专题 24.2 数据的离散程度（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦数据的离散程度核心知识点，系统梳理离差（单个数据与平均数的差值）、离差平方和（离差平方的总和）、方差（离差平方的平均数）的概念及关系，构建从基础概念到核心指标的学习支架。 资料特色在于知识梳理与题型精析结合，基础题型（求离差平方和、方差）到培优题型（综合平均数、中位数等）递进，同步检测全面。通过机器人清扫效率、成绩稳定性判断等实例，培养数据意识与应用意识，例题选自各地考题，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 24.2 数据的离散程度（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】离差 1 【知识点二】离差平方和与方差 2 【题型 1】求离差平方和 2 【题型 2】离差平方和的应用 4 【题型 3】求方差 6 【题型 4】利用方差求未知数据的值 8 【题型 5】根据方差判断稳走性 12 【题型 6】运用方差做决策 15 二.培优题型精析 19 【题型 7】平均数、加权平均数与方差综合 20 【题型 8】平均数、加权平均数、众数、中位数与方差综合 24 三.同步检测 28 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 28 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 32 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 35 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】离差 一般地，有个数据，，…，，用表示它们的平均数，我们把叫做关于平均数离差。 【要点提示】（1）离差的本质是单个数据与整体平均数的差值，反映了这个数据“偏离平均水平的方向和程度”：离差为正：数据大于平均数，离差为负：数据小于平均数，离差为 0：数据等于平均数；（2）可知,一组数据的离差和总是0,因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异。 【知识点二】离差平方和与方差 我们把叫做这个数据的离差平方和，记作“”。把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“” 即：； 【要点提示】（1）方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度,能较好地反映出数据的离散程度；（2）方差越大，数据离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小；（3）根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差。 【题型 1】求离差平方和 【例题1】（25-26八年级上·广东茂名·期末）（1）计算： （2）按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小张将一组数据分成了两组和，求这两组数据的组内离差平方和． 【答案】（1）；（2）这两组数据的组内离差平方和为10 【分析】本题考查二次根式的混合运算，组内离差平方和，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先明确组内离差平方和的计算方法，即先求每组数据的平均数，再用每个数据减去平均数求平方，最后求和，然后分别对两组数据进行计算． 解：（1）解： ； ． （2）解：第一组数据：，组内离差平方和为； 第二组数据：，组内离差平方和为； 故这两组数据的组内离差平方和为． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 【答案】D 【分析】本题主要考查了离差平方和的计算，计算离差平方和，需先求平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和． 解：∵数据总和， 平均值， ∴离差平方和， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）现有两组数据： A组：2，4，6．B组：8，10，12． 请计算这两组数据的组间离差平方和． 【答案】54 【分析】本题考查了组间离差平方和，熟练掌握组间离差平方和的计算方法是解题的关键； 先分别计算两组平均数，再计算两组的总平均数，然后计算两组数据的组间离差平方和． 解：组的平均数为， 组的平均数为， 两组的总平均数为． 故这两组数据的组间离差平方和为． 【题型 2】离差平方和的应用 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 【答案】{}，{，，，，} 【分析】根据组内离差平方和的性质求解即可． 解：将这组数据从小到大进行排列，得，，，，，， 将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 计算结果表明，当按第1个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此把螺丝帽按直径大小分成两组为{}，{，，，，}． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义，方差越小数据越稳定，由于四位同学测试次数相同，方差与离差平方和成正比，只需比较离差平方和的大小即可判断稳定性． 解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数， ∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致. 又∵ ， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【分析】分组对比时，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较三个方案的组内离差平方和大小即可得到结果． 解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【答案】75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组 最小值为62.5 【分析】本题考查组内离差平方和，熟练掌握离差平方和公式是解题的关键． 根据题意将各数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可． 解：将数据75，80，85，90，95分成两组，共有4种情况， ①，； ②，； ③，； ④，； 分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① 0 125 125 ② 12.5 50 62.5 ③ 50 12.5 62.5 ④ 125 0 125 由表可知，当75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组时，组内离差平方和最小，最小值为62.5． 【题型 3】求方差 【例题3】（2026·福建泉州·二模）某科技小组对A，B两款智能扫地机器人进行清扫效率测试，在相同测试环境下，各清扫5次，测得每分钟清扫面积（单位：平方分米）如表： 款式 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 A 95 90 95 85 100 a B b 95 90 95 95 93 （1）表格中____，_______； （2）请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差； （3）若A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由． 【答案】（1）93，90；（2）6；（3）B款机器人的清扫效率更稳定，理由见分析 【分析】（1）根据平均数的定义进行求解即可； （2）根据方差的定义进行求解即可； （3）根据平均数，方差进行分析求解即可． 解：（1）解：对于A款机器人： 对于B款机器人，已知平均数为93，代入公式： ， 解得． （2）解：B款机器人每分钟清扫面积的数据为：，平均数． ∴ ； （3）解：A款机器人：平均数，方差， B款机器人：平均数，方差， 由，且，可知两款机器人的平均清扫效率相同，而B款机器人的方差更小， 根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，稳定性越高． ∴B款机器人的清扫效率更稳定． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【答案】C 解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10．无法确定方差、中位数和众数 【变式2】（2026八年级下·浙江·专题练习）某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【答案】 【分析】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 解：平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 【变式3】（2026·江苏南京·一模）在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如下表所示． 甲 乙 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差________，乙这6次成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）乙更稳定；（2）变小，变大 解：（1）解： ∵ ∴乙的方差更小，成绩更稳定． （2）解： ， ∴甲这6次成绩的方差变小； ， ∴乙这6次成绩的方差变大． 【题型 4】利用方差求未知数据的值 【例题4】（2025·河南驻马店·三模）某品牌手机研发部门在研发一新款手机时，针对摄像头功能，设计了两种影像技术方案，为了确定最终上市的方案，研发部门分别使用搭载两种影像方案的样机拍摄了测试样片（样片内容一样），并邀请10位专家对测试样片进行打分（满分10分），结果如下： a.得分情况统计表： 专家编号 A种方案得分 B种方案得分 b.得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 A种方案得分 B种方案得分 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：____________，________________________（填“>”“＜”或“＝”）． （2）为减少极端值对数据的影响，该部门将两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是____________（填写序号）． ①A种方案得分的平均数大于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分的方差大于B种方案得分的方差． （3）两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，根据所得到的数据，请你帮该部门作决策，应选择哪种方案，并说明理由． 【答案】（1）；；；（2）②③；（3）见分析 【分析】本题考查了求中位数， 众数，平均数，方差，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据中位数， 众数，方差的定义，进行分析，即可求解； （2）根据题意，从中位数， 众数，平均数，方差分析，即可求解； （3）答案不唯一，从中位数， 众数，平均数，方差分析，即可求解． 解：（1）解：B种方案得分从小到大排列为： ∴中位数， A种方案得分中出现次数最多，则众数， A种方案得分在到之间，B种方案得分在到之间，则B种方案得分的波动大， ∴ 故答案为：；；． （2）①依题意，去掉一个最低分和一个最高分之前，两种方案平均分相同， 去掉一个最低分和一个最高分之后，，，则A种方案得分的平均数小于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分在到之间，B种方案得分在到之间，则B种方案得分的波动大，A种方案得分的方差仍然小于B种方案得分的方差． 故答案为：②③ （3）答案一：应选择A种方案．         理由：A，B两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，，平均数差别不大，且A种方案得分数据的波动程度小于B种方案，故A种方案的数据较稳定，应选择A种方案．       答案二：应选择B种方案．         理由：由（2）可知，A，B两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，B种方案得分的中位数、众数均高于A种方案，故应选择B种方案． 【变式1】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·期中）某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： （1）上表中，___________，___________； （2）一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）甲组 【分析】此题考查了方差、中位数等知识，熟练掌握方差计算和利用方差做决策是关键． （1）根据方差计算过程分别进行求解即可； （2）计算乙组的方差，比较后即可得到答案． 解：（1）解：∵ ∴， 设阴影部分为， ∴ 解得， ∴甲组数据为， ∴中位数； 故答案为： （2）甲组舞台呈现效果更好，理由如下： ∴， ∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好． 【题型 5】根据方差判断稳走性 【例题5】（2026·山西阳泉·二模）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队．指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（）：166  172  164  168  164  160  164  170 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 a 165 m B组 166 165 b 13 根据上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，两组同学中身高更整齐的是_____组（填“A”或“B”）； （2）在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】（1），164，，A；（2）平均数不变；方差发生变化，且方差变小 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义解答即可； （2）求出人数增加后A组所有同学身高的平均数和方差，即可求解． 解：（1）解：把表示A组同学的身高的数据从小到大排列为163，165，165，165，166，167，168，169，位于正中间的两个数为165，166， ∴中位数； 表示B组同学的身高的数据中164出现的次数最多， ∴众数， ∵两组同学中身高的平均数相同，且A组同学中身高的方差小于B组同学中身高的方差， ∴两组同学中身高更整齐的是A组； （2）解：人数增加后A组所有同学身高的平均数为， 所以人数增加后A组所有同学身高的平均数不变； 人数增加后A组所有同学身高的方差为， 所以人数增加后A组所有同学身高的方差发生变化，且方差变小． 【变式1】（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 一班 45 83 86 82 二班 45 83 84 135 某同学分析上表后得到下列结论：①一班和二班学生的平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查平均数、中位数、方差的统计意义，平均数反映平均水平，中位数代表中间位置的成绩，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，根据统计量的意义逐一判断结论即可． 解：由图表可得，一班和二班的平均数均为，则一班和二班学生的平均水平相当，结论①正确； 两个班参赛人数都为，是奇数，中位数是排序后第个成绩，一班中位数为，满足，二班中位数为，满足，一班得分不低于分的人数比二班多，因此一班优秀率高于二班，结论②正确； ∵方差越小，成绩越稳定，一班方差为，二班方差为，，则一班成绩比二班稳定，结论③错误； 综上，正确的结论是①②，A选项符合． 【变式2】（2026·河南新乡·模拟预测）甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 【答案】乙 【分析】先求出乙的平均数，然后求出乙的方差，最后比较甲、乙的方差即可得出结论. 解：乙的平均数为：； 乙的方差为： ； ∵ ∴， ∴成绩较为稳定的是乙． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____；_____； （2）A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 【答案】（1）；（2）七，理由见分析；（3）八年级，理由见分析 【分析】（1）由中位数的求法、离差平方和的求法代入计算即可； （2）比较七年级成绩和八年级成绩的中位数即可得到答案； （3）分别求出七年级、八年级成绩的方差，比较大小即可得到答案． 解：（1）解：将七年级名学生的测试成绩按照由小到大的顺序排列：， 七年级成绩的中位数为 ，即； ； （2）解：由（1）知七年级成绩的中位数为分、八年级成绩的中位数为分，若A同学这次测试得了分，大于分，位于年级中等偏上水平，则他是七年级学生； （3）解：八年级， 理由如下： 七年级成绩的方差为；八年级成绩的方差为， 七年级成绩的平均数与八年级成绩的平均数相等，八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 【题型 6】运用方差做决策 【例题6】（2026·河南郑州·二模）陌上春风至，枝头花正开．为感受春日盛景，某校九年级一班计划组织学生春游，初步筛选出两个备选地点：甲地（森林公园），乙地（游乐园）．为了做出合理的选择，班委统计了全班40名同学对这两个地点的意向评分（满分10分，分数越高表示越想去），同时记录了上个月10位同学从学校到两个地点的交通时间（单位：分钟），调查结果整理如下： 意向评分统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲地 7.9 8 8 1.7 乙地 7.6 7 9 2.1        交通时间统计图 根据以上信息，回答下列问题． （1）交通时间更稳定的是__________地（填“甲”或“乙”）． （2）综合意向评分和交通时间，你会推荐哪个春游地点？请说明理由． （3）为了从甲、乙两地中选出更合适的春游地点，你认为还应收集什么信息（写出一条即可）？ 【答案】（1）甲；（2）方法一：选甲地，理由见分析；方法二：选乙地，理由见分析；（3）见分析 【分析】（1）根据折线统计图直接求解即可； （2）根据平均数，中位数，众数及方差进行求解即可； （3）由题意可直接进行求解． 解：（1）解：由折线统计图可知：甲的交通时间波动比乙的交通时间波动要小，所以交通时间更稳定的是甲地； （2）解：方法一：选甲地，理由如下： 同学们对甲地意向评分的平均数、中位数均比乙地高，且方差小，意见更一致； 且甲地交通时间更稳定，波动小，便于统一安排． 方法二：选乙地，理由如下： 乙地虽然平均数、中位数比甲低，但众数高；乙地交通时间存在极端值， 但大部分比甲地用时短．（答案不唯一） （3）解：收集每个地点的门票费用、园内餐饮情况等．（答案不唯一） 【变式1】（2026·浙江温州·二模）学校准备从甲、乙、丙、丁四名优秀选手中选一名参加全区安全知识竞赛，该校预先对这名选手进行三轮预赛选拔，他们成绩的平均数与方差统计如下表： 参赛选手 甲 乙 丙 丁 平均数分 97 95 97 96 方差分 0.5 0.5 1 2 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的选手参赛，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据平均数越大代表平均成绩越高，方差越小代表成绩波动越小，发挥越稳定，先筛选平均成绩高的选手，再从中选出发挥最稳定的选手即可． 解：∵， ∴甲和丙的平均成绩更高，成绩更好， ∵， ∴甲的发挥更稳定， ∴应选择甲． 【变式2】（2026·河南三门峡·二模）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择___________． 甲 乙 丙 丁 平均数 208 217 205 217 方差 6.9 9.6 4.6 4.6 【答案】丁 【分析】平均数越大表示成绩越好，方差越小表示发挥越稳定，结合表中数据选择平均数最高且方差最小的同学即可． 解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，大于甲和丙的平均数，说明乙和丁成绩更好， 比较乙和丁的方差，，丁的方差更小，说明丁发挥更稳定， 因此丁符合成绩好且发挥稳定的要求， 故答案为：丁． 【变式3】（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）课程甲的满意度评分的众数为______； （2）表中m的值为______，信息b中x的值为______； （3）考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】（1）8；（2），9；（3）丙，乙 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 解：（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 二.培优题型精析 【题型 7】平均数、加权平均数与方差综合 【例题7】（2026·广东珠海·一模）在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 组别 A B C D E x 将所收集的样本数据进行如图分组： 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）任务1：图①中a的值为________． （2）任务2：计算乙园样本数据的加权平均数．（统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数） （3）任务3：下列结论正确的是________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差一定相等； ④两园柑橘直径的方差可能甲园较大． 【答案】（1）40；（2）；（3）①④ 【分析】（1）根据条形统计图数据求解； （2）利用加权平均数公式进行求解； （3）根据中位数，众数，方差的定义和公式逐项进行判断． 解：（1）解：； （2）解：乙园的加权平均数为 ； （3）解：①甲园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组， ∴中位数在C组； 乙园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组， ∴中位数在C组； 故①正确； ②由频数直方图可得，甲园样本数据的众数在组，乙园样本数据的众数在组， 故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； ④甲园的加权平均数为 ； ； ； ∵， ∴甲园的方差大， 故④正确； 综上，正确的选项有①④． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______． （参考公式：） 【答案】8 【分析】本题考查求方差，根据给定的平均数与方差满足的关系式，求出剩余的数据的平均数，以及剩余数据的平方的和，进行求解即可。 解：∵15个数，，…，的平均数为6，方差为9， ∴，15个数的和为， ∴， ∵剔除的这5个数的平均数为8，方差为5， ∴剔除的这5个数的和为，， ∴， ∴剩余数的平均数为，， ∴， 即：剩下的10个数，，…，的方差为8； 故答案为：8. 【变式3】（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】（1），，；（2）乙，丁，丙，甲 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 解：（1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 【题型 8】平均数、加权平均数、众数、中位数与方差综合 【例题8】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下单位：分： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9， 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 高中 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从离散程度方差看，______填“初中”或“高中”学生打分更稳定；从集中趋势平均数、中位数、众数看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 【答案】（1）8，8；（2）9；（3）初中，高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由见分析 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据方差的意义以及平均数、中位数、众数的意义求解即可． 解：（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数， 故答案为：8，8； （2）解：高中部打分的平均分为8分， 则， 即， ； （3）解：初中部打分的方差为0.8，高中部打分的方差为1.8， 从离散程度（方差）看，初中部学生打分更稳定； 故答案为：初中． 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下： 初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部， 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 【变式1】（2024·福建福州·二模）为加强学生的安全意识，学校举行了“交通安全”演讲比赛，个人展示环节中共有7位评委给选手A进行评分，得到7个数据，并计算这7个数据的平均数，中位数，众数，方差，若将这7位评委的成绩去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据的平均数，中位数，众数，方差中，一定不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了统计量的选择，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的最中间的数产生影响，即中位数． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有___________个． 【答案】3 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可． 解：∵数据4，5，6，6，6，7，8中， 平均数为， 中位数为6， 众数为6， 方差为； 去掉一个6后， 平均数为， 中位数为， 众数为6， 方差为， ∴不发生变化的量有平均数、中位数、众数，一共3个． 故答案为：3． 【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期中）嘉琪想了解青少年活动中心射击队甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：根据信息，回答下列问题： （1）甲队员成绩的众数为___________环，乙队员成绩的中位数为___________环； （2）已知甲、乙两名队员成绩的方差分别为：，，从平均数和方差的角度判断甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （3）如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是“平均数、众数或中位数”中的哪个？说明你的理由； （4）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【答案】（1）8，7；（2）甲队员射击的整体水平高一些；（3）平均数会发生变化，理由见分析；（4）见分析 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义计算即可得解； （2）求出甲、乙队员成绩的平均数和方差，比较即可得解； （3）结合平均数、中位数、众数的定义求解比较即可； （4）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 解：（1）解：∵甲队员8环出现的次数最多， ∴甲队员成绩的众数为8环； ∵排序后第5位和第6位数都为7环， 乙队员成绩的中位数为7环； 故答案为：8，7； （2）解：甲队员的平均数为（环）； 乙队员的平均数为（环）； ∵， ∴从平均数的角度判断甲队员射击的整体水平高一些； ∵，，， ∴甲队员发挥比较稳定，从方差的角度判断甲队员射击的整体水平高一些； 综上，甲队员射击的整体水平高一些； （3）解：平均数会发生变化，理由如下： 如果乙队员再射击1次，命中8环， 那么平均数为，会发生变化； 出现次数最多的依然是6环，众数不会发生变化； 排序后第6位数为7环，中位数依然是7环，不会发生变化； 综上，平均数会发生变化； （4）解：补全统计图如下： 此时，丙队员的众数为9环， 中位数为9环， 平均数为（环）； 均大于甲队员． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查求离差平方和，先计算数据的平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和即可. 解：∵平均数为， ∴ 离差平方和. 故选C. 2．（2026·河南周口·二模）某校九年级8名同学参加党史知识竞赛，成绩依次为：86，92，88，90，92，94，86，92，则下列说法正确的是（　　） A．中位数是90 B．众数是92 C．平均数是91 D．方差为0 【答案】B 解：将成绩从小到大进行排序为86，86，88，90，92，92，92，94， ∴中位数是，选项A错误； 平均数是，选项C错误； 方差为，选项D错误； ∵92出现的次数最多， ∴众数是92，选项B正确． 3．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 解：， ， 这组数据的总和为 ． 4．（2026·浙江台州·二模）某校射击队为备战市运会，记录了甲、乙、丙、丁四名选手最近10次训练测试的成绩的方差分别为：，，，，甲、乙、丙、丁四人中谁成绩更稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查方差的意义，方差反映数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较四人方差大小即可求解． 解：∵方差越小，数据波动越小，成绩越稳定， 将四人的方差从小到大排序得， ∴丁的方差最小，成绩最稳定． 故选：D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可． 解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表成绩越好， ∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 7．（2026·安徽合肥·二模）为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先根据A平均分低于B的条件求出x的范围，再利用方差的意义：方差越小，评分越一致，计算x可能值的方差，筛选出符合条件的x． 解：∵A作品平均分低于B作品，B作品5个得分总和为 ∴B作品平均分为 ， 解得． ∵x是满分10分以内的整数， ∴x的可能取值为9或10． 又∵B作品评价比A作品更一致，方差越小数据越一致， ∴ ． 当时， ，符合条件； 当时， ， ，不符合条件， ∴ ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 【答案】 解：数据，，，，，，，，，的平均数是， 离差平方和是； 方差是． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】8 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 【答案】 【分析】根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为，离差平方和为，代入公式计算即可． 解：，即这组数据的方差是． 12．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【答案】3 【分析】本题考查了方差的定义及平均数的计算，解题的关键是从方差公式中识别数据点并计算平均数． 由方差公式可知式子中的数据点为、、、，然后通过算术平均数公式计算即可． 解：由方差公式可得数据点为、、、，则平均数 故答案为：． 13．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙两名工人加工同一种零件，现对他们的零件直径进行抽样调查，已知两人所做的零件直径的平均数相等，方差分别为和，且，则___________（填“甲”或“乙”）加工的零件质量更稳定． 【答案】乙 【分析】当两组数据的平均数相等时，方差越小，数据波动越小，数据越稳定. 根据题目给出的甲乙方差的大小关系即可作出判断. 解：方差反映一组数据的波动程度，在平均数相等的情况下，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，数据越稳定， ∵两人加工零件直径的平均数相等，且， ∴乙的方差更小，乙加工的零件质量更稳定. 14．（2026·江苏徐州·二模）气温变化对人体与生活影响显著，相对稳定的温度，有利于平衡代谢、降低心血管疾病．甲、乙两地年平均气温基本相同，甲地年度气温的方差，乙地年度气温的方差，从宜居的角度来看，你认为______地更适合居住．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 解：∵甲、乙两地年平均气温基本相同，方差越小，气温波动越小，， ∴乙地气温更稳定，更适合居住． 15．（2026·江苏南京·一模）小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 【答案】 【分析】分别计算出和的大小，比较即可得出结果． 解：由题意可得：， ， ， ， ∴． 16．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表： 甲组 11 12 13 14 15 乙组 4 6 7 5 8 求甲款与乙款保温杯保温时效的方差． 【答案】甲款保温杯保温时效的方差为2；乙款保温杯保温时效的方差为2． 【分析】先分别求得甲与乙的平均数，再根据方差的计算方法求解后即可得出结果． 解：甲组的平均数是， 则甲的方差， 即甲款保温杯保温时效的方差为2； 乙组的平均数是， 则乙的方差， 即乙款保温杯保温时效的方差为2． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下： 甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6； 乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9． 如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由． 【答案】选择甲运动员，理由见分析． 【分析】本题考查求平均数、方差，熟记方差公式是解答的关键． 先求得两名运动员测试成绩的平均数，再求得测试成绩的方差，然后根据方差越小，成绩越稳定可得结论． 解：选择甲运动员． 理由如下： 甲的平均数为， 乙的平均数为， ∴， ， ∴， ∴甲的成绩比较稳定， ∴选择甲运动员参加比赛． 19．（2026·江苏连云港·三模）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1、图2所示的统计图，两幅图均有部分被污染，两名队员10次的射击成绩整理后，得到的统计表如表所示． 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 7 b 乙 7 c 8    （1）______队员的发挥更稳定； （2）分别求统计表中a，b，c的值； （3）乙队员补射1次后，成绩为m环，据统计乙队员这11次射击成绩的中位数比c大，则m的最小值为______． 【答案】（1）甲；（2）；（3）8 【分析】（1）比较方差大小即可； （2）根据平均数，中位数，众数的定义求解即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 解：（1）解：根据题意，得，，且， 故甲更加稳定； （2）解：根据题意，得成绩7环的次数为：， 故（环）； 因为甲成绩为7环的出现4次，是出现次数最多的成绩， 故众数（环）； 根据题意，得第1次3环，第2次6环，第3次4环，第4次8环，第5次7环， 第9次10环，第10次9环，因为众数为8，故成绩为8环的次数至少为2次， 因为平均数为7，所以总成绩为70环， 其余两次的成绩和为：， 故被污染的两个数为7,8， 故中位数为：（环）； （3）解：∵乙队员这次射击成绩的中位数比c大， ∴乙队员这次射击成绩的中位数为：（环）， ∵乙原来的成绩从小到大排列：， 加入成绩后按从小到大排列中位数应该是处于第6位，而比8小的数有5个， ∴， 故m的最小值为8． 20．（2026·河南省直辖县级单位·一模）从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，比赛结束后，该教育集团随机从甲、乙两个校区的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 甲校区20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92， 其中乙校区学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的甲、乙两校区学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 众数 方差 甲 80 80.5 77 102.3 乙 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，乙校区共有600名学生参加比赛，估计乙校区成绩优秀的学生人数为______人； （3）结合上述数据，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？（写出一条即可） 【答案】（1）20，82.5；（2）120；（3）乙校区技术掌握得更好，理由见详解 【分析】（1）根据样本百分比的计算得到a的值，根据中位数的计算得到b的值； （2）根据样本估算总体数量的计算即可求解； （3）根据平均数，中位数，众数，方差作决策即可． 解：（1）解：甲校区B组的人数为：4人， ∴，即， 乙校区的中位数是第10，11位同学成绩的平均数，即D组中82，83的平均数， ∴； （2）解：（人）， ∴乙校区成绩优秀的学生人数为120人； （3）解：乙校区技术掌握得更好，理由如下， 因为两个校区成绩的平均数相等，乙校区成绩的中位数高于甲校区，乙校区成绩的众数高于甲校区，方差小于甲校区，说明乙校区成绩整体更集中、更稳定，所以乙校区技术掌握得更好． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 24.2 数据的离散程度（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】离差 1 【知识点二】离差平方和与方差 2 【题型 1】求离差平方和 2 【题型 2】离差平方和的应用 2 【题型 3】求方差 3 【题型 4】利用方差求未知数据的值 4 【题型 5】根据方差判断稳走性 6 【题型 6】运用方差做决策 7 二.培优题型精析 9 【题型 7】平均数、加权平均数与方差综合 9 【题型 8】平均数、加权平均数、众数、中位数与方差综合 11 三.同步检测 13 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 15 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】离差 一般地，有个数据，，…，，用表示它们的平均数，我们把叫做关于平均数离差。 【要点提示】（1）离差的本质是单个数据与整体平均数的差值，反映了这个数据“偏离平均水平的方向和程度”：离差为正：数据大于平均数，离差为负：数据小于平均数，离差为 0：数据等于平均数；（2）可知,一组数据的离差和总是0,因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异。 【知识点二】离差平方和与方差 我们把叫做这个数据的离差平方和，记作“”。把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“” 即：； 【要点提示】（1）方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度,能较好地反映出数据的离散程度；（2）方差越大，数据离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小；（3）根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差。 【题型 1】求离差平方和 【例题1】（25-26八年级上·广东茂名·期末）（1）计算： （2）按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小张将一组数据分成了两组和，求这两组数据的组内离差平方和． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）现有两组数据： A组：2，4，6．B组：8，10，12． 请计算这两组数据的组间离差平方和． 【题型 2】离差平方和的应用 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【题型 3】求方差 【例题3】（2026·福建泉州·二模）某科技小组对A，B两款智能扫地机器人进行清扫效率测试，在相同测试环境下，各清扫5次，测得每分钟清扫面积（单位：平方分米）如表： 款式 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 A 95 90 95 85 100 a B b 95 90 95 95 93 （1）表格中____，_______； （2）请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差； （3）若A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【变式2】（2026八年级下·浙江·专题练习）某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【变式3】（2026·江苏南京·一模）在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如下表所示． 甲 乙 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差________，乙这6次成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 【题型 4】利用方差求未知数据的值 【例题4】（2025·河南驻马店·三模）某品牌手机研发部门在研发一新款手机时，针对摄像头功能，设计了两种影像技术方案，为了确定最终上市的方案，研发部门分别使用搭载两种影像方案的样机拍摄了测试样片（样片内容一样），并邀请10位专家对测试样片进行打分（满分10分），结果如下： a.得分情况统计表： 专家编号 A种方案得分 B种方案得分 b.得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 A种方案得分 B种方案得分 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：____________，________________________（填“>”“＜”或“＝”）． （2）为减少极端值对数据的影响，该部门将两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是____________（填写序号）． ①A种方案得分的平均数大于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分的方差大于B种方案得分的方差． （3）两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，根据所得到的数据，请你帮该部门作决策，应选择哪种方案，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·期中）某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： （1）上表中，___________，___________； （2）一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 【题型 5】根据方差判断稳走性 【例题5】（2026·山西阳泉·二模）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队．指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（）：166  172  164  168  164  160  164  170 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 a 165 m B组 166 165 b 13 根据上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，两组同学中身高更整齐的是_____组（填“A”或“B”）； （2）在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【变式1】（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 一班 45 83 86 82 二班 45 83 84 135 某同学分析上表后得到下列结论：①一班和二班学生的平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】（2026·河南新乡·模拟预测）甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____；_____； （2）A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 【题型 6】运用方差做决策 【例题6】（2026·河南郑州·二模）陌上春风至，枝头花正开．为感受春日盛景，某校九年级一班计划组织学生春游，初步筛选出两个备选地点：甲地（森林公园），乙地（游乐园）．为了做出合理的选择，班委统计了全班40名同学对这两个地点的意向评分（满分10分，分数越高表示越想去），同时记录了上个月10位同学从学校到两个地点的交通时间（单位：分钟），调查结果整理如下： 意向评分统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲地 7.9 8 8 1.7 乙地 7.6 7 9 2.1        交通时间统计图 根据以上信息，回答下列问题． （1）交通时间更稳定的是__________地（填“甲”或“乙”）． （2）综合意向评分和交通时间，你会推荐哪个春游地点？请说明理由． （3）为了从甲、乙两地中选出更合适的春游地点，你认为还应收集什么信息（写出一条即可）？ 【变式1】（2026·浙江温州·二模）学校准备从甲、乙、丙、丁四名优秀选手中选一名参加全区安全知识竞赛，该校预先对这名选手进行三轮预赛选拔，他们成绩的平均数与方差统计如下表： 参赛选手 甲 乙 丙 丁 平均数分 97 95 97 96 方差分 0.5 0.5 1 2 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的选手参赛，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（2026·河南三门峡·二模）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择___________． 甲 乙 丙 丁 平均数 208 217 205 217 方差 6.9 9.6 4.6 4.6 【变式3】（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）课程甲的满意度评分的众数为______； （2）表中m的值为______，信息b中x的值为______； （3）考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 二.培优题型精析 【题型 7】平均数、加权平均数与方差综合 【例题7】（2026·广东珠海·一模）在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 组别 A B C D E x 将所收集的样本数据进行如图分组： 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）任务1：图①中a的值为________． （2）任务2：计算乙园样本数据的加权平均数．（统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数） （3）任务3：下列结论正确的是________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差一定相等； ④两园柑橘直径的方差可能甲园较大． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【变式2】（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______． （参考公式：） 【变式3】（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【题型 8】平均数、加权平均数、众数、中位数与方差综合 【例题8】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下单位：分： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9， 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 高中 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从离散程度方差看，______填“初中”或“高中”学生打分更稳定；从集中趋势平均数、中位数、众数看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 【变式1】（2024·福建福州·二模）为加强学生的安全意识，学校举行了“交通安全”演讲比赛，个人展示环节中共有7位评委给选手A进行评分，得到7个数据，并计算这7个数据的平均数，中位数，众数，方差，若将这7位评委的成绩去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据的平均数，中位数，众数，方差中，一定不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有___________个． 【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期中）嘉琪想了解青少年活动中心射击队甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：根据信息，回答下列问题： （1）甲队员成绩的众数为___________环，乙队员成绩的中位数为___________环； （2）已知甲、乙两名队员成绩的方差分别为：，，从平均数和方差的角度判断甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （3）如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是“平均数、众数或中位数”中的哪个？说明你的理由； （4）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2026·河南周口·二模）某校九年级8名同学参加党史知识竞赛，成绩依次为：86，92，88，90，92，94，86，92，则下列说法正确的是（　　） A．中位数是90 B．众数是92 C．平均数是91 D．方差为0 3．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 4．（2026·浙江台州·二模）某校射击队为备战市运会，记录了甲、乙、丙、丁四名选手最近10次训练测试的成绩的方差分别为：，，，，甲、乙、丙、丁四人中谁成绩更稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（2026·安徽合肥·二模）为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 12．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 13．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙两名工人加工同一种零件，现对他们的零件直径进行抽样调查，已知两人所做的零件直径的平均数相等，方差分别为和，且，则___________（填“甲”或“乙”）加工的零件质量更稳定． 14．（2026·江苏徐州·二模）气温变化对人体与生活影响显著，相对稳定的温度，有利于平衡代谢、降低心血管疾病．甲、乙两地年平均气温基本相同，甲地年度气温的方差，乙地年度气温的方差，从宜居的角度来看，你认为______地更适合居住．（填“甲”或“乙”） 15．（2026·江苏南京·一模）小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 16．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表： 甲组 11 12 13 14 15 乙组 4 6 7 5 8 求甲款与乙款保温杯保温时效的方差． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下： 甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6； 乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9． 如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由． 19．（2026·江苏连云港·三模）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1、图2所示的统计图，两幅图均有部分被污染，两名队员10次的射击成绩整理后，得到的统计表如表所示． 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 7 b 乙 7 c 8    （1）______队员的发挥更稳定； （2）分别求统计表中a，b，c的值； （3）乙队员补射1次后，成绩为m环，据统计乙队员这11次射击成绩的中位数比c大，则m的最小值为______． 20．（2026·河南省直辖县级单位·一模）从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，比赛结束后，该教育集团随机从甲、乙两个校区的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 甲校区20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92， 其中乙校区学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的甲、乙两校区学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 众数 方差 甲 80 80.5 77 102.3 乙 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，乙校区共有600名学生参加比赛，估计乙校区成绩优秀的学生人数为______人； （3）结合上述数据，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？（写出一条即可） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $