精品解析：江苏省淮安市马坝高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

江苏省马坝高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 2025.4 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，,且∥，则=（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】由，,且∥，列出关于的等式，可得答案. 【详解】解：由题意得：，,且∥， 可得,可得， 故选D. 【点睛】本题主要考查空间向量平行的性质，相对简单. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数性质，从而可解． 【详解】根据组合数性质， 可得． 故选：B． 3. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A. 4. 已知向量，，共面，则实数t的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间共面向量定理，设实数满足，列出方程组求解即可. 【详解】因为，，三向量共面， 所以存在实数，使得， 所以，解得， 故选：B. 5. 甲，乙二人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则命中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件及对立事件概率公式计算可得. 【详解】依题意甲、乙是否命中相互独立， 则命中目标的概率. 故选：B 6. 设，且，若能被整除，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，写出的展开式，即可得到能被整除，从而得解. 【详解】因为 ， 因为能被整除，又，即能被整除， 即能被整除， 所以能被整除，又且，所以. 故选：C 7. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 8. 为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算可得. 【详解】依题意高一、高二、高三年级参加活动的学生中女生人数均是人， 记选到的是女生为事件，该生不是高二同学为事件， 则. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于随机变量X的说法正确的是（ ） A. 若X服从正态分布，则 B. 已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则 C. 若X服从超几何分布，则期望 D. 若X服从二项分布，则方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质、超几何分布的期望公式、二项分布方差的运算公式，结合方差的性质逐一判断即可. 【详解】对A，由于，所以，根据方差的性质，，故A错误； 对B，服从二项分布，， 解得， ，根据正态分布的对称性可得，，故B正确； 对C，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，，故C正确； 对D，服从二项分布，根据二项分布方差公式得，，故D正确. 故选：BCD. 10. 设随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. ，相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的和与事件的关系可得，根据独立事件的定义即可判断A，B；利用条件概率公式计算即可判断C，D. 【详解】随机事件A，B满足，，， 又， 所以，又， 所以，相互独立，故A,B正确； ，故C不正确； 因为，所以，又因为，相互独立，则也相互独立， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 、、、四点共面 B. 平面截正方体所得截面等腰梯形 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项，利用锥体的体积公式可判定C选项，综合可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、 、、、， 对于A选项，，，， 设，即， 所以，，该方程组无解，所以，、、、四点不共面，A错； 对于B选项，，，所以，，则， 又因为，同理可得，即， 所以，平面截正方体所得截面为等腰梯形，B对； 对于C选项，， ，C对； 对于D选项，，， 所以，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为，D对. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正方体的棱长为1，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 13. 展开式中含项的系数是______． 【答案】800 【解析】 【分析】根据题意可知或，结合二项式定理分析求解. 【详解】因为或， 可知展开式中含项为， 所以展开式中含项的系数是800. 故答案为：800. 14. 如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图： 依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中二项式系数的和为128． （1）求展开式中各项的系数和； （2）求展开式的常数项． 【答案】（1）128； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法计算即得. （2）求出展开式的通项公式，进而求出常数项. 【小问1详解】 由二项式的展开式中二项式系数的和为128，得，解得， 令，得，所以的展开式中各项的系数和为128． 【小问2详解】 二项式的展开式的通项为：，， 令，解得，所以二项式的展开式的常数项为． 16. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【小问1详解】 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 17. （1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 18. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 【答案】（1） （2）甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用组合数和概率乘法公式即可计算求解. （2）甲得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望；乙得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望. 小问1详解】 由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为. 【小问2详解】 记甲同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以甲同学得分的数学期望为. 记乙同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以乙同学得分数学期望为. 19. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到； （2）令为，为，代入即可； （3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可. 【详解】（1）①证明： ； ②证明： . （2）令为，为， 由，可得. 证明：. （3） 由（2）得，即， 原式 . 【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省马坝高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 2025.4 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，,且∥，则=（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，共面，则实数t的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 甲，乙二人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则命中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设，且，若能被整除，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于随机变量X的说法正确的是（ ） A. 若X服从正态分布，则 B. 已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则 C 若X服从超几何分布，则期望 D. 若X服从二项分布，则方差 10. 设随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. ，相互独立 C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，则下列结论正确的是（ ） A 、、、四点共面 B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 C. 三棱锥体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正方体的棱长为1，则的值为_____． 13. 展开式中含项的系数是______． 14. 如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式展开式中二项式系数的和为128． （1）求展开式中各项的系数和； （2）求展开式的常数项． 16. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. （1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 18. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 19. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$