2026年中考数学二轮复习：二次函数

**基本信息** 以题载法构建二次函数知识网络，通过概念辨析-图像综合-实际应用的递进训练，培养数学抽象与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-5、填空11-13|配方法求顶点、对称轴公式、根的判别式应用|从解析式到图像特征，构建"系数-图像-性质"对应关系| |图像综合|选择6-10、填空14-15|函数比较、分段函数、图像变换|通过多函数交点、动态问题深化数形结合思想| |实际应用|解答16-20|建立坐标系建模、最值求解、几何综合|以龙舟漂移、喷水池等情境培养数学建模与应用意识|

2026年中考数学二轮复习：二次函数 一．选择题（共10小题） 1．关于抛物线y＝x2﹣6x+7，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与x轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，﹣2） 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 3．如图，抛物线与抛物线交于点A（3，m），过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是AC的中点，则（　　） A． B．3 C． D．9 4．在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 5．已知二次函数y＝（a2+1）x2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且x1＜x2．若点A（m，n）在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＞0时，m＜x1 D．当n＜0时，x1＜m＜x2 6．如图，已知抛物线，直线y2＝﹣x+1，下列判断中： ①当x＜0或x＞1时，y1＜y2； ②当x＝﹣2或x＝3时，y2﹣y1＝6； ③当时y1﹣y2随x的增大而增大； ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管OA，并在水管顶端A处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，有下列结论： ①水柱落地处距池中心O的距离为3m； ②水管OA的长度为2.25m； ③水柱到达最高点时的高度为3m． 其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动．过点P作PF∥AD，交DE于点F．设AP＝x，△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x，y2与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 9．我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y＝x+4的3分函数为． 若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣4关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中： ①当m≥1时，y′的最小值为﹣5； ②当m＝1时，若点P（a，b）（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q（2﹣a，﹣b）也在函数y′的图象上； ③当m＝﹣1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是﹣1，则x2﹣x1的最大值为．描述中正确的是（　　） A．② B．①② C．①③ D．②③ 10．如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　） A．ABC B．ABD C．ACD D．BCD 二．填空题（共5小题） 11．已知二次函数，当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是　 　 ． 12．已知实数a，b，c满足（a﹣b）2＝ab＝c，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当c＝5时，a+b＝﹣5； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，c＝0； 丁：二次函数y＝x2+bx﹣c与一次函数y＝ax+1的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是　 　 ． 13．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为　 　 ． 14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 　 　 （填序号）． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为　 　 ． x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 三．解答题（共5小题） 16．综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台． 【问题提出】 如图1，观赛台的高AB＝3m，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为30°． 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线EF的距离为2m． （1）如图1，求河道的宽BD； （2）如图2，已知一艘龙舟的船头在点P（﹣6，6）处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线EF上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且QF＝2m，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； （3）赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13km/h时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由． 17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D（m，q）（0＜m＜3）是该抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值； （3）若函数y＝x2+bx+c（n﹣1≤x≤n+1）的最大值与最小值的差为12，求出n的值． 18．我们规定：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）若其图象上的点P（x，y）满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点P为该二次函数的“和谐点”． 已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，请结合“和谐点”的定义解决下列问题： （1）求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴； （2）求该二次函数的所有“和谐点”的坐标； （3）已知二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”，求k的取值范围． 19．如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． （1）求中间大拱抛物线的解析式； （2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）； （3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长． 20．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台——安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线L1与抛物线L2关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕MNPQ如图②所示悬挂，右端固定在抛物线L2的顶点F处，左端从抛物线L1上的点D处拉一条绳索DE固定，DE∥y轴，交x轴于点G，点E、F在边MQ上，边MQ与NP平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，NP与舞台平面l之间的距离要不小于2米； 2．DE与y轴之间的距离为1m，需要的绳索长度DE是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，，． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）通过计算说明NP与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度DE． 2026年中考数学二轮复习：二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．关于抛物线y＝x2﹣6x+7，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与x轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，﹣2） 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】需根据二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点坐标的判定方法逐一分析选项． 【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+7，其中a＝1，b＝﹣6，c＝7， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意． ∵对称轴为直线， ∴选项B错误，不符合题意． ∵当x＝0时，y＝7，即抛物线与y轴交点为（0，7），而与x轴交点需满足y＝0，故选项C错误，不符合题意． ∵将解析式配方得y＝（x﹣3）2﹣2， ∴顶点坐标为（3，﹣2），故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，正确进行计算是解题关键． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 【解答】解：由题意可得， ∵方程mx2﹣2mx+m﹣3＝0的两根异号， ∴x1x2＝ 0， 解得0＜m＜3， ∴二次项系数m＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）的对称轴为直线x1， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4m﹣4m+m﹣3＝m﹣3， ∵0＜m＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键． 3．如图，抛物线与抛物线交于点A（3，m），过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是AC的中点，则（　　） A． B．3 C． D．9 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】A 【分析】先推导出B（﹣3，m），，得到，进而推导出b＝6a2，将A（3，m），代入，，可得到9a1＝9a2+3b，则9a1＝9a2+3×6a2，即可解答． 【解答】解：抛物线的对称轴为x＝0，抛物线的对称轴为， 由条件可知由抛物线的对称性可知B（﹣3，m），， 即， ∴， 由条件可知，即：b＝6a2， 将A（3，m），代入，得： m＝9a1，m＝9a2+3b， 则9a1＝9a2+3b， ∴9a1＝9a2+3×6a2， ∴9a1＝27a2， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 4．在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】B 【分析】依据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，又抛物线过点（0，1.8），从而16a+3.4＝1.8，进而求出解析式，再令抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，令y＝0，，即可求出s＝4，最后得出s的范围就可判断得解． 【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4． 又抛物线过点（0，1.8）， ∴16a+3.4＝1.8． ∴a＝﹣0.1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． 令y＝0， ∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． ∴x＝4±． 显然s＞0， ∴s＝4． ∵56， ∴9＜s＝410． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．已知二次函数y＝（a2+1）x2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且x1＜x2．若点A（m，n）在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＞0时，m＜x1 D．当n＜0时，x1＜m＜x2 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性． 【解答】解：由条件可知a2+1＞0，即该二次函数抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2， 当y＜0时，x1＜x＜x2；当y＞0时，x＜x1或x＞x2， ∵点A（m，n）在抛物线上，即y＝n， ∴当n＜0时，x1＜m＜x2， 当n＞0时，m＜x1或m＞x2． 对于选项A：当n＜0时，x1＜m＜x2，而m＜0不一定成立，故该选项错误，不符合题意； 对于选项B：当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故该选项错误，不符合题意； 对于选项C：当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故该选项错误，不符合题意； 对于选项D：当n＜0时，x1＜m＜x2，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 6．如图，已知抛物线，直线y2＝﹣x+1，下列判断中： ①当x＜0或x＞1时，y1＜y2； ②当x＝﹣2或x＝3时，y2﹣y1＝6； ③当时y1﹣y2随x的增大而增大； ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数与不等式（组）． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】B 【分析】依据题意，可得，从而求出和y2＝﹣x+1两图象的交点为（0，1），（1，0），又y1＜y2时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围，故可判断①；又y2﹣y1＝﹣x+1﹣（﹣x2+1）＝x2﹣x＝6，求出x后，故可判断②；又y1﹣y2＝﹣x2+x＝﹣（x）2，结合y1﹣y2对应抛物线开口向下，则当x时，y随x的增大而减小，故可判断③；又|y1﹣y2|，则x2﹣x或x2﹣x，再结合对于x2﹣x0的Δ＞0，此时方程有两个不等的实数根；而对于x2﹣x0的Δ＝10，此时方程没有实数根，故可判断④． 【解答】解：由题意，可得， ∴或． ∴和y2＝﹣x+1两图象的交点为（0，1），（1，0）． ∴y1＜y2时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围． ∴当x＜0或x＞1时，y1＜y2，故①正确． 又y2﹣y1＝﹣x+1﹣（﹣x2+1）＝x2﹣x＝6， ∴x＝3或x＝﹣2． ∴当x＝﹣2或x＝3时，y2﹣y1＝6，故②正确． ∵y1﹣y2＝﹣（x2﹣x）＝﹣（x）2， 又y1﹣y2对应抛物线开口向下， ∴当x时，y随x的增大而减小，故③错误． ∵|y1﹣y2|， ∴x2﹣x或x2﹣x． ∴对于x2﹣x0的Δ＞0，此时方程有两个不等的实数根；而对于x2﹣x0的Δ＝10，此时方程没有实数根． ∴|y2﹣y1|的x有2个，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管OA，并在水管顶端A处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，有下列结论： ①水柱落地处距池中心O的距离为3m； ②水管OA的长度为2.25m； ③水柱到达最高点时的高度为3m． 其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】D 【分析】利用二次函数顶点式的性质，分别计算三个结论判断正误，落地对应y＝0，OA长度对应x＝0时y的值，最高点高度是抛物线顶点的纵坐标． 【解答】解：∵水柱落地时高度y＝0，代入得， 解得 x1＝3，x2＝﹣1（距离为正，舍去负根） ∴水柱落地处距O点距离为3m， ∴①正确； ∵O是池中心，OA长度对应 x＝0， 代入得， ∴OA长度为2.25m， ∴②正确； ∵，抛物线开口向下，顶点为（1，3）， ∴水柱最高点高度为3m， ∴③正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动．过点P作PF∥AD，交DE于点F．设AP＝x，△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x，y2与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 【考点】二次函数的定义；一次函数的定义． 【专题】函数及其图象；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意，分别表示出△DPF的面积和△DEP的面积，结合一次函数和二次函数的概念，即可得到结果． 【解答】解：如图，延长FP，交DC于点H，设正方形的边长为2a， ∵FD∥CB， ∴△DHF∽△DCE， ∴， ∴， ∴HF， ∵FP＝PH﹣FH＝2a， ∴S△DPFPF•DH ， ， ∴y1为x的二次函数， ∵S△DEPPF•DC ， y2是x的一次函数， 综上，y1为x的二次函数，y2是x的一次函数， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的定义及一次函数的定义，熟练得到y1，y2关于x的表达式是解题的关键． 9．我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y＝x+4的3分函数为． 若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣4关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中： ①当m≥1时，y′的最小值为﹣5； ②当m＝1时，若点P（a，b）（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q（2﹣a，﹣b）也在函数y′的图象上； ③当m＝﹣1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是﹣1，则x2﹣x1的最大值为．描述中正确的是（　　） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质． 【专题】数形结合；分类讨论；应用意识；创新意识． 【答案】D 【分析】判断出y′的函数，画出相关图形，结合二次函数的性质判断所给结论是否正确即可． 【解答】解：由题意得：y′， 当抛物线的开口向上，y′＝x2﹣2x﹣4＝（x2﹣2x+1）﹣5＝（x﹣1）2﹣5，有最小值﹣5， 当抛物线的开口向下，y′有最大值，无最小值． 故①错误； 当m＝1时，函数y′的图象如图1： ∵x＝a和x＝2﹣a关于x＝1对称， ∴若点P（a，b）（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q（2﹣a，﹣b）也在函数y′的图象上． 故②正确； 当m＝﹣1时，函数y′的图象如图2： ∵x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是﹣1，求x2﹣x1的最大值， ∴x1在y＝x2﹣2x﹣4上，且此时y＝5， x2﹣2x﹣4＝5， x2﹣2x+1＝10， （x﹣1）2＝10， ∴x＝1（不合题意，舍去）或x＝1， x2在y＝﹣x2+2x+4上，且此时y＝﹣1， ﹣x2+2x+4＝﹣1， x2﹣2x＝5， 解得：x＝1或x＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴x2﹣x1的最大值为1（1）． 故③正确， 故选：D． 【点评】本题综合二次函数的相关性质．理解并应用新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键． 10．如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　） A．ABC B．ABD C．ACD D．BCD 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，只有经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大． 【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，分三种情况讨论，如图所示： 抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大， ， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识，数形结合是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．已知二次函数，当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是　　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】． 【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的性质解答即可． 【解答】解：由题知， 因为， 所以抛物线的顶点坐标为且开口向下． 所以当x≤1时，函数值y随x的增大而增大， 故此时y的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．已知实数a，b，c满足（a﹣b）2＝ab＝c，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当c＝5时，a+b＝﹣5； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，c＝0； 丁：二次函数y＝x2+bx﹣c与一次函数y＝ax+1的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是　丁　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；无理数；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】丁． 【分析】根据所给出的条件（a﹣b）2＝ab＝c，逐一分析四个结论的是否正确． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝ab＝c，∴得出c≥0，a2﹣3ab+b2＝0， 当b≠0时，设t，得到t2﹣3t+1＝0，解得t， ∴a，b中至少有一个是无理数， 但是a＝b＝c＝0，时（a﹣b）2＝ab＝c成立，故甲的说法不对； 当c＝5时，ab＝5，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25，∴a+b＝±5，故乙的说法不对； 若c＝0，则必须a，b，c同时等于0，而不是a，b，c中有两个数相等，故丙的说法不对； 由x2+bx﹣c＝ax+1，得到x2+（b﹣a）x﹣c﹣1＝0， ∴Δ＝（b﹣a）2+4（c+1）＝（a﹣b）2+4（c+1）＝c+4c+1＝5c+4＞0， ∴二次函数y＝x2+bx﹣c与一次函数y＝ax+1的图象有两个交点， 故丁的说法对． 【点评】本题考查了等式变形，平方的非负性，分类讨论思想，函数交点问题，运用根的判别式判断抛物线与直线交点个数是解题的关键． 13．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为　（0，﹣16）　 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（0，﹣16）． 【分析】求抛物线与y轴的交点坐标，需令x＝0，代入函数解析式计算y的值． 【解答】解：当x＝0，y＝﹣（0﹣3）2﹣7＝﹣9﹣7＝﹣16， 故抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为（0，﹣16）． 故答案为：（0，﹣16）． 【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键． 14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 　②③④　 （填序号）． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】②③④． 【分析】依据题意，由图象顶点为P（1，m），从而可得对称轴是直线x1，再结合抛物线的开口向下，及图象与坐标轴的交点，且经过点A（2，1）然后逐个进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，且抛物线与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0． 又∵图象顶点为P（1，m）， ∴对称轴是直线x1． ∴b＝﹣2a＞0． ∴abc＜0，故①错误． ∵抛物线过点A（2，1）， ∴4a+2b+c＝1，故②正确． ∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故③正确． ∵∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1， ∴当x＝1时，y取最大值为a+b+c． ∴对于任意实数t，当x＝t时，y＝at2+bt+c≤a+b+c． ∴at2+bt≤a+b，故④正确． ∴正确的有②③④． 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为x＝4或x＝0　 ． x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】x＝4或x＝0． 【分析】由表格中的数据知，当x＝3时，y＝﹣5．所以由题意知：当x﹣1＝3时，y＝﹣5． 【解答】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x1， 根据题意知，一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为x＝3或x＝﹣1． 所以x﹣1＝3或x﹣1＝﹣1． 解得x＝4或x＝0． 所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为：x＝4或x＝0． 故答案为：x＝4或x＝0． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的技巧性在于得到x﹣1＝3或x﹣1＝﹣1． 三．解答题（共5小题） 16．综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台． 【问题提出】 如图1，观赛台的高AB＝3m，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为30°． 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线EF的距离为2m． （1）如图1，求河道的宽BD； （2）如图2，已知一艘龙舟的船头在点P（﹣6，6）处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线EF上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且QF＝2m，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； （3）赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13km/h时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由． 【考点】二次函数的应用；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】二次函数的应用；推理能力． 【答案】（1）； （2）； （3）这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示．理由如下： 把x＝﹣2代入得：y＝1.3＞1， ∴这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示． 【分析】（1）解Rt△ADB即可得解； （2）设顶点式，将顶点Q（﹣2，2），P（﹣6，6）代入即可得解； （3）依据题意，将x＝﹣1代入得y值，进而判断即可． 【解答】解：（1）依题意得：∠ADB＝30°， 在Rt△ABD中，，即， ∴； （2）设龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的解析式为：y＝a（x+h）2+k， 把顶点Q（﹣2，2），P（﹣6，6）代入得：a（﹣6+2）2+2＝6， 解得：， ∴龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的解析式为：； （3）这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示．理由如下： 把x＝﹣2代入得：y＝1.3＞1， ∴这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示． 【点评】本题主要考查了二次函数实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D（m，q）（0＜m＜3）是该抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值； （3）若函数y＝x2+bx+c（n﹣1≤x≤n+1）的最大值与最小值的差为12，求出n的值． 【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；推理能力． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）△BCD面积的最大值为； （3）n的值为﹣1或5． 【分析】（1）将点B、C坐标代入即可得解； （2）先求出直线BC解析式，进而过D作DE∥y轴交BC于点E，可得点D、E坐标，用参数表示出DE的长度，再利用铅锤法表示出面积，利用二次函数最值即可得解； （3）根据自变量的范围与对称轴位置关系，分类讨论，数形结合求解即可． 【解答】解：（1）将B（3，0）和C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）过D作DE∥y轴交BC于点E， 设直线BC解析式为y＝kx+a，将点B、C坐标代入得， ， 解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3， ∵D（m，q），且点D在抛物线上， ∴q＝m2﹣4m+3，E（m，﹣m+3） ∵0＜m＜3， ∴DE＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m， ∴S△BCDDE•OB（﹣m2+3m）×3（m）2， 当m时，则S△BCD， 故△BCD面积的最大值为； （3）对于y＝x2﹣4x+3，对称轴为直线x＝2， ①当n+1≤2，即n≤1时，此时范围如图， 当x＝n+1时，y最小值＝（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n， 当x＝n﹣1时，y最大值＝（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+3＝n2﹣6n+8， ∵最大值与最小值的差为12， ∴n2﹣6n+8﹣（n2﹣2n）＝12， 解得n＝﹣1，符合题意； 当n﹣1≥2，即n≥3时，范围如图， 当x＝n+1时，y最大值＝n2﹣2n， 当x＝n﹣1时，y最小值＝n2﹣6n+8， ∵最大值与最小值的差为12， ∴n2﹣2n﹣（n2﹣6n+8）＝12， 解得n＝5，符合题意； 当n﹣1和n+1位于对称轴两侧时，且n+1﹣2≥2﹣（n﹣1），即2≤n＜3时，如图， 当x＝n+1时，y最大值＝n2﹣2n， 当x＝2时，y最小值＝﹣1， ∵最大值与最小值的差为12， ∴n2﹣2n+1＝12， 解得n＝21（大于3，舍去）或n＝﹣21（小于2，舍去）； 当n﹣1和n+1位于对称轴两侧时，且n+1﹣2＜2﹣（n﹣1），即1≤n＜2时，如图， 当x＝n﹣1时，y最大值＝n2﹣6n+8， 当x＝2时，y最小值＝﹣1， ∵最大值与最小值的差为12， ∴n2﹣6n+8+1＝12， 解得n＝23（大于3，舍去）或n＝﹣23（小于1，舍去）； 综上，n的值为﹣1或5． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、坐标与图形性质、二次函数最值问题、二次函数的图象与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．我们规定：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）若其图象上的点P（x，y）满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点P为该二次函数的“和谐点”． 已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，请结合“和谐点”的定义解决下列问题： （1）求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴； （2）求该二次函数的所有“和谐点”的坐标； （3）已知二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”，求k的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）顶点坐标（1，﹣4），其对称轴为直线x＝1； （2）或； （3）． 【分析】（1）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）由“和谐点”定义可得x+y＝2，则x+x2﹣2x﹣3＝2，解方程计算即可； （3）由“和谐点”定义可得x+y＝2，则x+x2﹣2x+k＝2，根据二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”，则方程x2﹣x+k﹣2＝0无解，得到Δ＝（﹣1）2﹣4（k﹣2）＜0，解不等式即可． 【解答】解：（1）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）若其图象上的点P（x，y）满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点P为该二次函数的“和谐点”．则： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标（1，﹣4），其对称轴为直线x＝1； （2）由“和谐点”定义可得x+y＝2， ∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴x+x2﹣2x﹣3＝2， 解得， ∴或， ∴所有“和谐点”的坐标为或； （3）由“和谐点”定义可得x+y＝2， ∵y＝x2﹣2x+k， ∴x+x2﹣2x+k＝2， 整理得x2﹣x+k﹣2＝0， ∵二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”， ∴方程x2﹣x+k﹣2＝0无解， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（k﹣2）＜0， 解得． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 19．如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． （1）求中间大拱抛物线的解析式； （2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）； （3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；几何直观；运算能力；应用意识． 【答案】（1）； （2）米； （3）24米． 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16），设抛物线解析式为y＝ax2+16，由题意得点F的坐标为（3，0），代入抛物线解析式求得a的值，即可求得解析式； （2）求出当中间大拱抛物线的解析式的值为4时对应的自变量值，即可求得MN的长； （3）求出大拱在函数值为12时的两点坐标，可得一个小拱的底部宽，即可求得结果． 【解答】解：（1）如图， 由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16）， 设抛物线解析式为y＝ax2+16， ∵EF＝6米， ∴点F的坐标为（3，0），此点代入抛物线解析式中得32a+16＝0， 解得， ∴中间大拱抛物线的解析式为； （2）由题意得， 解得， ∴（米）， 答：铁丝MN的长为米； （3）如图，在大拱上找对称的两点G、H，且其纵坐标为12， 则， 解得， ∴， ∴， ∵大拱顶点到GH的距离为4，且大拱、小拱的形状相同， ∴每个小拱底部宽为3米， ∴CD＝6×3+6＝24（米）， 答：CD的长为24米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出二次函数解析式是关键． 20．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台——安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线L1与抛物线L2关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕MNPQ如图②所示悬挂，右端固定在抛物线L2的顶点F处，左端从抛物线L1上的点D处拉一条绳索DE固定，DE∥y轴，交x轴于点G，点E、F在边MQ上，边MQ与NP平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，NP与舞台平面l之间的距离要不小于2米； 2．DE与y轴之间的距离为1m，需要的绳索长度DE是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，，． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）通过计算说明NP与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度DE． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）NP与舞台平面l之间的距离符合要求，． 【分析】（1）由关于原点中心对称的点的坐标特征，可得抛物线L1的顶点坐标，根据待定系数法即可得抛物线L1的函数表达式； （2）由题意可得NP与舞台平面l之间的距离，当x＝﹣1时，，可得DG，结合已知即可得绳索的长度DE． 【解答】解：（1）由题意可得：抛物线L1的顶点坐标为， 设抛物线L1的函数表达式为（a≠0）， 把点O（0，0）代入， 解得， ∴抛物线L1的函数表达式为． （2）由题意可得NP与舞台平面l之间的距离为， 当x＝﹣1时，， ∴， 由题可得GE的长度为， ∴， ∴NP与舞台平面l之间的距离符合要求，绳索的长度DE为． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $