精品解析：海南海口市琼山华侨中学等学校2025—2026学年度第二学期九年级中考模拟考试数学联考试卷

2025-2026学年度第二学期九年级第二次阶段性质量评估数学科练习题 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 2026 D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，都是整数，属于有理数，是开方开不尽的数，为无限不循环小数， ∴是无理数． 2. 若代数式的值为，则x的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 代数式的值为， ∴ 列方程得 ， 解得． 3. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可． 【详解】解：选项A的主视图是正方形； 选项B的主视图是三角形； 选项C的主视图是矩形； 选项D的主视图是圆． 故选：B． 4. 一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解： ， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可． 【详解】解：、和不是同类项，不能合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用． 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：方程变形得. 方程的两边同乘（x-1）,得3=x-1. 解得x=4. 经检验，x=4是原方程的解． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键． 7. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】∵直尺的对边互相平行， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∵∠1=20°， ∴∠2=45°﹣∠1=25°， 故选：B． 8. 如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（    ） A. y是x的正比例函数 B. C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格的数据以及利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：由表格可知：x每增加1，y增加， 是x的一次函数，且， 选项A不正确； 设， 把代入中得：， 解得， 所以y关于x的函数解析式为：， 选项B正确； 当时，， 当时，， 选项C，D不正确； 故选：B． 9. 如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ） A. 格点 B. 格点 C. 格点 D. 格点 【答案】D 【解析】 【分析】先由图中两个三角形各边的长度得出旋转图形的对应顶点，再由旋转性质求解即可找到旋转中心． 【详解】解：由图可知，， 的对应点为、的对应点为、的对应点为， 由旋转性质可知，对应点与旋转中心的连接构成的线段相等，则格点中只有， 即其旋转中心是格点． 10. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　） A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 【答案】B 【解析】 【分析】由AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数． 【详解】 连接AC， AB为⊙O的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定，难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解题的关键． 11. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC， ∴∠DEC=∠FCB， ∵， ∴∠BFC=∠CDE， ∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处， ∴BC=EC， 在△BFC与△CDE中， ∴△BFC≌△CDE（AAS）， ∴DE=CF=2， ∴， ∴AD=BC=CE=， ∴AE=AD-DE=， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】原式为两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 14. 要使代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此列不等式求解，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积是 __． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：21． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为_____，线段DH长度的最小值为_____． 【答案】 ①. 3 ②. ﹣ 【解析】 【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM=2FN，推出EM=2，FM=1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题． 【详解】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N． ∵四边形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB， ∴四边形ADFE是矩形， ∴EF=AD=3， ∵FQ∥PE， ∴△MFQ∽△MEP， ∴， ∵PE=2FQ， ∴EM=2MF， ∴EM=2，FM=1， 当点P与A重合时，PQ的值最大， 此时PM=， MQ=， ∴PQ， ∵MF∥ON∥BC，MO=OB， ∴FN=CN=1，DN=DF+FN=3，ON=， ∴OD=， ∵BH⊥PQ， ∴∠BHM=90°， ∵OM=OB， ∴OH=BM=×， ∵DH≥OD﹣OH， ∴DH≥，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当PQ垂直于OD时，O，H，D共线，此时DH最小， ∴DH的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算：. （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据实数的性质即可化简求解； （2）根据不等式的性质分别求解不等式，再找到其公共解集. 【详解】（1）解：原式= = =-4 （2）解不等式①得： ； 解不等式②得： ∴. 【点睛】此题主要考查实数的运算及不等式的性质，解题的关键是熟知实数的性质、不等式求解方法. 18. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件； （2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【小问1详解】 解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． 【小问2详解】 解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 19. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________； （2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人； （3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 【答案】（1）80，16， （2）40 （3）恰好抽到2名女生的概率为． 【解析】 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可； （2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：接受问卷调查的学生共有（人， （人， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； 【小问2详解】 解：根据题意得： （人， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人； 故答案为：40； 【小问3详解】 解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种， ∴恰好抽到2名女生的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，斜坡长为26米，水平地面长为31米， （1）求A处到地面的距离； （2）求此时无人机离地面的高度的长．（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）40米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形一一仰角与俯角问题和坡度与坡角问题，正确的作出辅助线、造所需的直角三角形成为解答本题的关键． （1）过作于F，在中，根据山坡的坡度，可得，设，，求得、BFj即可解题； （2）过作于F，由矩形的性质可得、，设米，求得米，最后在运用三角函数的定义解答即可． 【小问1详解】 过A作于F， 在中， ∵山坡AB的坡度， ∴， ∴设， ∴， 解得 ∴米，米 ； 【小问2详解】 过A作于E，则， ∵， ∴， 设米，则米， 在中， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：A处到地面的距离为10米；此时无人机离地面的高度的长为40米． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）根据“心形图”关于直线对称可知：当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数与轴分别交于点、两点， 当时，，则 当时，可得，解得，则， 将，代入抛物线，可得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设，， 过点作于点，过点作轴交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大为， 点到直线的最大值为； 【小问3详解】 解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 则， ， ， 当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时， 直线解析式的值与直线解析式的值相同，为， 直线与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称可知， 上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线， 上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等， 根据平行线分线段成比例可得， 故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线与“心形图”有交点． 22. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到；然后证明可得，设，则，解得，最后代入计算即可． 【详解】证明：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）如图：过点作， ∵在中， ， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设，则，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级第二次阶段性质量评估数学科练习题 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 2026 D. 2. 若代数式的值为，则x的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 3. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 8. 如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（    ） A. y是x的正比例函数 B. C. 当时， D. 当时， 9. 如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ） A. 格点 B. 格点 C. 格点 D. 格点 10. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　） A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 11. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 分解因式：_______． 14. 要使代数式有意义，则x的取值范围是______． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积是 __． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为_____，线段DH长度的最小值为_____． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算：. （2）解不等式组： 18. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 19. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________； （2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人； （3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 20. 如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，斜坡长为26米，水平地面长为31米， （1）求A处到地面的距离； （2）求此时无人机离地面的高度的长．（参考数据：） 21. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 22. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $