)n-2] =…=(x+1)n+1. (3)请用以上方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n 为正整数). 技巧点拨 解决规律探究型问题的一般方法： 对于与等式有关的规律探究性问题，观察时要对所给等式做横向的分析，以确定等号左、右两边之间的关系，有些情况下还要对所给等式做纵向对比，以便发现一般规律. 易错点 提公因式时出错 1 例 9 把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因式，正确的是( ) A. (x-y)(-a-b+c) B. -(x-y)(a-b-c) C. -(x-y)(a-b+c) D. -(y-x)(a+b-c) 错解：A 正解：-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)=-a(x-y)+b(x-y)+c(xy)= (x-y)(-a+b+c)=-(x-y)(a-b-c). 答案：B 诊误区： 用提公因式法分解因式时，若有互为相反数的因式，则先将其变形为相同的因式，变形时，要注意符号. 考法 利用因式分解的定义进行识别 1 例 10 [中考·河北]对于① x-3xy=x(1-3y)；②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是(　　) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 试题评析：本题考查了因式分解的定义，解题关键是理解因式分解与整式乘法的联系与区别. 解：①是因式分解，②是乘法运算. 答案：C 考法 利用提公因式法分解因式 2 例 11 [中考· 长沙]分解因式：mx-2my=________. 试题评析：本题主要考查利用提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键. 解：mx-2my=m(x-2y). m(x-2y) 考法 利用提公因式法求值 3 例 12 [新考法整体代入法中考·徐州]若mn=2，m-n=1，则代数式m2n-mn2的值是_______. 试题评析：本题主要考查利用提公因式法分解因式，正确找出公因式并整体代入求值是解题的关键. 解：因为mn=2，m-n=1，所以m2n-mn2=mn(m-n)=2×1=2. 2 1. 下列等式，从左到右的变形是因式分解的是( ) A. 3x+3y-5=3(x+y)-5 B. 12x2y=3x·4xy C. a2-4=(a+2)(a-2) D. a2+1=a(a+ ) C 2.多项式12abc-6bc2各项的公因式为( ) A. 2abc B. 3bc2 C. 4b D. 6bc 3. 把2(x-3)+x(3-x)提取公因式(x-3)后，另一个因式是( ) A.x-2 B.x+2 C.2-x D.-2-x 4.[中考· 泰州]若2a-3b=-1，则式子4a2-6ab+3b 的值为( ) A.-1 B. 1 C. 2 D. 3 D C B 5. [中考·自贡]因式分解：m2-4m=_______. 6. [母题 教材P127 习题T6]若x2y-xy2=40，xy=8，则x-y 的值为_______. 7.[期中·上海长宁区]长、宽分别为a，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则3a2b+3ab2=_______. m(m-4) 5 225 8.(1)分解因式：6(n-m)-12(m-n)2； 解：原式=6(n-m)-12(n-m)2=6(n-m)·［1-2(n-m)］=6(n-m)(1-2n+2m)； (2)[母题 教材P125 练习T3]利用因式分解计算： 89×-25×0.125． 解：原式=89×－25×=×(89－25)=×64=8． 9. [母题 教材P127 习题T5]先分解因式，再求值： (1)(a-1)2+2a(a-1)，其中a=2； 解：原式=(a－1)(a－1+2a)=(a－1)(3a－1). 当a=2时，原式=(2－1)×(3×2－1)=5. (2) a(x-1)-2b(1-x)， 其中a=3，b= ，x=6． 解：原式=a(x－1)+2b(x－1)=(x－1)(a+2b). 当a=3,b=,x=6时，原式=(6－1)×(3+2×)=5×4=20． 10. [新视角 材料阅读题]仔细阅读下面例题，解答问题. 例题：已知把二次三项式x2-4x+m分解因式后有一个因式是x+3，求其另一个因式及m的值. 解：设另一个因式为x+n，则x2-4x+m=(x+3)· (x+n)， 即x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n， 所以解得 故另一个因式为x-7，m的值为-21. (1)若二次三项式x2-5x+6 可分解为(x-2)·(x+a)，则a=____； (2)若二次三项式2x2+bx-5 可分解为(2x-1)(x+5)，则b=________； (3)仿照以上方法解答问题：已知把二次三项式2x2+5x-k 分解因式后有一个因式为2x-3，求其另一个因式及k 的值. -3 9 解：设另一个因式为x+q,则2x2+5x-k=(2x-3)(x+q),即2x2+5x-k=2x2+(2q-3)x-3q. 所以解得 故另一个因式为x+4,k的值为12. $