17.2 用公式法分解因式-课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用公式法分解因式”，涵盖平方差公式、完全平方公式、因式分解一般步骤及十字相乘法。从整式乘法公式逆用切入，通过对比乘法与因式分解的关系，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式原理。 其亮点是以“解题秘方+技巧点拨+易错警示”为主线，结合简便计算、三角形形状判断等实例，培养学生推理意识与模型意识。通过“一提二套三检查”步骤口诀，学生能系统掌握方法，提升运算能力，教师可借助结构化内容高效教学。

17.2 用公式法分解因式 第十七章 因式分解 知识点 用平方差公式分解因式 知1－讲 1 1. 用平方差公式分解因式 符号语言 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 文字语言 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式 把整式乘法的平方差公式的等号两边互换位置就得到此式子 知1－讲 2. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面； 二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套：套用平方差公式进行分解； 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式. 知1－讲 特别解读 1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式. 2. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点：多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. 知1－练 例 1 分解因式： (1)4x2－25y2； (2)(a＋2)2－1； (3) - +x4；(4)16(a－b)2－25(a＋b)2. 解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式. 知1－练 (1)4x2－25y2； (2)(a＋2)2－1； 解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)； (a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)； 看成一个整体 知1－练 (3) - +x4； 解：- +x4=x4- =(x2+ )(x2- ) = (x2+ ) (x+ )·(x- )； 要分解到不能再分解为止 知1－练 解：16(a－b)2－25(a＋b)2 =[4(a－b)]2 －[5(a＋b)] 2 ＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)] ＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b) ＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b). (4)16(a－b)2－25(a＋b)2. 分别看成一个整体 知1－练 1-1.[期末·成都郫都区]下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是( ) A. a2-b2 B.-a2-b2 C.-a2+b2 D.9a2-4b2 B 知1－练 1-2. 分解因式： (1)-a4+4b2； (2)100x2-9y2； (3)a4-16； (4)4(m-n)2-(m+n)2. 解：(1)原式=4b2-a4=(2b+a2)(2b-a2)； (2)原式=(10x+3y)(10x-3y)； (3)原式=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)·(a-2); (4)原式=［2(m-n)+(m+n)］［2(m-n)-(m+n)］=(3m-n)(m-3n). 知2－讲 知识点 用完全平方公式分解因式 2 1. 完全平方式：我们把a2+2ab+b2 和a2-2ab+b2 这样的式子叫作完全平方式. 口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央 知2－讲 2. 用完全平方公式分解因式 符号 语言 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2 文字 语言 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式 把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就得到此式 知2－讲 3. 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2 知2－讲 特别解读 1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆用的形式. 2. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： (1)多项式是二次三项式； (2)首末两项是两个数(或式子)的平方，且这两项符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2 倍，符号正负均可. 知2－练 例 2 已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________. 解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值. 解：因为9a2＝(±3a)2，16＝(±4)2，9a2＋ka＋16是一个完全平方式， 所以ka＝±2×3a·4＝±24a. 所以k＝±24. 有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式 ±24 知2－练 2－1. 若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________． －1或7 知2－练 分解因式： (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2； (3)a2－ab＋b2； (4)(x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81. 解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式. 例 3 (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2； 知2－练 解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2； －6ab－9a2－b2 ＝－(9a2＋6ab＋b2) ＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2] ＝－(3a＋b)2； 当首项系数为负数时，一般要提出负号，这时括号内多项式的各项都要变号 (x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81 ＝(x2＋5x)2＋2·(x2＋5x)·9＋92 ＝(x2＋6x＋9)2. (3)a2－ab＋b2； (4)(x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81. 知2－练 把x2+5x 看成一个整体 解：a2－ab＋b2＝－2a·b＋b2＝； 知2－练 3－1. 下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(　　) A. x2－2x＋4 B. x2－x＋1 C.16x2＋8x＋1 D. x2－6x＋9 A 知2－练 3-2. 分解因式： (1)x2+10x+25； (2)4x2+y2-4xy； (3)-9a2+12a-4； (4)(m + n)2 - 6(m +n)+9. 解：(1)原式=(x+5)2; (2)原式=4x2-4xy+y2=(2x-y)2; (3)原式=-(9a2-12a+4)=-(3a-2)2; (4)原式=［(m+n)-3］2=(m+n-3)2. 知3－讲 知识点 因式分解的一般步骤 3 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法，其一般步骤如下： 知3－讲 知3－讲 巧学妙记 因式分解的一般步骤： 首项有“负”要先提， 各项有“公”先提“公”， 每项都提莫漏“1”， 括号里面分到底. 知3－练 分解因式： (1)3a3b＋48ab3； (2)x4－8x2＋16； (3)-4x3y-8x2y-4xy； (4)25x2(a－b)＋36y2(b－a). 解题秘方：先观察有没有公因式，若有，要先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式. 例 4 知3－练 (1) 3a3b＋48ab3； (2)x4－8x2＋16； 解： 3a3b＋48ab3＝3ab(a2－16b2) ＝3ab(a＋4b)(a－4b)； x4－8x2＋16＝(x2－4)2＝[(x＋2)(x－2)]2 ＝(x＋2)2(x－2)2； 知3－练 (3)-4x3y-8x2y-4xy； 解：-4x3y-8x2y-4xy =-4xy(x2+2x+1) =-4xy(x+1)2； 不要遗漏 知3－练 (4)25x2(a－b)＋36y2(b－a). 解：25x2(a－b)＋36y2(b－a) ＝25x2(a－b)－36y2(a－b) ＝(a－b)(25x2－36y2) ＝(a－b)(5x＋6y)(5x－6y). 知3－练 4-1.[中考· 无锡] 分解因式a3-4a 的结果是(　　) A.a(a2+4) B.a(a-4) C.a(a+2)(a-2) D.a(a2-1) C 知3－练 4-2. 分解因式： (1)3x2-27； 解：原式=3(x2-9)=3(x+3)(x-3); 知3－练 (2)－6ab＋3a2＋3b2； (3)y2(2－m)＋x2(m－2)． 解：原式＝3(a2＋b2－2ab)＝3(a－b)2； 原式=x2(m-2)-y2(m-2)=(m-2)(x2-y2)=(m-2)(x+y)(x-y). 知4－讲 知识点 x2+(p+q)x+pq 型式子的因式分解(拓展点) 4 利用多项式的乘法法则推导得出：(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 利用此式，可以将某些二次项系数是1 的二次三项式分解因式. 知4－讲 上述分解因式的过程可以用十字相乘的形式形象地表示，如图17.2-1 所示，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 这种分解因 式的方法称为十字相乘法. 知4－讲 规律总结 将形如x2+(p+q)·x+pq 型的二次三项式分解因式时，要注意两点： (1)先拆分常数项pq，再验证一次项系数p+q. (2)当pq<0 时，p，q 异号，绝对值较大的因数与p+q 结果的符号相同；当pq>0 时，p，q 同号，它们的符号与p+q 结果的符号相同. 知4－练 分解因式：(1)x2-3x+2；(2)x2+3x-10. 解题秘方：(1)中，常数项2 可以分解为1×2 或(-1)×(-2)，但只有把2 分解成(-1)×(-2)时，才能用十字相乘法分解因式；同理，(2)中，只有把-10 分解成(-2)×5 时，才能用十字相乘法分解因式. 例 5 知4－练 解：(1) 故x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) 故x2+3x-10=(x-2)(x+5). 知4－练 5-1. 分解因式： (1)x2+7x-18； 解： 1×(-2)+1×9=7 所以x2+7x-18=(x+9)(x-2); 知4－练 (2)x2-2x-15. 解： 1×3+1×(-5)=-2 所以x2-2x-15=(x-5)(x+3). 用公式法分解因式 用公 式法 分解 因式 用平方差公 式分解因式 用完全平方公 式分解因式 a2－b2＝(a＋b)(a－b) a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 应用 利用因式分解进行简便计算 1 用简便方法计算下列各式： 解题秘方：(1)先将204×192 化为2×204×96，再利用完全平方公式计算；(2)先提取公因数，再利用完全平方公式计算；(3)每个括号中的式子都利用平方差公式分解因式，然后逐项相乘约分即可. 例 6 (1)2042+204×192+962； 解：2042+204×192+962 =2042+2×204×96+962 =(204+96)2 =3002=90 000； (2)50×9.52-100×9.5×7.5+50×7.52； 解：50×9.52-100×9.5×7.5+50×7.52 =50×(9.52-2×9.5×7.5+7.52) =50×(9.5-7.5)2 =50×22=200； (3)(1- )×(1- )×(1- )×… ×(1- ). 解： (1- )×(1- )×(1- )×… ×(1- ) = (1- )×(1+ )×(1- )×(1+)×(1- )×(1+)×… ×(1- )×(1+ ) = ××××××… ×× = ×= . 技巧点拨 挖掘隐含条件配凑平方差公式、完全平方公式求值(配凑法)： 把相同的数看作同一个字母，把算式看作多项式，利用因式分解改变运算顺序以减少计算量. 如第(1)小题，把204 看成a，96 看成b，则算式为a2+2ab+b2,可以因式分解为(a+b)2；第(2)小题，把50看成m,9.5看成a，7.5 看成b，则算式为ma2-2mab+mb2，可以因式分解为m(a-b)2. 应用 利用因式分解判断三角形的形状 2 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，并且a2+b2+c2= ab+bc+ca，判断此三角形的形状. 解题秘方：先将等式变形并且各项都乘2，把多项式按完全平方公式的特点分成三组分别进行因式分解，结合非负数的性质得出三边关系. 例 7 解：因为a2+b2+c2=ab+bc+ca，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0. 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0. 所以(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0. 将每个括号内的多项式分解因式，得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0. 由非负数的性质，得a-b=0，b-c=0，c-a=0， 所以a=b，b=c，c=a，即a=b=c. 所以此三角形为等边三角形. 技巧点拨 涉及的多项式不止三项时，通常要将多项式进行分组，将每一组式子化为完全平方式是解答此类问题的常用方法. 应用 利用因式分解解决实际问题 3 [母题 教材P134“数学活动2”] 阅读下面的材料，并解决问题.在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码. 有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 例 8 对于多项式x4-y4，因式分解的结果是(x2+y2)(x+y)(x-y). 当x=9，y=9 时，x2+y2=162，x+y=18，x-y=0，将 162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码. (1)按照上述方法，当x=8，y=8时，求生成的密码； 解：当x=8，y=8 时， x2+y2=82+82=128，x+y=8+8=16，x-y=8-8=0， 所以生成的密码是128160. (2)根据上述方法，若将多项式x2(x-2y)+xy(2x-y)分解因式，则当x=21，y=7时，生成的密码是多少？ 解：x2(x-2y)+xy(2x-y)=x3-2x2y+2x2y-xy2=x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)，当x=21，y=7 时，x+y=21+7=28，x-y=21-7=14，所以生成的密码是282114. 解题秘方：先化简多项式，再分解因式，最后把x，y 的值代入对应的式子计算即可. 技巧点拨 当多项式不能直接分解因式，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积式展开，合并同类项后，再根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解. 应用 利用因式分解探究等式的规律 4 老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8× 4，152-32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22. 例 9 思路导引： (1)请你再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面的算式)； (2)用文字写出反映上述算式的规律； 解：(答案不唯一)72-32=8×5，112-72=8×9. 规律：任意两个奇数的平方差是8 的倍数. (3)证明这个规律的正确性. 证明：设m，n为整数(m>n)，则两个奇数可表示为 2m+1，2n+1. (2m+1)2-(2n+1)2=［(2m+1)+(2n+1)］［(2m+1)-(2n+1)］ =(2m+2n+2)(2m-2n) =2(m+n+1)·2(m-n) =4(m-n)(m+n+1). 当m，n 同是奇数或同是偶数时，m-n 一定是偶数， 所以4(m-n)(m+n+1)一定是8 的倍数； 当m，n 是一奇一偶时，m+n+1 一定是偶数， 所以4(m-n)(m+n+1)一定是8 的倍数. 所以任意两个奇数的平方差是8 的倍数. 解题通法 对于规律探究题，一般先从特殊情况入手发现规律，再用文字或含有字母的关系式表示这个规律. 本题体现了从特殊到一般的思想. 易错点 因式分解不彻底而出错 1 分解因式： (1)16-b4；(2) 4x2-36. 例 10 错解：(1)16-b4=(4+b2)(4-b2)； (2)4x2-36 =(2x+6)(2x-6). 正解：(1)16-b4=(4+b2)(4-b2)=(4+b2)(2+b)(2-b)； (2)4x2-36 =4(x2-9)=4(x+3)(x-3). 诊误区： 因式分解最常见的错误是分解不彻底，为了避免此类错误要做到：先提公因式，再看剩余的多项式能否用公式法继续分解. 考法 利用公式法分解因式 1 分解因式： (1)[中考·常州] x2-9y2=_____________； (2)[中考·广元](a+1)2-4a=_____________. 例 11 (x+3y)(x-3y) (a-1)2 试题评析：此题主要考查运用公式法分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式. 解：(1)原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y)； (2)原式=a2+2a+1-4a=a2-2a+1=(a-1)2. 考法 利用提公因式法与公式法分解因式 2 分解因式： (1)[中考·北京]7m2-28=_______________； (2)[中考·烟台]2x2-12xy+18y2=_______________ . 例 12 7(m+2)(m-2) 2(x-3y)2 试题评析：此题主要考查了利用提公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 解：(1)原式=7(m2-4)=7(m+2)(m-2)； (2)原式=2(x2-6xy+9y2)=2(x-3y)2. 考法 利用因式分解变形后求值 3 [新考法整体代入法中考·广西]如果a+b=3，ab=1， 那么a3b+2a2b2+ab3 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 例 13 试题评析：本题主要考查利用因式分解求式子的值，解题的关键是运用整体思想将已知式子的值整体代入到因式分解的结果中求值. 解：因为a+b=3，ab=1，所以a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=1×32=9. 答案：D 1. [中考·杭州]分解因式：4a2-1=(　　) A. (2a-1)(2a+1) B. (a-2)(a+2) C. (a-4)(a+1) D. (4a-1)(a+1) A 2. 下列因式分解正确的是( ) A.3a2-12a+12=3(a-2)2 B.a2+ab+a=a(a+b) C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b) D.a3b-ab3=ab(a-b)2 A 3. [母题中考· 河北教材P132 习题T7]若k为任意整数，则(2k+3)2-4k2 的值总能(　　) A. 被2 整除 B. 被3 整除 C. 被5 整除 D. 被7 整除 B 4. 已知a，b，c 为一个三角形的三边长，则4b2c2-(b2+c2-a2)2 的值( ) A. 恒为正 B. 恒为负 C. 可正可负 D. 非负 A 5.分解因式： (1)[中考·山西] m2-16=_________； (2)[中考·威海] (x+2)(x+4)+1=_________． 6. [新视角结论开放题中考·成都]多项式4x2+1 加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是______________ (填一个即可). 7. [新考法 整体代入法]已知xy=2，x-3y=3，则2x3y-12x2y2+18xy3=_________． (m+4)(m-4) (x+3)2 4x(答案不唯一) 36 8.分解因式： (1)-16+p4； (2)-8a2b+2a3+8ab2； (3)(x2+4)2-16x2． 解：原式=p4-16=(p2+4)(p2-4)=(p2+4)·(p+2)(p-2); 原式=2a(a2-4ab+4b2)=2a(a-2b)2； 原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2. 9.利用因式分解进行简便计算： (1)3.14×512-3.14×492； (2)2002-400×199+1992. 解：原式=3.14×(512-492)=3.14×(51+49)×(51-49)= 3.14×100×2=628; 原式=2002-2×200×199+1992=(200-199)2=12=1. 10. 已知小亮、小莹两名同学家的菜地都是正方形，小亮家的菜地的周长比小莹家的菜地的周长多96 m，这两家的菜地的面积相差960 m2，求小亮、小莹两名同学家的菜地的边长. 解：设小亮家菜地的边长为a m，小莹家菜地的边长为 b m，则有4a-4b=96，a2-b2=960. 所以a-b=24，(a+b)(a-b)=960,所以a+b=40. 联立解得因此，小亮家菜地的边长为 32 m，小莹家菜地的边长为8 m. 11. [新视角 材料阅读题]阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如a1x2+b1x+c1 (a1 ≠ 0)的多项式变形为a1 (x+m)2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式a1x2+b1x+c1 (a1 ≠ 0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：x2+4x-5=x2+4x+ ()2- ()2-5=(x+ )2-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：x2+2x-3； 解：x2+2x-3＝x2+2x+1-1-3＝(x+1)2-4＝(x+1+2)(x+1-2)＝(x+3)(x-1). (2)求多项式x2+6x-9 的最小值； 解：x2+6x-9＝x2+6x+() 2-()2-9＝(x+3)2-18. ∵(x+3)2≥0，∴(x+3)2-18≥-18. ∴多项式x2+6x-9的最小值为-18. (3)已知a，b，c 是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， 求△ABC的周长. 解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴a2+b2+c2+50-6a-8b-10c=0， 即a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25-9-16-25+50=0. ∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.∴a=3，b=4，c=5. ∴△ABC的周长为3+4+5=12. $