精品解析：江苏淮安市淮阴师范学院附属中学等校2025-2026学年高二第二学期五月学情调研数学试卷

高二年级2025-2026学年度第二学期五月学情调研 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，所以． 2. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得. 【详解】若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立； 若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立. 所以是的充要条件. 故选：C 3. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ） A. 114 B. 115 C. 120.5 D. 121 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数公式，即可求解. 【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123， ， 则第75%分位数是第8个数据121， 故选：D. 4. 展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可. 【详解】解：二项系数和为，则，所以的通项为：，其中， 则展开式中的有理项满足，故，共3项. 故选：D. 5. 已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点求出的值，再利用残差的概念可得结果. 【详解】由表格中的数据可得，， 由于回归直线过样本中心点，所以，解得， 当时，，故当时的残差为. 6. 芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，利用条件概率公式求出答案. 【详解】两人均有4种选择，故共有16个基本事件， 其中两人至少有一人选择丙景点分两种情况，一是均选择丙景点， 二是一人选择丙景点，另一人选择其他景点，故A事件共有个基本事件， 而事件包含个基本事件， 故，， 所以. 故选：D 7. 如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到，再利用模长公式及数量积的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，， 则 ， 所以， 故选：D. 8. 异面直线，所成的角为，，，，，垂直于，垂直于，且，，．则可能为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量，再利用向量数量积求解长度. 【详解】因为 又垂直于，垂直于，，，，，异面直线，所成的角为 所以，或 ， 所以， 当时，； 当时，； 综上，或4，由于选项中只有，只能选择选项C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于线性回归的描述，下列表述正确的是（ ） A. 回归直线一定经过样本中心点 B. 相关系数越大，线性相关性越强 C. 残差图的带状区域越窄，拟合效果越好 D. 决定系数越接近，拟合效果越好 【答案】AC 【解析】 【分析】根据回归直线的特点可判断A选项；根据相关系数与线性相关性的关系可判断B选项；根据残差与拟合效果的关系可判断C选项；根据决定系数与拟合效果的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，回归直线一定经过样本中心点，故A正确； 对于B选项，相关系数越大，相关性越强，故B错误； 对于C选项，残差图的带状区域越窄，拟合效果越好，故C正确； 对于D选项，决定系数越接近，拟合效果越差，故D错误. 10. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；由题意作出点的轨迹，计算可判断B；根据等体积法确定点的位置计算可判断C；取，，，，，的中点分别为，，，，，，连接，，，，，，，，，根据题意确定轨迹，计算可判断D. 【详解】对于A，当为的中点时， 因为是线段的中点，所以， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，连接，，以为圆心，为半径画，如图1所示， 当点在弧上时，直线与所成的角为， 长度，故点的轨迹长度为，故B错误： 对于C，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，故C正确； 对于D，取，，，，，的中点分别为，，，，，， 连接，，，，，，，，，如图2所示， 易知，面，平面， 故平面，，平面，平面， 故平面，又，，平面， 故平面平面，又，，， 故平面与平面是同一个平面，则点的轨迹为该正六边形，； 故，故长度的最大值为，故D正确. 11. 随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ） A. 当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为 B. 当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为 C. 甲和乙恰好互换了卡片的概率 D. 记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】考虑n+1个同学时的情况，若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片；若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，由此推导出结论. 【详解】考虑n+1个同学时的情况， 若个同学都拿到其他同学的卡片， 则第个同学可以与其中任何一个交换卡片， 若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片， 所以，故D正确； ， 因为，所以， 所以，代入数据可得， 当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为，故A正确； 当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为，故B错误； 甲和乙恰好互换了卡片的概率为，故C正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布对称性转化概率 【详解】由题，， 则原不等式转化为， 由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此 13. 流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 【答案】35 【解析】 【分析】问题等价转化为将8个口罩分给5个人，使用隔板法求解即可. 【详解】由题意，5名学生每人至少3个口罩，若每人2个，则需要分出10个， 所以18个口罩余下8个，化为将8个口罩分给5个人，每人至少一个口罩， 使用隔板法可得共有种. 14. 已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设为的中点，为三棱锥外接球的球心，则为外接圆的圆心，平面，，设，根据求出的范围，从而可求得半径的范围. 【详解】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设为的中点，为三棱锥外接球的球心， 则为外接圆的圆心，平面，， 设， 则， 所以， 化简得， 所以， 所以球的半径. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知展开式中前三项的二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1）；（2）常数项为. 【解析】 【分析】（1）根据通项，写出前三项二项式系数，根据和为22，求出的值； （2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项． 【详解】解：（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为22. 所以， 解得：或(舍去). 所以的值为6. （2）由通项公式， 令，可得：， 所以展开式中的常数项为. 【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项法研究特定项的问题，属于基础题． 16. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质、勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角向量求法可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 1 2 3 4 5 6 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过．现从这6人中随机抽取3人，记为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，公式： 【答案】（1），亿元 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先计算样本中心点，再用公式求出回归系数、截距，得到线性回归方程后代入预测票房； （2）先算出同时看过两部电影的人数，确定的所有可能取值，再用超几何分布公式计算各取值的概率，列出分布列后按定义求数学期望. 【小问1详解】 因为，， ， 所以， ， 所以线性回归方程为. 当时，亿元，因此预测第七日的票房收入为1.6亿元. 【小问2详解】 由题意可知，6人中同时看过两部电影的只有 人， 所以的可能取值为，，，则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 18. 2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． （1）求、的值． （2）已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． （3）求的通项公式． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用全概率公式，结合第棵种桃树或非桃树的概率及其条件概率，计算第棵种桃树的概率； （2）套用贝叶斯公式，用、的联合概率除以的概率，求第棵种桃树的条件概率。 （3）先建立递推关系，再构造等比数列，通过求通项公式得到第棵种桃树的概率. 【小问1详解】 设:第n颗种植桃树，：第n颗种植梨树，， . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 假设转移概率不随变化， 由，得， 所以是等比数列，又，公比为， ，即. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点． （1）求直线与平面的夹角； （2）若，平面与交于点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据面面垂直的性质定理，结合线面角定义进行求解即可； 方法二：根据面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据空间向量的线性运算坐标公式，结合法向量的性质进行求解即可. 【小问1详解】 方法一：连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 所以即为直线与平面的夹角， 因为，所以． 又因为底面为等腰梯形，且， 所以，所以四边形为平行四边形，所以． 则，所以， 所以直线与底面的夹角为 方法二：连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面交平面于， 所以平面， 所以即为直线与底面的夹角， 因为，所以． 又因为底面为等腰梯形，且， 所以，所以四边形为平行四边形，所以． 取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以， 由面，建立空间直角坐标系如图所示， 所以，所以， 面的法向量为，所以， 所以直线与底面的夹角为； 【小问2详解】 取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以， 由（1）得面，建立空间直角坐标系如图所示， 所以， 所以， 因为，所以，则， 同理， 设面的法向量为，所以，则， 不妨令，所以，则． 令，所以 因为点在面中，所以，所以， 所以，所以． 综上，线段的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级2025-2026学年度第二学期五月学情调研 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ） A. 114 B. 115 C. 120.5 D. 121 4. 展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 6. 芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 异面直线，所成的角为，，，，，垂直于，垂直于，且，，．则可能为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于线性回归的描述，下列表述正确的是（ ） A. 回归直线一定经过样本中心点 B. 相关系数越大，线性相关性越强 C. 残差图的带状区域越窄，拟合效果越好 D. 决定系数越接近，拟合效果越好 10. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 11. 随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ） A. 当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为 B. 当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为 C. 甲和乙恰好互换了卡片的概率 D. 记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 13. 流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 14. 已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知展开式中前三项的二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 16. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值． 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 1 2 3 4 5 6 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过．现从这6人中随机抽取3人，记为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，公式： 18. 2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． （1）求、的值． （2）已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． （3）求的通项公式． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点． （1）求直线与平面的夹角； （2）若，平面与交于点，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $