精品解析：辽宁省 丹东市第九中学2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

丹东市第九中学2025-2026学年度下学期七年级期中考试 数学试卷 考试时间：90分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共20分） 1. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 3. 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 4. 已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③若，则与互为余角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，其中错误的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 10. 如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共10分） 11. 已知，则的余角的度数为__________． 12. 若关于x的多项式展开后不含x的一次项，则_____________． 13. 如图，直线AB和直线CD相交于点O，，有下列结论：①与互为余角；②；③；④与互为补角；⑤与互为补角；⑥与互为余角，其中错误的有_________（填序号）． 14. 定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 15. 如果是一个完全平方式，则整式k为______． 三、解答题（共70分） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：，其中． 17. （1）计算：． （2）利用乘法公式计算：． 18. 综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 56 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 86 9 101 93 129 出现红花的频率（保留两位小数） 0.39 a 0.41 0.40 b （1）表中________，________； 【理论分析】 （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第________组的数据不适合用频率估计概率，理由是___________，你认为一株该植物开出红花的概率是________． 【实际应用】 （3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 19. 如图，，交于． 尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） 20. 补全下面推理过程 如图，平分． （1）与平行吗？请说明理由； 解：与______，理由如下： ，（平角的定义） ，（已知） ______（______）， （2）与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：______． 平分；（已知） （______）， 又（已知）． 即， ______（______）． （______）． 21. 如图，直线相交于点O，于点O． （1）若，求的度数． （2）若，请判断与关系，并说明理由． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 23. 在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市第九中学2025-2026学年度下学期七年级期中考试 数学试卷 考试时间：90分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共20分） 1. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 3. 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③． 【详解】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确； ②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确； ③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确； 综上可知，正确的是①②③， 故选：A 4. 已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵三角形三边的长度分别为，，， ∴， ∴， ∴第三边长不可能是2． 故选：A． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算进行计算即可，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质计算即可 【详解】 故选B 【点睛】本题考查了分式的性质，幂的运算，正确的计算是解题的关键． 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用积的乘方把式子变形计算即可. 【详解】 = = = = = = 故选：D 【点睛】此题考查了积的乘方的逆用，掌握正确的计算法则是解答此题的关键. 7. 下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平面内直线的位置，对顶角的定义，等角的补角相等等知识，根据相关定义进行逐一判断即可，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，原说法错误； ②两点之间线段最短，原说法错误； ③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ④相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑤等角的补角相等，原说法正确； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 不正确的说法有①②③④⑥， 故选：D． 8. 下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③若，则与互为余角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，其中错误的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，余角和补角的定义，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，符合题意； ②相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，符合题意； ③若，则与互为补角；原说法错误，符合题意； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确,不符合题意； ∴错误的有①②③， 故选：A． 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，还考查了多项式乘多项式．设出小长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图1可得，， 即①， 由图2可得，， 即②， 由①②得，， 所以， 即每个小长方形的面积为5， 故选：A． 10. 如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 故①正确； ， ， ， 即平分， 故②正确； ，， ， ， ， ， ， 故③正确； ，， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共10分） 11. 已知，则的余角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据互为余角的两个角的和等于计算即可． 【详解】解：， 它的余角． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的知识，熟记互为余角的两个角的和等于是解题的关键． 12. 若关于x的多项式展开后不含x的一次项，则_____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先运用多项式乘以多项式法则展开，再按字母x合并同类项，然后根据展开后不含x的一次项，即含x的一次项系数为0，求解即可． 【详解】解：(ax-1)(x+2) =ax2+2ax-x-2 =ax2+(2a-1)x-2， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴2a-1=0， 解得：a=， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式展开后不含某项，即该项系数为0是解题的关键． 13. 如图，直线AB和直线CD相交于点O，，有下列结论：①与互为余角；②；③；④与互为补角；⑤与互为补角；⑥与互为余角，其中错误的有_________（填序号）． 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】根据互余、互补的性质，结合图形，对顶角的性质判断即可． 【详解】∵， ∴∠AOE=90°， ∴与互为余角； 故①正确； ； 故②正确； 无法判定， 故③错误； 与互为补角； 故④正确； 无法判定与互为补角； 故⑤错误； ∵， ∴∠AOE=90°， ∴与互为余角； ∵； ∴与互为余角， 故⑥正确， 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查了互余、互补的性质，对顶角的性质，熟练掌握互余、互补的性质是解题的关键． 14. 定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， 则由题意可得， 即 故答案为：． 15. 如果是一个完全平方式，则整式k为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，形如的式子叫完全平方式．把变形为或分别求解． 【详解】解：是一个完全平方式 若，则； 若，则． 故答案为：或或． 三、解答题（共70分） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，积的乘方运算： （1）先运算单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答； （2）先运算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答； （3）先运算单项式乘多项式，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 当时，原式． 17. （1）计算：． （2）利用乘法公式计算：． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，平方差公式： （1）先计算负整数指数幂，零次幂，乘方，再计算乘法，最后计算加减法； （2）利用平方差公式计算 【详解】解：（1） ． （2） ． 18. 综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 56 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 86 9 101 93 129 出现红花的频率（保留两位小数） 0.39 a 0.41 0.40 b （1）表中________，________； 【理论分析】 （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第________组的数据不适合用频率估计概率，理由是___________，你认为一株该植物开出红花的概率是________． 【实际应用】 （3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】（1）；（2）二，试验的植株数太少，；（3）估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【解析】 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，样本估计总体数量等知识，理解大量重复实验中，频率趋向于一个稳定的数，这个数即为概率是解题的关键． （1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复实验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】解：（1），； 故答案为：； （2）第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少，除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且实数的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； 故答案为：二，试验的植株数太少，； （3）（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 19. 如图，，交于． 尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据尺规作一个角等于已知角的方法，作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 20. 补全下面推理过程 如图，平分． （1）与平行吗？请说明理由； 解：与______，理由如下： ，（平角的定义） ，（已知） ______（______）， （2）与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：______． 平分；（已知） （______）， 又（已知）． 即， ______（______）． （______）． 【答案】（1）平行，，同角的补角相等 （2）平行；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查同角的补角相等、平行线的判定、角平分线定义、邻补角定义： （1）根据同角的补角相等证得，再根据同位角相等，两直线平行证得结论即可； （2）根据角平分线定义证得，再根据等量代换得到，然后根据内错角相等，两直线平行证明结论即可． 【小问1详解】 解：与平行，理由如下： ，（平角的定义） ，（已知） （同角的补角相等）， ； 【小问2详解】 解：与的位置关系是：平行． 平分；（已知） （角平分线定义）， 又（已知）． 即， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 21. 如图，直线相交于点O，于点O． （1）若，求的度数． （2）若，请判断与关系，并说明理由． 【答案】（1）∠BOD＝36° （2）ON⊥CD，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据邻补角的定义，可得∠AOC，根据对顶角的性质，可得答案； （2）根据垂直的定义，可得∠AOM，根据余角的性质，可得答案． 【小问1详解】 由邻补角的定义，得∠AOC+∠BOC＝180°， ∵∠BOC＝4∠AOC， ∴4∠AOC+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝36°， 由对顶角相等，得 ∠BOD＝∠AOC＝36°； 【小问2详解】 ON⊥CD，理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠1+∠AOC＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AOC＝90°， 即∠NOC＝90°， ∴ON⊥CD． 【点睛】本题考查了垂线的性质，对顶角相等，余角与补角的计算，解（1）的关键是利用邻补角的定义得出∠AOC，解（2）的关键是利用余角的性质得出∠2+∠AOC=90°． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 【答案】（1），；（2）；（3）33；（4）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积； （2）根据两种方法得到的面积相等列出等式； （3）根据完全平方公式变形求值即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； （2）依题意得：； （3），， ； （4）阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 23. 在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 【答案】（1）；；相等；互补；（2）；（3）或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键． （1）利用平行线的性质可得答案； （2）证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案； （3）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，∵，， ∴，， 则； 如图2，∵，， ∴，， 则， 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补， 故答案为：；；相等；互补； 应用结论 （2）∵ ，， ∴， ∵， 由（1）的结论可得：， ∵， ∴ ． （3）过B作， ∵ ， ∴， ∵ 同理可得：， ∴， ∵， 同理可得：， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵中有两个相等的角， 当时，则， ∴； 当时，则， 当时，． 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $