综合与实践 确定匀质薄板的重心位置【章末复习】（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦匀质薄板重心位置确定，涵盖规则图形几何中心、不规则图形悬挂法、组合图形拆分加权平均等核心方法，通过运动员平衡、工程建筑等生活实例导入，衔接三角形重心旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是融合实践操作与跨学科应用，悬挂法实验培养几何直观与空间观念，坐标计算组合图形重心发展运算能力和推理意识。结合工程案例让学生用数学语言表达现实问题，提升学生实践与创新意识，也为教师提供考点衔接的教学资源。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 第十三章 三角形 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 一、实践背景与核心概念 在几何学与物理常识中，匀质薄板指材质均匀、厚度均匀、质量分布均匀的薄片状物体。重心是物体所受重力的等效作用点，对于匀质薄板而言，重心只与薄板的几何形状有关，与材质、重量无关。 规则几何图形的匀质薄板重心为图形的几何中心：三角形重心是三条中线的交点，平行四边形、矩形、正方形的重心是对角线的交点。而不规则匀质薄板，无法直接通过几何作图确定重心，需要借助悬挂法实操确定。 二、实践原理 1. 静止悬挂的物体，受到的重力与绳子拉力是一对平衡力，二力在同一条直线上； 2. 物体的重心一定在悬挂线所在的直线上； 3. 两次不同位置悬挂，得到两条悬挂直线，两条直线的交点即为薄板的重心。 三、实践器材 不规则匀质薄纸板（任意形状）、细线、重物（小铁钉、砝码）、图钉、铅笔、直尺。 四、实践方法：悬挂法（通用方法） 步骤1：制作悬线 将细线一端系上重物，制作成简易重垂线，保证细线自然下垂时笔直竖直。 步骤2：第一次悬挂画线 用图钉在薄板边缘任意选取一点固定，将薄板自然悬挂，待薄板完全静止、不再晃动后，用铅笔沿着重垂线方向，在薄板上画出一条竖直直线。此时薄板重心必然在这条直线上。 步骤3：第二次悬挂画线 更换薄板边缘另一个不同的悬挂点，重复上述操作，待薄板静止后，画出第二条竖直悬挂直线。 步骤4：确定重心 薄板上两条直线的交点，就是这块不规则匀质薄板的重心。 五、验证实验 用手指顶住刚刚找到的重心点，轻轻支撑薄板，可观察到薄板保持水平平衡、不会倾斜掉落，证明该点为薄板的重心。 六、规则图形重心总结（拓展） 1. 三角形薄板：重心是三条中线的交点，重心将每条中线分为2:1的两段； 2. 平行四边形薄板：重心是两条对角线的交点； 3. 圆形薄板：重心为圆心。 七、实践结论 1. 规则匀质薄板的重心是其几何中心，可通过几何作图直接确定； 2. 不规则匀质薄板的重心可通过悬挂法确定，两次不同点位悬挂，两条竖直线的交点即为重心； 3. 匀质薄板的重心位置只由形状决定，与薄板的轻重、厚薄无关，且重心不一定在物体表面上（空心图形重心可在物体外部）。 八、常见易错点 1. 悬挂时薄板未静止就画线，会导致线条偏移，重心定位错误； 2. 两次悬挂点距离过近，两条直线夹角过小，交点误差较大； 3. 混淆重心与中心，只有匀质规则图形的重心才与几何中心重合。 了解生产、生活中物体重心的概念和意义. 了解确定简单平面图形和平面组合图形的重心位置的方法，并能将方法用于确定匀质薄板、薄壳的重心位置. 通过活动过程，提升实践意识、团队合作意识以及统筹能力和表达展示能力. 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要.例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向（图1）；杂技演员在表演转盘子时，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动（图 2)；等等. 图1 图2 图3 在工程中，物体重心的位置也有重要的应用.例如，水坝、挡土墙等建筑的重心必须在一定的范围内，否则可能会导致坍塌（图4）；当飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能（图5）；为了达到预期的搅拌效果，混凝土搅拌机转动部分的重心会设计得偏离转轴一定的距离（图6）；等等. 图4 图5 图6 工程中使用的许多物体具有均匀的质地，如工程中常用的工字钢、角钢、槽钢等型钢. 你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心吗？接下来，我们一起来探究解决这个问题. 工字钢 角钢 槽钢 活动目标 发现确定匀质薄板、薄壳(厚度可忽略)重心位置的方法. 活动准备 1. 材料用具 质地均匀的薄纸板、直尺、量角器、剪刀、细线. 2. 资料学习 查阅资料，了解重心的概念以及工程中确定物体重心位置的方法. 由于许多工程用薄板的形状是由常见的简单平面图形组合而成的（如图中的型钢截面)，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置，再探究确定平面组合图形重心位置的方法. 活动任务 工字钢 角钢 槽钢 思考 三角形的重心位于__________________. 其他平面图形的重心在什么位置呢？ 三条中线的交点处 (1.1) 在物理学中，物体的重心指的是什么？ 在物理学中，物体的重心是指物体各部分所受重力的等效作用点.具体来说，重心是这样一个点：如果将物体的所有重力集中在这个点上，物体在重力作用下的平衡状态与实际分布的重力作用效果相同. 换句话说，重心是物体在重力场中保持平衡的关键位置.当物体悬挂或支撑在重心处时，物体处于平衡状态，不会发生旋转或倾倒. 任务1 认识平面图形的重心 (1.2)匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？ 对于匀质薄板而言，其质量分布是均匀的(即单位面积的质量相同)，其重心位置只与形状有关，与质量的具体数值无关. 任务1 认识平面图形的重心 (2.1)试一试，用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心，它能保持平衡吗？ 任务1 认识平面图形的重心 (2.2)三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？ 通过实验发现，三角形匀质薄板的重心位置就是所画三角形的重心位置，支撑在重心位置，三角形处于平衡状态.利用悬挂法可以发现，悬挂线的交点即为三角形的重心. 任务1 认识平面图形的重心 (3)你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗？ 类比三角形的重心，从数学的角度看，一般平面图形的重心是其面积分布的平均位置；从物理角度来看，重心是物体在重力场中保持平衡的关键点. 如果将一个平面图形悬挂或支撑在其重心处，图形将在重力作用下保持平衡，不会发生旋转或倾斜.因此，重心不仅是几何上的平均位置，也是物理上的平衡点. 任务1 认识平面图形的重心 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了. 为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置. 小组合作，选择一个已知重心位置的平面图形，将它分成已知重心位置的两部分，建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置与两部分的重心位置坐标之间的关系. 任务1 把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系. 问题1：选择一个由长方形和等腰三角形组合成的组合图形，分别确定组合图形的重心位置和长方形、等腰三角形的重心位置，以长方形的一个顶点为原点，两条边为坐标轴，度量各边的长度，确定三个重心的坐标，你能得到组合图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗？ 如图，五边形由等腰三角形和长方形组合而成，△ABE的重心为F(3,5)，长方形BCDE的重心为(3,2)，组合图形的重心为G(3,2.8). 因为平面图形的重心是指该图形上所有点的加权平均位置，其中权重是每个点的面积元素，所以考虑按各部分面积的比例关系，通过加权平均的计算方式求出整体的重心. 由图中的数量关系可知S△ABE=9，S长方形BCDE=24. 设组合图形重心坐标为(x，y)， 则x = =3，y = = ≈2.82. 计算出来的重心坐标与组合图形的实际 重心坐标基本一致（度量会产生误差）. 问题2：换一个组合图形试试，这种关系与前面得到的关系是否一致？ 如图，四边形由直角三角形和长方形组合而成，△ABC的重心为G1(2,5)，长方形BCDE的重心为G2(3,2)，组合图形的重心为G(2.6,2.7). 由图中的数量关系可知S△ABC=9， S长方形BCDE=24. 设组合图形重心坐标为(x,y), 则x = = ≈ 2.7， y = = ≈2.82. 计算出来的重心坐标与组合图形的实际重心坐标基本一致（度量会产生误差）. 问题2：换一个组合图形试试，这种关系与前面得到的关系是否一致？ 如图，当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好.试通过查资料、讨论等小组合作活动，探究其中的原因. 活动目标 1.了解并掌握寻找几何图形重心的方法，探究 重心与几何图形的关系； 2.通过探索过程激发学生学习兴趣，培养其合 作意识，应用意识，抽象能力，几何直观能力 以及转化思想. 中考考法 22 活动准备 1.材料用具：质地均匀的薄纸板、直尺、量角 器、剪刀、细线. 2.资料学习:查阅资料，了解重心的概念以及工 程中确定物体重心位置的方法. 续表 中考考法 23 活动 任务 活动1 确 定简单平 面图形的 重心位置 任务1 认识平面图形的重心 1.重心：物体所受重力的等效作用点，对 于一个物体，从效果上看，可以认为物体 各部分受到的重力都集中于一点，这一点 就是物体的重心. 续表 中考考法 24 活动 任务 活动1 确 定简单平 面图形的 重心位置 2.三角形匀质薄板的重心位置即为该三角 形的重心（三条中线的交点），用一根手 指或一个支架顶在三角形匀质薄板的重心 位置，薄板保持平衡. 续表 中考考法 25 活动 任务 活动1 确 定简单平 面图形的 重心位置 任务2 了解平面图形重心位置的分布特点 （1）寻找三角形重心的实验步骤 ①在三角形薄板的一个顶点处用细线系 住，并将小重物系在细线上，然后将三角 形薄板悬挂起来，使其自然下垂. 续表 中考考法 26 活动 任务 活动1 确 定简单平 面图形的 重心位置 ②待三角形薄板稳定后，沿着细线的方向 在三角形薄板上画一条直线，由于三角形 薄板在重力作用下静止，此时重力的方向 竖直向下，而重心一定在这条直线上. ③换三角形薄板的另一个顶点，重复步骤 ①②，再次沿着细线的方向在三角形薄板 上画一条直线.此时两条直线会相交于一 点，这个交点就是三角形的重心. 续表 中考考法 27 活动 任务 活动1 确 定简单平 面图形的 重心位置 （2）用上述相同的方法也可以确定其他常 见的几何图形的重心，如：线段的重心是 ____________，正方形、长方形和平行四 边形的重心都是______________，其特征 为___________________________________ ___________________. 线段的中点 对角线的交点 经过重心的某些直线可以将图形分为面积相等的两部分 续表 中考考法 28 活动 任务 活动1 确 定简单平 面图形的 重心位置 三角形的重心是三条中线的交点，通过中 线将三角形分成的两个三角形等底同高， 所以面积也相等，所以三角形的重心也满 足这一特点. 续表 中考考法 29 活动 任务 活动1 确 定简单平 面图形的 重心位置 （3）一个平面图形的重心是指该平面图形 所受重力的等效作用点.对于形状规则且质 量均匀分布的平面图形，其重心位置与图 形的几何中心重合. 续表 中考考法 30 活动 任务 活动2 确 定平面组 合图形的 重心位置 任务1.把一个图形分成两部分，确定这个 图形的重心位置与它的两部分的重心位置 之间的关系. ___________________________ 续表 中考考法 31 活动 任务 活动2 确 定平面组 合图形的 重心位置 如图：将平面直角坐标系内的不规则图形 分成两个长方形和 ，其面积分 别为和，若长方形 的重心坐标为 ，长方形 的重心坐标为 ，则整个图形的重心横坐标为 ， 续表 中考考法 32 活动 任务 活动2 确 定平面组 合图形的 重心位置 纵坐标为 ，依次类推，在 平面直角坐标系内，将面积为 的不规则图 形分为个规则图形，其面积分别为 ， ，，重心分别为， ， ， ，则整个图形的重心坐标为 ， . 续表 中考考法 33 活动 任务 活动2 确 定平面组 合图形的 重心位置 任务2 确定一个工程用薄板类工件的重心 位置. 例：确定“ ”形薄板的重心位置. 1.建立平面直角坐标系，将“ ”形薄板放 入，如图①. ______ ____________________________________ 2.将薄板分割成规则图形，如图②. 续表 中考考法 34 3.计算图②中各部分的面积及重心坐标，完成下表. 图形 长方形 长方形 长方形 面积 _____ _____ _____ 重心坐标 （以 为单 位长度） ________ ________ ______ 300 500 200 4.计算整个图形的重心坐标为________. 中考考法 35 练习： 依照例题分别计算教材图8中另外两个组合图形的重 心坐标.（答案不唯一，同学们自主完成） 略 中考考法 36 活动3 跳高运动员为什么采用“背越式” （选做） 背越式：这种技术允许运动员在起跳后将身体的重心抬升到 最高点的同时，身体通过弯曲背部使身体的大部分位于横杆 之下，而只有头部和肩膀在横杆之上，这使得运动员能够以 较低的重心高度跨越横杆，从而减少了所需能量. 跨越式和滚式：这两种方式要求运动员的身体在过杆时保持 相对直立或前倾姿态，这意味着他们的重心需要达到更高的 高度才能成功过杆，因此需要更多的能量. 中考考法 37 确定匀质薄板的 重心位置 悬挂法(薄板边缘悬挂，画线找交点)、 几何法(规则图形重心在几何中心)、 公式法(不规则图形先分后加权平均) 拆分简单图形，结合每部分的面积和重心坐标计算，如“L“形、“Z"形薄板及三角形与长方形组合图形 简单图形 组合图形 $