14.1 全等三角形及其性质 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕全等三角形及其性质展开，涵盖全等形、全等三角形的概念、对应元素及性质，通过生活图形实例导入，衔接图形认识基础，以“观察形状—比较大小—归纳定义”的学习支架引导学生构建认知。 其亮点在于结合图形变换（平移、翻折、旋转）和动态问题，培养几何直观与推理意识。如平移求阴影面积用转化法，动点问题分类讨论，搭配“解题秘方”“思路导引”助学生建立思维路径，小结“方法点拨”系统总结，能提升学生空间观念，教师可直接用丰富例题与策略提高教学效率。

14.1 全等三角形及其性质 第十四章 全等三角形 全等形：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 知识点 全等形 1 知1－讲 注意 (1)全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关； (2)平移、翻折、旋转前后的图形全等. 特别解读 1. 完全重合说明两个图形的周长和面积相等.即全等形的周长和面积相等. 2.周长或面积相等的两个图形不一定是全等形. 知1－讲 3 请观察下面的6组图形(如图14.1-1)，其中是全等形的是________(填序号) 例1 ①⑤⑥ 知1－练 4 思路导引： 解：①⑤⑥中的两个图形的形状、大小都相同，是全等形；②③中的两个图形的大小都不相同，不是全等形；④中的两个图形的形状不同，不是全等形. 知1－练 5 1-1. 下列图形中，属于全等形的是( ) D 知1－练 1. 全等三角形的有关概念和表示方法 知识点 全等三角形 2 知2－讲 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF 全等 知2－讲 相关概念 示例 表示 方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 知2－讲 相关概念 示例 对应 元素 对应顶点：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：把两个全等的三角形重合到一起，重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：把两个全等的三角形重合到一起，重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 续表 知2－讲 图示 用“≌”表示两个三角形全等时，对应顶点的字母写在对应的位置上 注意 三角形中对应边、对应角与对边、对角的区别： 对应边、对应角是两个三角形的两条边之间、两个角之间的关系，对边、对角是一个三角形中边和角之间的关系. 知2－讲 2. 三种常见的全等类形 知2－讲 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 方法总结 确定全等三角形对应边、对应角的方法： 1. 字母顺序法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角. 2. 图形特征法： (1)最长边对应最长边，最短边对应最短边； (2)最大角对应最大角,最小角对应最小角. 知2－讲 3. 位置关系法： (1)公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边； (2)对应角所对的边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (3)对应边所对的角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. 知2－讲 [母题 教材P30练习T1]如图14.1-2，△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角. 例2 解题秘方：根据图形的位置特征确定对应边和对应角. 知2－练 解：对应边：AB 和DC，BC 和CB，AC 和DB； 对应角：∠ A 和∠ D，∠ ABC 和∠ DCB， ∠ ACB 和∠ DBC. 知2－练 2-1. 如图，△ AOC ≌△ BOD，C，D 是对应顶点，下列结论错误的是 ( ) A． ∠ A 与∠ B 是对应角 B． ∠ AOC 与∠ BOD 是对应角 C．OC 与OB 是对应边 D．OC 与OD 是对应边 C 知2－练 如图14.1-3，将△ ABC 绕其顶点B 顺时针旋转一定角度后得到△ DBE，请判断图中△ ABC 和△ DBE 是否为全等三角形. 若是，写出其对应边和对应角. 例3 知2－练 解题秘方：根据图形旋转前后的对应位置找对应关系. 解：△ ABC ≌△ DBE. 对应边：AB 和DB，AC 和DE，BC 和BE. 对应角：∠ A 和∠ BDE，∠ ABC 和∠ DBE，∠ C 和∠ E. 知2－练 3-1. 如图，将△ABC沿直线BC向右平移，得到△DEF，这两个三角形是否全等？若全等，请表示出来，并指出这对全等三角形的对应边和对应角． 知2－练 解：全等，△ABC≌△DEF. 对应边：AB和DE，AC和DF，BC和EF； 对应角：∠A和∠D，∠B和∠DEF，∠ACB和∠F. 知2－练 1. 性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 图形语言：如图14.1 -4所示. 知识点 全等三角形的性质 3 知3－讲 特别解读 全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法，关键是抓住“对应”两字，结合图形或表达式中字母的对应位置，灵活地找到对应边或对应角. 知3－讲 几何语言：∵△ ABC ≌△ DEF， AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∠ A= ∠ D，∠ B= ∠ E，∠ C= ∠ F. ∴ 知3－讲 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 知3－讲 如图14.1-5，已知△ ABC ≌△ EDF，求证： (1)DC=BF；(2)AC∥EF. 解题秘方：紧扣全等三角形的对应边相等，对应角相等证明. 例4 知3－讲 (1)DC=BF； (2)AC∥EF. 证明：∵△ ABC ≌△ EDF，∴ DF=BC. ∴ DF－CF=BC－CF，即DC=BF. ∵△ ABC ≌△ EDF， ∴∠ACB= ∠EFD. ∴ AC∥EF. 知3－讲 4-1.如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，且点B，E，C在同一条直线上，试判断AE和DE的关系，并证明你的结论． 知3－讲 解：AE＝DE，AE⊥DE.证明如下： ∵∠B＝90°，∴∠A＋∠AEB＝90°. ∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴AE＝DE，∠A＝∠DEC. ∴∠DEC＋∠AEB＝90°. ∴∠AED＝90°，即AE⊥DE. 知3－讲 如图14.1-6，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数. 例5 知3－讲 解题秘方：先利用全等三角形的性质确定三角形中角的关系，再由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数. 知3－讲 解：∵△ ADB ≌△ EDB ≌△ EDC， ∴∠ ABD= ∠ EBD= ∠ C，∠ A= ∠ BED= ∠ CED. 又∵∠ BED＋∠ CED=180° ， ∴∠ BED= ∠ CED=90°. ∴∠ A=90°. ∴∠ ABD＋∠ EBD＋∠ C=180°－∠ A=90°. ∴ 3∠ C=90° .解得∠ C=30°. 知3－讲 5-1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，△CAD≌△CED，△CEF ≌△BEF，△ CEF≌ △ CAD．求∠A，∠B 的度数. 知3－讲 解：∵△CAD≌△CED，△CEF≌△CAD， ∴∠ACD＝∠ECD，∠ECF＝∠ACD. ∴∠ACD＝∠ECD＝∠ECF. 又∵∠ACB＝∠ACD＋∠ECD＋∠ECF＝90°， 3∠ECF＝90°，∴∠ECF＝30°. ∵△CEF≌△BEF，∴∠B＝∠ECF＝30°. ∴∠A＝90°－∠B＝60°. 知3－讲 全等三角形及其性质 全等 三角形 全等形 特例 性质 对应元素 题型 利用全等三角形的性质解图形变换问题 1 如图14.1-7，将Rt△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE与AC交于点H，如果AB=8 cm，BE=4 cm，DH=3 cm，那么图中阴影部分的面积为_______cm2. 例6 类型1 平移变换 平移是全等变换，△ ABC 平移后得到 △ DEF，则两个三角形全等 26 思路导引： 解：由题意可知△ABC≌△DEF，∴DE=AB=8 cm，S△ABC=S△DEF.∵ S△ABC=S梯形ABEH+S△HEC，S△DEF=S阴影+S△HEC， 平移是全等变换，△ ABC 平移后得到△ DEF，则两个三角形全等∴ S阴影=S梯形ABEH.∵DH=3 cm， ∴HE=DE-DH=8-3=5(cm). ∴ S 阴影=S 梯形ABEH= ( AB+HE)·BE= ×(8+5)×4=26(cm2). 方法点拨 将所求图形面积通过全等变换转化为易求(或已知)图形面积的方法，我们称之为面积转化法，它是解面积问题或涉及垂直(高)等几何问题的常用方法. 本题运用面积转化法将所求阴影部分的面积转化成易求解的梯形ABEH 的面积. 如图14.1-8，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.若∠CEF=40°，求∠EAF的度数. 例7 类型2 翻折变换 思路导引： 解：由题意知，△ADE≌△AFE，∠ D=90°， ∴∠ AED= ∠ AEF，∠ AFE= ∠ D=90°. ∵∠AED+ ∠AEF+ ∠CEF=180°, ∠CEF=40°, ∴∠AEF= (180°- ∠CEF)=70°. ∴在Rt △AEF中，∠EAF=90°- ∠AEF=20°. 解题策略 本题中长方形作为条件隐含着每个内角都是90°；折叠作为条件可得全等，隐含着对应角相等. 题型 利用全等三角形的性质探究线段间的关系 2 [新考法 逆向思维法]如图14.1-9，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD ≌△ACE，AB与CA，AD与CE是对应边. 例8 思路导引： (1)求证：BD=DE+CE. 证明：∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE. 又∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE. (2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE ？请说明理由. 解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE. 理由：∵△BAD≌△ACE，∴∠ADB= ∠CEA. ∵∠ADB=90°，∴∠CED=90°. ∵∠ADB+ ∠BDE=180°，∴∠BDE=90°. ∴∠BDE= ∠CED.∴BD∥CE. 方法点拨 解答探究条件类题目的方法： (1)先猜想出条件，利用猜想出的条件推出题目的结论； (2)将题目中的结论当作条件进行推理，这样推出的结果即为要探究的条件． 解题时常采用逆向思维法寻找条件，再进行证明. 题型 利用全等三角形的性质求运动的速度和时间 3 [新视角 动点探究题]如图14.1-10，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，点D为AB的中点. 点P在线段BC上以每秒3 个单位长度的速度由点B向点C运动， 同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒 a个单位长度的速度运动，设运动时间 为t秒. 例9 (1)求CP的长(用含t的代数式表示)； 解：由题意得BP=3t.∵BC=8，∴CP=8-3t. 解题秘方：点在线段上运动，利用点运动的时间和速度求线段长； (2)若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a 和t的值. 解题秘方：分两种情况讨论，根据对应关系得出线段相等，求出a，t 的值. 解：∵AB=10，点D为AB的中点， ∴BD= AB=5. 由题意得CQ=at. 需分两种情况讨论： 若△BDP≌△CPQ，则BD=CP，BP=CQ， ∴ 5=8-3t，3t=at，解得t=1，a=3； 若△BDP≌△CQP，则BP=CP，BD=CQ， ∴ 3t=8-3t，5=at，解得t=，a=. 由8-3t>0，t>0，得0<t<，∴ t=1，t=均符合题意. 综上所述，a=3，t=1 或a=，t= . 教你一招 动态问题的求解思路： 此类动态数学问题的特点是动中有静，静中有动. 解题时通常用到分类讨论思想、方程思想及数形结合思想. 分情况对题目进行讨论，结合图形根据全等三角形的性质列出方程求解. 解法提醒 由∠ B 和∠ C 是对应角可知DP 和PQ 是对应边，而其他两组边的对应关系不确定，因此要分BD与CP 是对应边、BP 与CP 是对应边两种情况讨论. 易错点 全等三角形的对应边关系不明确时未检验而出错 1 已知△ABC的三边长为3，5，7，△DEF的三边长为3，3x-2，2x-1，若△ABC与△DEF全等，则x 等于( ) A. B.4 C.3 D.3 或 例10 错解：D 正解：分两种情况讨论： 当3x-2=5时，x= ，当x= 时，2x-1=≠7，所以x≠； 当3x-2=7 时，x=3，当x=3 时，2x-1=5，所以x=3. 答案：C 诊误区： 该题不仅需分类讨论，还必须对第三组对应边进行验证，只有当第三组对应边也相等时，才符合题意. 考法 利用全等三角形的性质求线段长 1 [中考·成都] 如图14.1-11，已知△ ABC ≌ △ DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上． 若BC=8，CE=5，则CF的长为________. 例11 3 试题评析：本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质找准对应边是解题的关键. 解：∵△ ABC ≌△ DEF，∴ BC=EF. ∵BC=8，∴EF=8.又∵ EC=5，∴ CF=EF-EC=8-5=3. 考法 利用全等三角形的性质求角度 2 [中考·济南]如图14.1-12，已知△ABC≌△DEC，∠ A=60°，∠ B=40°，则∠DCE的度数为( ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 例12 试题评析：本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ ACB=180°- ∠ A- ∠ B=80°. ∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE= ∠ACB=80°. 答案：C 1. [期中•天津南开区]下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是( ) C 2. 如图，△ABC≌△DEF，点A 和点D是对应点，点C和点F 是对应点，则∠ B 的对应角是( ) A. ∠DEF B. ∠D C. ∠F D. ∠ACB A 3. [中考·淄博]如图，若△ ABC ≌ △ ADE，则下列结论中一定成立的是(　　) A.AC=DE B. ∠BAD= ∠CAE C.AB=AE D. ∠ABC= ∠AED B 4. [新考法 动态分析法]如图，AB=12 cm，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC=4 cm，BD=8 cm. 点P由点B向点A运动，速度为1 cm/s，点Q由点B 向点D运动，速度为 v cm/s，P，Q两点同时出发. 当 △CAP与△PQB全等时，求v 的值. 嘉嘉：v=2. 淇淇：嘉嘉考虑得不全面，v 还有另外一个值. 下列判断正确的是( ) A. 淇淇说得不对，v 就是2 B. 淇淇说得对，v 的另外一个值是 C. 淇淇说得对，v 的另外一个值是6 D. 两人说得都不对，v 应有三个不同的值 B 5. [母题 教材P31 习题T4]如图，△EFG≌△NMH，点H，G在线段EN上，若EH=1，NH=3，则HG的长为______． 2 6. [期末·榆林]如图，△DBE≌△ABC，点A在DE上，DE∥BC，若∠E=41°，则∠ABD的度数为______. 41° 7. [新趋势 学科内综合]如图，Rt △ AOB ≌Rt △CDA，且A(-1，0)，B(0，2)，则点C的坐标是_______. (-3,1) 8. 三个全等三角形按如图的方式摆放，则∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3 的度数为________. 180° 9. 如图，△ABC≌△ DEF，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上． (1)若CD=CF，求证：AD=CD； 证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF. ∴AC-CD=DF-CD，即AD=CF. 又∵CD=CF，∴AD=CD. (2)若∠A=30°，∠B=80°，求∠CEF的度数． 解：∵∠A=30°，∠B=80°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°. ∴∠ECF=∠ACB=70°. ∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠ACB=70°. ∴∠CEF=180°-∠ECF-∠F=180°-70°-70°=40°. $