精品解析：辽宁省辽阳市灯塔市第二初级中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

2025-2026学年下学期七年级期中数学学科学情诊断 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点D在直线上，，则图中的和的关系是（　　） A. 互为补角 B. 对顶角 C. 同位角 D. 互为余角 3. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD为(　 　) A. 边AC上的高 B. 边BC上的高 C. 边AB上的高 D. 不是△ABC的高 5. 已知一个正方形的边长是a，若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加（ ） A. 1 B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B. “煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D. “掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 7. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是_______． 12. 若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 13. 如图，一块飞镖游戏板是的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的（若没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是______． 14. 如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 15. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知如图：，．求证：．（请把以下证明过程补充完整） 证明：（已知） 又（____________________） （____________________） _____（____________________） _____（____________________） （已知） _____（等量代换） _____（____________________） （____________________） 20. 如图，的两边分别平行． （1）在图①中，的数量关系是___________ （2）在图②中，的数量关系是___________ （3）由（1）（2）可得结论：___________ （4）应用： ①若与的两边分别平行，且，则的度数为___________ ②若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，则这两个角的度数为___________ 21. 如图所示，已知在中，，，直线经过点，，，垂足分别为，，求证：． 22. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图． （1）观察图请写出、、之间的等量关系是          ； （2）根据中的结论，若，，则           ； （3）知识拓展：若，求的值． （4）知识应用：如图①，已知长方形的周长为，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为． 请直接写出下面两个问题的答案： ①长方形的面积是 ； ②如图②，连接、、，的面积是 ． 23. 问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期七年级期中数学学科学情诊断 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算．逐项计算即可，具体见详解． 【详解】解：A. ，此项不正确； B. ，此项不正确； C. ，此项不正确； D. ，此项正确． 故选：D． 2. 如图，点D在直线上，，则图中的和的关系是（　　） A. 互为补角 B. 对顶角 C. 同位角 D. 互为余角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查余角和补角，关键是掌握余角的定义：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．由垂直的定义得到，由平角定义求出，即可得到和互为余角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴和的关系是互为余角． 故选：D． 3. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD为(　 　) A. 边AC上的高 B. 边BC上的高 C. 边AB上的高 D. 不是△ABC的高 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据三角形的中高的定义即可判断. 由图可知，线段CD为边AB上的高，故选C. 考点：本题考查的是三角形的高 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的高就是自一个顶点向对边所作的垂线段. 5. 已知一个正方形的边长是a，若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，解决问题的关键是掌握完全平方公式．依据新正方形的边长为，再列式计算即可． 【详解】解：新正方形的边长为， ∴这个正方形的面积增加， 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B. “煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D. “掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意； 故选：． 7. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先求出，再根据两直线平行，同位角相等即可得到答案． 【详解】解；如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，根据题意可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 10. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：8个相加，即，8个相乘，即， 则，即， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是_______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的特性可直接进行求解． 【详解】由题意可得：塔吊的上部是三角形的结构是利用了三角形的稳定性； 故答案为三角形的稳定性． 【点睛】本题主要考查三角形的特性，正确理解三角形的特性是解题的关键． 12. 若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， 故答案为：或； 13. 如图，一块飞镖游戏板是的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的（若没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】用阴影小正方形的个数除以小正方形的总个数可得． 【详解】解： 图中共有9个小正方形，其中阴影的小正方形的个数为4个， 任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率：如果一个事件有种结果，而这些事件的可能性相同。其中事件 出现种结果，那么事件的概率为 ，掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 14. 如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 15. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、积的乘方的逆运算、零指数幂及负整数指数幂，再由有理数加减运算求解即可得到答案； （2）先由平方差公式展开，再由完全平方差公式展开即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、整式乘法运算，涉及绝对值、积的乘方的逆运算、零指数幂、负整数指数幂、有理数加减运算法则、平方差公式、完全平方差公式等知识．熟练掌握有理数混合运算法则、整式乘法运算法则是解决问题的关键． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）40401 （2）1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，然后将与的值代入原式计算，即可求出答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是熟练运用整式的混合运算法则． 19. 已知如图：，．求证：．（请把以下证明过程补充完整） 证明：（已知） 又（____________________） （____________________） _____（____________________） _____（____________________） （已知） _____（等量代换） _____（____________________） （____________________） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据对顶角相等，平行线的性质与判定完成填空，即可求解． 【详解】证明：（已知） 又（对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 20. 如图，的两边分别平行． （1）在图①中，的数量关系是___________ （2）在图②中，的数量关系是___________ （3）由（1）（2）可得结论：___________ （4）应用： ①若与的两边分别平行，且，则的度数为___________ ②若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，则这两个角的度数为___________ 【答案】（1）（相等） （2）（互补） （3）若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补 （4）①或②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质探究角的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合两直线平行，同位角相等，即可作答． （2）结合两直线平行，同位角相等、两直线平行，同旁内角相等、再进行角的等量代换，即可作答． （3）根据前两问的结论，即可作答． （4）①利用前一问的结论，进行分类讨论，再结合“，”建立式子，即可作答． ②利用前一问的结论，进行分类讨论，再结合“一个角比另一个角的2倍少”建立式子，即可作答． 【小问1详解】 解：如图： ∵的两边分别平行． ∴ ∴（两直线平行，同位角相等） ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵的两边分别平行． ∴ ∴ ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据（1）（2）的结论 ∴若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； 故答案为：若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； 【小问4详解】 解：①∵与的两边分别平行，且， ∴当即 解得； ∴； 或当即 解得； ∴ 故答案为：或； ②若两个角的两边分别平行，设这两个角分别为， ∵一个角比另一个角的2倍少， ∴， ∴当时，则， 解得； ∴当时，则， 解得； ∴； 综上：则这两个角的度数为，或，． 故答案为：，或，． 21. 如图所示，已知在中，，，直线经过点，，，垂足分别为，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据，，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∴ ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 22. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图． （1）观察图请写出、、之间的等量关系是          ； （2）根据中的结论，若，，则           ； （3）知识拓展：若，求的值． （4）知识应用：如图①，已知长方形的周长为，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为． 请直接写出下面两个问题的答案： ①长方形的面积是 ； ②如图②，连接、、，的面积是 ． 【答案】（1） （2） （3） （4）①② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键． （1）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，由此即可得解； （2）利用（1）中的结论计算即可得解； （3）运用完全平方公式计算即可得解； （4）①设，，则，，再由完全平方公式计算即可得解；②根据，结合完全平方公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：由图可得：大正方形的面积可以表示为， 还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即， ∴、、之间的等量关系是； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①设，， ∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∵分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为29， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； ②由题意可得： ． 23. 问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）对于图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；对于图3：在上截取，使，连接，同图2法进行求解即可； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． （2）对于图2，，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，   ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $