题型八 二次函数的综合应用(专题提升训练)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

R 数学·精练本2 六M={,x+20x+300(1≤x≤20)， L15x+150(20<x≤30). (3)由题意，当1≤x≤20时， M=-x2+20x+300=-(x-10)2+400 -1<0,.当x=10时，M取最大值为400， ∴.此时销售额不超过500元. 当20<x≤30时，令M=15x+150>500, >23分 ∴.共有7天销售额超过500元 回针对训练 1.解：(1)设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的 成本为y元， 根据题意，得 2x+3y=155, 4x+y=135, 解得25， Ly=35 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本 为35元. (2)由题意可知，一套纪念品的成本为25+35=60（元）， 则W=(a-60)[80+10(72-a)]=-10(a-70)2+1000. .-10<0,且65≤a≤72. .当a=70时，W有最大值，且符合题意 答：当a为70时，每天的利润最大 2.解：(1)设y=kx+b(k≠0，b为常数)， 将点(60,140)，(70,120)代入，得10=60k+b, 1120=70k+b, 解得k-2, b=260, ∴.y与x之间的函数关系式为y=-2x+260. (2)由题意，得(x-50)(-2x+260)=2400, 化简，得x2-180x+7700=0,解得x1=70,x2=110. 50×(1+90%)=95,且110>95，∴.x2=110(舍去)， .x=70. .销售单价应定为70元 (3)设每天获得的利润为W元，由题意，得 W=(x-50)(-2x+260)=-2(x-90)2+3200. :-2<0,抛物线开口向下，.W有最大值，当x=90时， W最大值=3200. ∴·销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润 是3200元. 题型八二次函数的综合应用 例1.解：(1)函数y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0)， (0,-3),(1,-4) 0=a-b+c, ,a=1 -3=c,解得b=-2 .-4=a+b+c, lc=-3, .y=x2-2x-3. (2)点Q在y=x2-2x-3上且横坐标为m, .Q(m,m2-2m-3). 36g PQ∥x轴且P在y=x2-2x-3上， ∴.P(2-m,m2-2m-3). 点R在y=x2-2x-3上且横坐标为m+√2， .R(m+2,m2+(22-2)m-(1+2√2)). PQ∥x轴， ∴tan∠Rp0=m+(22-2)m-(1+22)-m2+2m+3 m+√2-2+m _22m-22+2=2. 2m-2+2 (3)=-号或-1<<0或0<1≤号 回针对训练 1.解：(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .抛物线L的顶点P的坐标为(1，-4). m=1,点P和点D关于直线y=1对称， D(1,6). (2)由题意，得抛物线L,的顶点P(1,-4)与抛物线L2的 顶点D关于直线y=m对称， .D(1,2m+4), ∴.抛物线L2y=-(x-1)2+(2m+4)=-x2+2x+2m+3. ∴.当x=0时，可得C(0,2m+3). ①当∠BCD=90时，如答图①，过点D作DN⊥y轴，垂足 为N. A O(M P 1题答图① D(1,2m+4),.N(0,2m+4). C(0,2m+3),∴.DN=NC=1,∴.∠DCN=45°. ∠BCD=90°，.∠BCM=45. ,直线l∥x轴，∴.∠BMC=90°， .∴.∠CBM=∠BCM=45°，.BM=CM .m≥-3，.BM=CM=(2m+3)-m=m+3, .B(m+3,m) 又：点B在抛物线L1:y=x2-2x-3上， .m=(m+3)2-2(m+3)-3, 解得m=0或m=-3. 当m=-3时，可得B(0,-3),C(0,-3),此时B,C重 合，舍去 当m=0时，符合题意. 将m=0代人抛物线L2:y=-x2+2x+2m+3,得 L2:y=-x2+2x+3. ②当∠BDC=90°时，如答图②，过点D作DN⊥y轴于点 N,过点B作BT⊥ND,交ND的延长线于点T. ND T C(0 B 1题答图② 同理可得BT=DT D(1,2m+4),∴.DT=BT=(2m+4)-m=m+4. DW=1,.NT=DN+DT=1+(m+4)=m+5, ∴.B(m+5,m). 又：点B在抛物线L1:y=x2-2x-3上， ∴.m=(m+5)2-2(m+5)-3, 解得m=-3或m=-4. m≥-3， ∴.m=-3.此时B(2,-3),C(0,-3)符合题意. 将m=-3代入抛物线L2:y=-x2+2x+2m+3, 得L2:y=-x2+2x-3. ③易知，当∠DBC=90°时，此情况不存在. 综上，抛物线L2所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3 或y=-x2+2x-3. (3)cG长度的最小值为而，巨.理由：如答图③，由 ! 2 (2)知，当∠BDC=90°时，m=-3,此时△BCD的面积为 1,不合题意，舍去 G O(M 1题答图③ 当∠BCD=90°时，m=0,此时△BCD的面积为3，符合 题意 由题意可求得EF=FG=CD=√2， 取EF的中点Q,连接CQ. 在△CBF中可求得cQ=分EP=号 2 在RtAFGQ中可求得CQ=D 2 参考答案与解析 22 易知当Q,C,G三点共线时，CG取最小值，最小值为 √/10-√2 2 例2.解：(1)抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)与x轴交于点 A(1,0),抛物线的对称轴交x轴于点D(3,0),则对称 轴为直线x=3, ra+b-1=0, 1 3,解得 a=-5 b 6 2a b=5 抛物线解析式为y=了子+名-1 (2)由y=+号-1，当y=0时， -g2+g-1-0, 解得x1=1,x2=5,∴.B(5,0). 当x=0时，y=-1,则C(0,-1). .·DE⊥CD,∠COD=∠EBD=∠CDE=90°， ∴.∠CDO=90°-∠EDB=∠DEB, ∴.tan∠CDO=tan∠DEB, 8%-股日品c=6,则B(6,-6》 设直线EC的解析式为y=x-1(k≠0)， 则-6=5k-1,解得k=-1, ∴.直线EC的解析式为y=-x-1. 如答图所示，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T :BE∥PT,△PTQ△BEQ. 0号閤0号则m号 设，-4-1)，则P,-1-1-号) 即，-号》， 将点P,-号)代入=+号-1， 解得t=-3或t=14(舍去). 当=-3时，1智=是P(-3,)} 51 例2题答图 (3)r高，-8)度F0,4. 见此图标眠即刻扫码解锁高效备考新模式丫 37 33 数学·精练本2 回针对训练 2.解：(1)二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴， -0 将点0(0,0)，A(2√5,3)分别代入y=ax2+bx+c中，得 c=0, 「六-0， 12a+23b+c=3, 联立{c=0, 12a+2√5b+c=3, fa=4 解得 b=0, c=0, 二次函数的表达式为了=子2 (2)公共点的个数为1.理由如下： 如答图，过点A作AG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥AG于 点H AG⊥x轴，.AG∥y轴， AM平行于y轴， .点A,M,G在同一直线上， .∠MAG=180. A(23,3),F(0,1), ∴.AH=2,FH=2√5. 在△4PH中，∠=器-，。 ∴.∠FAH=60°，∴.∠FAM=120°. 射线AB平分∠FAM, .∠FAB=∠MAB=60. 过点A作AK⊥y轴于点K,AT交x轴于点N, ∴AK⊥AG,∠KAF=30°， .∠KAB=30 .·AB⊥AT, ∴.∠KAT=60°， AG=60,m∠AG=Ae-E AG=3,.NG=√3. .0G=2√3，∴.0N=√3，∴.N(3,0) 设直线l的函数表达式为y=kx+b(k≠0)， 将点A(23,3),N(5,0)分别代入，得 3k+b=0,解得=5， L25k+b=3, b=-3, ∴.直线l的函数表达式为y=√3x-3. 联立 y=5x-3, 整理，得-万x+3=0, :4=(-5)2-4x}x3=0, 38g 直线1与二次函数y=子的图象有1个公共点， B M KE O/NG 2题答图 (3)25,3<m<25+3丽 3 3 例3.(1)解：将A(-1,0),C(0,3)代人y=ax2+2x+c, 得-2+c=0解得二1， 1c=3, lc=3, .二次函数的表达式为y=-x2+2x+3. (2)解：对于y=-x2+2x+3,令y=0, 得-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, B(3,0),.0B=0C=3, ·△OBC是等腰直角三角形， .∠ABC=∠0CB=45°. :∠QCB=2∠ABC,.∠QCB=90°. 如答图，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q,过点Q作 QG⊥y轴于点G. 例3题答图 .∠GCQ=180°-∠QCB-∠0CB=45°， ∴.△GCQ是等腰直角三角形，∴.CG=QG, .设Q(9,-g2+2q+3),则G(0,-92+2q+3), ..CG=-q2+2q,GQ=q, ∴.-q2+2q=9, 解得g=0(舍去)或q=1, .Q(1,4). (3)①证明：点F与点C重合，则F(0,3) :点E为AB中点，A(-1,0),B(3,0), .E(1,0). 设直线EF的表达式为y=kx+b(k≠0)， 代入E(1,0),F(0,3), 得90特低3y=-+3 康红99[ 1y=31y=-12, ∴.D(5,-12),在直线EF上，即D,E,F三点共线 ②解：△ABP的面积为定值，面积为16. ⊙针对训练 3.解：(1)对于y=-x2+4x,当y=0时，-x2+4x=0, 解得x1=0,x2=4. 点A在x轴正半轴上， .点A的坐标为(4,0). 设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 将A,B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y=x+b, 得件06仁a ∴.直线AB的函数表达式为y=-x+4. 将x=0代入y=-x+4,得y=4, .点C的坐标为(0,4). (2)①：点P在第一象限内二次函数y=-x2+4x的图 象上，且PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,其横坐标 为m, .点P,D的坐标分别为P(m,-m2+4m),D(m,-m+4), .PE=-m2+4m,DE=-m+4,0E=m. 点C的坐标为(0,4)，.0C=4. PD=0C PD=2. 如答图①，当点P在直线AB上方时，PD=PE-DE= -m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4. PD=2, ∴.-m2+5m-4=2,解得m1=2,m2=3. 个y B D 3题答图① 3题答图② 如答图②，当点P在直线AB下方时，PD=DE-PE=-m +4-(-m2+4m)=m2-5m+4. “PD=2,.m2-5m+4=2,解得m=5± 0<m<1,m=5-7 2 综上所述，m的值为2,3或5- 2 ②如答图③，由①得，OE=m,PE= -m2+4m,DE=-m+4. BQ⊥x轴于点Q,交OP于点F, B 点B的坐标为(1,3)， ∴.0Q=1,∠0QF=90. 点P在直线AB上方， 0 .EQ=m-1. ·PE⊥x轴于点E, 3题答图③ .∠OQF=∠0EP=90°， 参考答案与解析 2 .FQ∥DE, FQ 0Q △F0Q∽△P0E,PE=OE, FO 1 -m2+4mm’ FQ=-m2+4m =-m+4, m .FQ=DE, .四边形FQED为平行四边形 又，PE⊥x轴，∴.四边形FQED为矩形， .S=EQ·FQ=(m-1)(-m+4), 即S=-m2+5m-4. s=-+5m-4=-(m-+是， -1<0,1<m<4, 当m=2时，S取最大值，最大值为子 例4.解：(1)：直线BC分别与x轴、y轴交于点B,C, ∴B(6,0),C(0,-6). 12 :抛物线)=2t+6x+c经过点B,C, .将B,C两点坐标代入， 得18+6+c=0,解得6=-2， c=-6, c=-6, 六抛物线的解折武为y=之-2x-6 (2)∠AEP+∠AC0=90°. 证明：由(1)知抛物线的解析式为y=之-2x-6, 令y=0,解得x1=-2,x2=6,.A(-2,0),.0A=2, ∴.AC=√0A2+0C=2√/10. :AE=2√I0,.AC=AE,∴.∠ACE=∠AEC, .∠ACO+∠OCB=∠PAE+∠CBO. .0B=0C,.∠0CB=∠CB0=45°， ∴.∠AC0=∠PAE. ,∠AEP+∠PAE=90°， .∠AEP+∠AC0=90° (3)存在. 设P(m,0),则F(m,2t-2m-）,B(m,m-6), r=[m-6-(2n2-2m-6j =(-m2+3mj， CE2=m2+(m-6+6)2=2m2, c=m2+(2m2-2m-6+6 =+（分m-2, 当△CEF是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当CE=EF时， 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式丫 39 R 数学·精练本2 Cm3m) 解得m=0(舍去)或m=6+2√2或m=6-2√2 ∴.P(6+2√2,0)或P(6-22,0)； ②当CE=CF时，点C在EF的垂直平分线上， .y6+yr=2×(-6), m-6+2m2-2m-6=-12, 解得m=0(舍去)或m=2,∴.P(2,0); ③当CF=EF时，.CF2=EF2, m+m(2m-2=(-2m2+3m, 解得m=4或m=0(舍去)..P(4,0) 综上所述，点P的坐标为(6+22,0)或(6-2√2,0) 或(2,0)或(4,0). 回针对训练 4.解：(1).抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4, ∴.A(1,0),B(5,0) 将A(1,0)的坐标代入y=x-1,得k-1=0,解得k=1, ∴.直线AD的表达式为y=x-1. 将A(1,0),B(5,0)的坐标分别代入y=ax2+bx+5, 得+6t5=0。解得a=l 125a+5b+5=0, Lb=-6, .抛物线的表达式为y=x2-6x+5. (2)存在. ,·直线AD的表达式为y=x-1,抛物线对称轴为直线x=3, .D(3,2) 分两种情况讨论， ①当∠DAM=90时， 设直线AM的表达式为y=-x+c, 将点A的坐标代人，得-1+c=0,解得c=1, ∴.直线AM的表达式为y=-x+1. 令-x+1=x2-6x+5,解得x1=1,x2=4, .点M的坐标为(4，-3)； ②当∠ADM=90时， 设直线DM的表达式为y=-x+d, 将D(3,2)的坐标代入，得-3+d=2,解得d=5, ∴直线DM的表达式为y=-x+5. 令-x+5=x2-6x+5, 解得x1=0,x2=5, ∴.点M的坐标为(5,0)或(0,5). 综上可知，点M的坐标为(4，-3)， (0,5)或(5,0). (3)如答图，在AB上取点F,使BF =1,连接CF,PF,PB m=2…路7 器子分開胎 4题答图 又：∠PBF=∠ABP,∴.△PBF∽△ABP, 40g 所-隔=p=7PA, PC+}PA=PC+PF≥CF, :当C,P,F三点共线时，PC+PA的值最小，最小值为 线段CF的长， 0C=5,0F=0B-1=5-1=4, :.CF=√0C+0F=√52+4=4I, :PC+之PA的最小值为V瓦. 例5.解：(1)把点A(3,4),B(0,1)代入y=-x2+bx+c, 得{c364指化=-f1 (2)存在. BC∥x轴且B(0,1),.y。=1=-x2+4x+1, x1=0(舍去)，x2=4,.C(4,1). 如答图①，过点A作AQ⊥BC于点Q. 4 A M3-/P 2# 1 B 210r2345x ,2 例5题答图① 在Rt△ACQ中，A(3,4),.Q(3,1),.AQ=3,CQ=1. n L BCP=石tnLACB, m∠0p=6×28=6x3=宁 设直线CP交y轴于点M, yBG=4,∠CBM=90°，anzBCP=7, ∴.BM=2,∴M1(0,3),M2(0,-1) 如答图①，连接CM1交抛物线于点P1,连接CM2并延 长，交抛物线于点P2, am=-2+3am=2-1, 1 x=2’ y=-x2+4x+1,【x2=4(舍去)， 或0-1，解得 1 y=-x2+4x+1,x4=4(舍去)， 把名=分=-代入y=-2+4红+1， 1 得以=- P(分4)n(-2,-) 综上所述，满足条件的点P坐标为P,(分，)， (-) (3)F(-1,3),F2(3,4-6),F3(3,4+6),F4(1,-2). [解析]抛物线y=-x2+4x+1=-(x-2)2+5, 对称轴为x=2. 将抛物线向左平移2个单位后得到y1=-x2+5, .联立两个抛物线得到D点坐标(1,4) ①以BD为对角线. 如答图②，作BD的垂直平分线ME,交BD于点M,交 直线x=2于点E,, -10123x -1H 例5题答图② B0,).14)M2) 设E1(2,y),DE1=BE1, .12+(4-y)2=22+(y-1)2,y=2,∴.E1(2,2). M是E1F1的中点，F（-1,3)； ②以BD为边. 如答图③，以，点B为圆心，BD为半径画圆交直线x=2 于点E2,E3,连接BE2,BE3, x=2 5 D -4卡 E B -2-10 2/3 -3 例5题答图③ 过点D作DF2∥BE2,过点E2作E2F2∥BD,DF2和 E2F2相交于点F2,同理可得F B(0,1),D(1,4),BD=12+32=10, .BE2=BE3=√10， .过点B作BN⊥E2E3于点N,则BN=2. 在Rt△BNE2和Rt△BNE3中，由勾股定理，得 参考答案与解析 22 E2N=E;N=6, .E2(2,1-√6)，E3(2,1+6) ,点F是由，点E向右平移1个单位长度，再向上平移 3个单位长度得到的， ∴F2(3,4-V6),F3(3,4+6); ③以BD为边. 如答图④，以点D为圆心，BD长为半径画圆交直线x =2于点E4和E5, 6 D E -2-10 345 -2H 例5题答图④ 连接DE4,DE5,则DE4=DE,=BD=√I0. 过点D作DH⊥E4E,于点H,则DH=1. 在Rt△DHE4和Rt△DHE,中，由勾股定理，得 HE4=HE3=3,∴E4(2,1),E(2,7). tan L DBE =tan L Es DH=3, .∠DBE4=∠EDH,B,D,E三点共线， 过点B作BF4∥DE4,过E4作E,F4∥BD, BF4和E4F4相交于，点F4, B(0,1),E4(2,1),∴.BE4的中点G(1,1). D(1,4),点G为DF4的中点，F4(1,-2) 综上所述，F,(-1,3),F2(3,4-√6)，F3(3,4+√6)， F4(1,-2). ©针对训练 5.解：(1)把(-1,0)，(1,3)分别代入y=ax2+bx+2中，得 1 ra-b+2=0 a=-2’ la+b+2=3, 解得 3 b=2’ 故该抛物线的表达式为y=一之+ x+2. (2)由(1)易得B(4,0),C(0,2), .0C=2,0B=4,∴.BC=2√5. 根据直线BC过点B(4,0),C(0,2), 易得直线8C的表达式为y=宁+2 .PE∥y轴，∴.∠PED=∠BCO. 又：∠PDE=∠BOC=90°， 见此图标眠即刻扫码解锁高效备考新模式 41 33 数学·精练本2 .∴.△PDE∽△BOC :PD-B0_25DEC0.5 PE BC 5PE BC5 .PD-25 PE.DE-PE 设P(m名+3m+2,0<m<4, 则(m,-m+2, =-2+m+2-(-2n+2) =-2m2+2m=-2(m-22+2 y-分<0，当m=2时，PE有最大值2， 六△PE周长的最大值是PD+DE+PE=35PE+PE =6等+2，此时点P的坠标为2,3》 59).(13或 (③)满足条件的点N的坐标为(-2,2)(22 (分3） [解析]抛物线沿射线CB方向平移√5个单位长度，即抛 物线向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度， ∴.平移后的抛物线的对称轴为 3 直线x= 2x(-2 +2=子设M子小，Na,. ①当AP为菱形的对角线时， 由题意得M=MP,即（子+1+-（子-2+-3， 解得1=-子M子-》 (-10+2=3+n0+3=-+6, m=-多=号-昌2)月 ②当AP为菱形的边时， 若A=Pw,则(2+1)2+3=(2-2+(3-0， 得1=33子33） (-10+号-2*0+(33）-3+k a=安=±3分3）分2 若AP=A,则2+1)P+=(子+)+，北方程无解 420 第二部分数学中考命题新趋势 趋势一历史文化 1.C 2.D[解析]如答图，由题意可知a=6+20-22=4.又b =x+6-a,b=x+6+20-22-y,.x+2=x-y+4,∴.y =2.又c=6+20-b,c=x+6-y,.26-(x+2)=x+ 4,.x=10,∴.x+y=12 20 22 a 2题答图 3.C[解析]设BF=a,AF=b,则ana=名，amB=6产a ma=m8.:云-(62a,d+6=3h, S方形rch=(b-a）2- .3商0a2+6212 子1總分 3.故选C. 4.C[解析]如答图，过点A作AC⊥OB于点C,则AC= 名01=弓正十二边形的西积为12×宁×1×宁=3， .⊙0的面积近似为3，.π×12≈3，T≈3.故选C M B A B 4题答图 5题答图 5.B[解析]如答图，连接ON,:OA=OB,AN=BN,.ON⊥ AB,M,N,0三点共线.：∠AOB=60°，.△OAB是等边 三角形，AB=0A=4,∠0AN=60°，.0W=0A·sin60°= 25MN=4-25,1=4+4-23=1-45. 4 6.C 7.5x+y=3, x+5y=2 &名[解折]将（论语玉子（大学中周》分剂用A,B。 C,D表示，根据题意列表如下： A A (A,B) （A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C)题型八 二次函数的综合应用 ⊙类型一线段问题 >》 例1（大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于 A,B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表： -10 1 2 3 4 0 -3-4 -3 0 (1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； (2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2 +bx+c的图象交于P,Q两点(P在Q左边)，R为二 次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐 标为m,点R的横坐标为m+√2时，求tan∠RPQ的值； A\0 B 例1题图 (3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到的线段与二次函数y=1(ax2+bx+ c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t 的取值范围。 例1题备用图 见此图标 第一部分重点题型专练 22 答案P36 回思维导引 (1)选择三个合适的点，运用待定系数 法即可求得二次函数的表达式； (2)构造直角三角形，把∠RPQ放在直 角三角形中，用m表示tan∠RPQ 的值并化简，即可求解； (3)二次函数y=}(-2x-3)与 x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 对称轴为直线x=1,二次函数y= 1(x2-2x-3)与二次函数y= (x2-2x-3)只是开口大小和方向 发生了变化，并且 越大，开口 越小，所以利用数形结合寻求线 段与抛物线的交点问题，可求出t 的取值范围. 眠即刻扫码解锁高效备考新模式】 3R 数学·精练本2 回针对训练 ①（连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1:y=x2-2x-3的顶点为P.直线l过点M(0,m) (m≥-3)，且平行于x轴，与抛物线L,交于A,B两点(B在A的右侧).将抛物线L,沿直线1翻折得到 抛物线L2,抛物线L2交y轴于点C,顶点为D. (1)当m=1时，求点D的坐标； (2)连接BC,CD,DB,若△BCD为直角三角形，求此时抛物线L2所对应的函数表达式； (3)在(2)的条件下，若△BCD的面积为3，E,F两点分别在边BC,CD上运动，且EF=CD,以EF为一 边作正方形EFGH,连接CG,写出CG长度的最小值，并简要说明理由. D 1题图 1题备用图 120 ⑥类型二角度问题 例2（营口模拟）如图，抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)与x轴交 于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交 x轴于点D(3,0),过点B作直线1⊥x轴，过点D作DE⊥ CD,交直线l于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，直线CE和BP 交于点Q,当兴-号时，求点P的坐标： B 例2题图 (3)在(2)的条件下，连接AC,在直线BP上是否存在点F, 使得∠DEF=∠ACD+∠BED?若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由. 例2题备用图 见此图标 第一部分重点题型专练) 回思维导引 (1)利用待定系数法即可求出抛物线 的解析式； (2)求出直线EC的解析式，过点P作 PT⊥x轴，交EC于点T,利用相似 求出PT的长，再表示出点P和点 T的坐标，建立等式求解即可得出 点P的坐标； (3)由题意推出∠DEF=45°，以DE为 对角线作正方形DMEN,则点F为 直线BP与EM的交点，或点F为 直线BP与EN的交点，求出三条 直线的解析式，即可求得点F的 坐标. 眼即刻扫码解锁高效备考新模式了。13 33 数学·精练本2 回针对训练 2(大庆)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点0及点A(2√3,3)，过 点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为(0,1)，连接AF并延长交抛物线于点E, 射线AB平分∠FAM,过点A作AB的垂线I交y轴于点T. (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线l与二次函数y=ax2+bx+c的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点P(m,0)为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m的取值范围. y B E E l17 2题图 2题备用图 40 ⊙类型三面积问题 >》 例3（大庆）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴 交于A,B两点.A点坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0, 3),点M为抛物线顶点，点E为AB中点 (1)求二次函数的表达式； (2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得∠QCB= 2∠ABC,求点Q的坐标； 例3题图 (3)已知D,F为抛物线上不与A,B重合的相异两点 ①若点F与点C重合，D(m,-12),且m>1,求证：D, E,F三点共线； ②若直线AD,BF交于点P,则无论D,F在抛物线上如 何运动，只要D,E,F三点共线，△AMP,△MEP, △ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出 其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由. 例3题备用图① 例3题备用图② 见此图标 第一部分重点题型专练) 回思维导引 (1)运用待定系数法即可求得抛物线 的表达式； (2)证明∠QCB=90°，再过点C作CQ ⊥BC交抛物线于点Q,过点Q作 QG⊥y轴于点G,证出CG=QG,最 后设点Q、点G的坐标，通过计算 即可得出结果； (3)①求出直线EF的表达式，再与抛 物线联立，求出点D的坐标，最后 验证即可证明； ②设直线DF和直线AD的表达 式，分别与抛物线联立，结合根与 系数关系和相关计算，得出点P 在直线y=8上运动，点P到x轴 的距离为定值8，即可得出△ABP 的面积为分ABxy,=方×4×8 16是定值. 眼即刻扫码解锁高效备考新模式了。15 33 数学·精练本2 回针对训练 3(山西)综合与探究 如图，二次函数y=-x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A,经过点A的直线与该函数图象交于点 B(1,3),与y轴交于点C. (1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标； (2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E,与直线AB交于 点D,设点P的横坐标为m ①当PD=20C时，求m的值； ②当点P在直线AB上方时，连接OP,过点B作BQ⊥x轴于点Q,BQ与OP交于点F,连接DF.设 四边形FQED的面积为S,求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值. C B 0 3题图 160 ⊙类型四与特殊三角形判定有关的问题 >》 ⑤型（绥化模拟）如图，抛物线y=2+bx+c与x轴交于A,B 两点，与y轴交于点C,直线BC的解析式为y=x-6.点P 是x轴上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴交直线BC 于点E,交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式； 例4题图 (2)若点P在线段OB上运动（且不与点O重合），当AE= 2/10时，请你猜想∠AEP与∠AC0的数量关系，并说明 理由； 例4题备用图① (3)是否存在点P,使得△CEF是等腰三角形？若存在，请 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 例4题备用图② 见此图标 第一部分重点题型专练) 回思维导引 (1)运用待定系数法即可求得抛物线 的解析式； (2)由抛物线的解析式求出AC的长， 再根据题设转换角的关系，即可 求解； (3)分三种情况讨论，当CE=EF时； 当CE=CF时；当CF=EF时，分 别求解即可得出结论 眼即刻扫码解锁高效备考新模式了。门 33 数学·精练本2 回针对训练 4(烟台)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4,抛物线的对称轴x =3与经过点A的直线y=x-1交于点D,与x轴交于点E. (1)求直线AD及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+2PA的最小值， 0 OVA B 4题图 4题备用图 180 ⊙类型五与特殊四边形判定有关的问题 >》 例5（绥化）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c 与直线相交于A,B两点，其中点A(3,4),B(0,1). (1)求该抛物线的函数解析式； (2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C,连接AC,在抛物 线上是否存在点P使m∠BCP=-tn_ACB..若存 在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请 说明理由；（提示：依题意补全图形，并解答） 5 4 3 21012345 -2 例5题图 (3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x +c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D, 点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标 系内的一点，当以点B,D,E,F为顶点的四边形是菱形 时，请直接写出点F的坐标 y 4 3 2 B -21012345 -2 例5题备用图 见此图标 第一部分重点题型专练) 回思维导引 (1)运用待定系数法即可求得抛物线 的解析式； (2)过点A作AQ⊥BC于点Q,设直线 CP交y轴与点M,根据题意求出 直线CM1和CM2的解析式，分别 与抛物线联立即可求解； (3)分三种情况讨论，当BD,EF为对 角线时；当BE,DF为对角线时；当 BF,DE为对角线时，分别求解即 可得出结果 眼即刻扫码解锁高效备考新模式了。19 33 数学·精练本2 回针对训练 5(重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点(1,3)，且交x轴于点A(-1,0),B两 点，交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D,过点P作y轴的平行线交直 线BC于点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移√5个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点A,P,M,N为顶点的四边形是 菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程， y D B B 5题图 5题备用图 299