2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数常考热点分类》考前冲刺选择题专题提升训练

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，以分类题型为载体，系统提炼待定系数法、数形结合等解题方法，构建从图象性质到综合应用的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象与性质|8题|待定系数法求解析式、顶点式转化、分类讨论最值|从函数表达式到图象特征（开口、对称轴），再到单调性与最值的推导| |对称性|6题|对称轴公式应用、对称点坐标求解、数形结合分析|基于抛物线对称性，关联交点坐标与对称轴的逻辑关系| |最值性|4题|区间最值分类讨论、实际问题建模、二次函数求最值|从函数最值原理到实际应用，体现模型意识与运算能力| |图形变换|6题|平移/旋转/翻折变换规则、变换后解析式推导|以基本变换为基础，构建函数图象与变换规律的内在联系|

2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数常考热点分类》 考前冲刺选择题专题提升训练（附答案） 一、二次函数的图象与性质 1．抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 2．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（为常数，且），当时，的最大值为，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 4．已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 7．将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 8．函数与的图象如图所示，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，两个函数的函数值都随的增大而增大；④当时，．其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、二次函数的对称性 9．二次函数图象经过．则当时，y值为（　　） A． B． C． D． 10．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 11．已知二次函数（，，为常数，，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 14．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 三、二次函数的最值性 15．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 16．某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 17．如图，在平面直角坐标系中，，，点是线段上（含端点）的一点，将点绕着点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图像上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 18．如图①，矩形中，，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动．期间的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当秒时，S取得最小值；当秒时，函数图像是一条线段．则下列说法错误的是（   ） A．线段的长度为16 B．Q的速度为每秒1个单位长度 C．当点P运动至中点时，的面积最小 D．的面积的最小值为36 四、二次函数与图形变换 19．抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 20．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（   ） A． B． C． D． 21．如图，点P为抛物线上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．若点P的横坐标为4时，则Q点的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则为（   ） A． B． C． D． 23．如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有3个交点时，． 下列说法正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 24．如图，一段抛物线为，与x轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 参考答案 1．C 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 2．A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 3．A 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为，再分和两种情况，利用二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵， ∴分两种情况讨论： 当时，函数的最大值在顶点处取得，即， 解得，符合题意； 当时，函数在上单调递增，最大值在处取得，即， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为． 4．C 【分析】代入和，得出，根据此抛物线的顶点在第二象限，得出，，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴，， 即， ∵此抛物线的顶点在第二象限，经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即． 5．C 【分析】先对二次函数配方得到对称轴与顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再比较两个点到对称轴的距离，结合开口向上的二次函数性质比较函数值大小． 【详解】解： ， ∴ 二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 当 时，随的增大而减小， ∵ ， 即对称轴左侧随的增大而减小， ∴ 抛物线开口向上，， ∴ 二次函数的最小值为 ，任意非顶点的点满足 ； 点到对称轴的距离， 点到对称轴的距离， ∵ ， ∴ ，，且 ， ∴ ，即 ． 6．A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 7．C 【分析】根据二次函数图象的平移可得新二次函数为，由表可得，当时，；当时，，代入解析式求解即可得到a，h的值，从而得到新二次函数的解析式，根据二次函数的图象及性质即可判断各个选项． 【详解】解∶将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到新二次函数为，即， 由表可得，当时，；当时，， ∴，解得， ∴新二次函数为． ∴其图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，． 综上所述，选项A、B、D正确，选项C错误． 8．B 【分析】①利用抛物线与轴交点和判别式的关系判断；②利用抛物线的对称性和对称轴公式求解参数；③分别分析两个函数的单调性，结合自变量范围判断；④先利用函数图象的上下位置得出不等式，再对不等式进行变形即可． 【详解】解：据图可知，的图象与轴没有交点， 则，即，故①错误； 据图可知，抛物线过点，， 两点纵坐标相同，则关于对称轴对称， 则抛物线的对称轴， 解得，故②正确； 抛物线的图象开口向下，且对称轴为， 则当时，的函数值随的增大而增大， 的函数值在实数范围内，始终随的增大而增大， 故③正确； 当，， 可得， ，即， 故④错误， 综上，正确的说法有②③． 9．C 【分析】先由二次函数与x轴的两个交点的坐标得到对称轴，再根据对称性可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象过和两个点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∵二次函数图象过点， ∴二次函数图象过点，即时，． 10．D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 11．D 【分析】由题意易得，则有，然后根据二次函数的对称性及性质可进行求解． 【详解】解：由对称轴为直线，可知：，即， ∴，故B正确； 当时，则， ∴， ∴， ∴，故A正确， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，则有，故C正确； 根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则有，所以，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为，所以二次函数与x轴有两个交点， ∴，故D错误． 12．D 【分析】根据二次函数图象得到，，根据对称轴得到，可知；根据二次函数的对称性可知；根据可知；分别求出当和时y的正负，进而根据平方差公式得到，即． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，A错误； ∵，对称轴为直线， ∴，B错误； ∵， ∴，C错误； 由图象可知，当时，， 当时，， ∴， ∴ 即， ∴，D正确． 13．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 14．D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 15．D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 16．B 【分析】先根据题意得到利润关于售价的函数表达式，再依次验证三个结论即可． 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意，每件利润为元， 每日销量为 ， 因此得 ； ①当时， ，故①正确。 ②二次函数 开口向下，对称轴为 ， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； ③令 ，得方程： ， 整理得 ，解得 ，，两个根均为正整数， ∴有两种定价，③正确． 综上，正确的结论共2个． 17．B 【分析】先求出所在直线的表达式，设，其中，过点P作线段轴，过点M作，垂足为E，过点B作，垂足为F，证明，进而得到点M坐标为，又因为点在反比例函数上，所以，结合，求关于p的二次函数的最小值，得到的最小值． 【详解】解：设过的直线表达式为：，将点A、B坐标代入表达式，联立得方程组 ， 解得，即， 点是线段上的点，设，其中， 过点P作线段轴，过点M作，垂足为E，过点B作，垂足为F，如下图 ， ， ， 逆时针旋转得到， ，且， ， ， 又， ， ， 点B相对于点P的坐标为， 点M相对于点P的坐标为， 点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， k的取值为关于p的二次函数，开口向上，对称轴，，在区间内，顶点处取得最小值，最小值为； 的最小值为． 18．D 【分析】由，，根据三角形的面积公式求的长度，即可判定A选项，当时，函数图像是一条线段，说明此时点Q已经到达点B，计算点Q的速度，即可判定B选项，设点的速度为（单位长度/秒），构建关于的二次函数，即可判定选项C和D． 【详解】解：A．当时，当在处，点在处，如图所示： 此时的面积就是的面积， ， 解得， 因此选项A正确； B． ∵当时，函数图像是一条线段，说明此时点Q已经到达点B， ∴Q的速度为（单位长度/秒）， 因此选项B正确； C．设点的速度为（单位长度/秒），则， ， ∵， ∴当时，取得最小值， ∵当秒时，S取得最小值， ∴， 解得：，是原方程的根， 此时，，即点P是的中点， 因此选项C正确； D． 当秒时，，此时最小面积为：， 因此选项D错误． 19．D 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，对原抛物线解析式进行变换即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循规律：左右平移改变自变量，左加右减，上下平移改变常数项，上加下减 原抛物线解析式为， 向左平移个单位长度，自变量加，得：， 再向下平移个单位长度，常数项减，得：． 20．D 【分析】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， 由图可知，当时，直线与新函数的图象有4个公共点． 故选：D． 21．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，先求得顶点G的坐标为，，连接、，过点Q作轴于F，过点P作轴于E，证明得到，，进而求得可得答案． 【详解】解：由得顶点G的坐标为， ∵点P的横坐标为4，且P在抛物线上， ∴将代入抛物线解析式得：， ∴， 如图，连接、，过点Q作轴于F，过点P作轴于E， 则，，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选C 22．B 【分析】本题考查二次函数的解析式与图像变换，函数值的计算，归纳出第段抛物线的通用表达式是解题关键． 先通过前几段抛物线归纳出第段的解析式规律，再用整数除法确定点所在的段数，最后代入对应解析式求出的值． 【详解】解：已知， 则的坐标为， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 故， ， 位于抛物线， ， 令，，即． 故选：． 23．C 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，且， ∴的最大值为， ∴无论取何值，总是负数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ∴， ∴的顶点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当时，的值随着的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A， 此时或，故④错误． 故选：C 24．C 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，首先证明，由，推出即可解决问题． 【详解】解：一段抛物线与x轴交于，两点，顶点为； 将绕点旋转得到，则的顶点为； ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∵设，，均为正数， ∴点，在第四象限， 根据对称性可知：， ∵， ∴， 即， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $