精品解析：2026年重庆市巴蜀中学校中考二模数学试题

初三数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中九环 C. 打开电视，正在播放新闻 D. 明天早晨的太阳从东方升起 4. 如图，点，，，在上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆，第②个图案中有7个圆，第③个图案中有14个圆，第④个图案中有23个圆……按照这一规律，则第⑦个图案中圆的个数是（ ） A. 47 B. 54 C. 62 D. 70 6. 如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 9 D. 16 7. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 8. 某超市2023年盈利300万元，由于经济不景气，经过两年时间该超市2025年盈利下降到192万元，那么该超市这两年的年利润平均下降率为（ ） A. B. C. D. 9. 正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，，，，…，为整数，且，．下列说法： ①当时，不存在满足条件的整式； ②当，时，记所有满足条件的整式的和为，当时，的值一定为负数； ③满足条件的所有整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，每个球除颜色外都相同，佳佳从袋子中摸出一个白球的概率为______________． 12. 如图，已知，，则的度数为______________． 13. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______． 14. 若实数，同时满足，，则______________． 15. 如图，为的直径，与相切于点，连接交于点，点在上，，连接交于点，连接，以，为一组邻边作平行四边形，边交于点，若，，则的半径为__________，的长度为___________． 16. 一个四位自然数，各个数位上的数字互不相同，若满足，则称数为“如意数”，若还满足，则称数为“九合如意数”，例如：四位数3546，，是“九合如意数”．按照这个规定，最小的“九合如意数”是____________．将自然数的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记，．若为“九合如意数”且为整数，同时，自然数（，，，，，，，均为整数）为“如意数”，且满足，则满足条件的所有的最大值与最小值的差是______________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每小题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 求不等式组： 的所有整数解． 18. 学习了角平分线的性质后，小蜀发现在如图所示的四边形中，，与不平行，，若点为边上的中点，平分，则有平分．其证明思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据小蜀的思路完成以下作图和推理填空． （1）用尺规完成以下作图：过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）利用三角形全等证明他的猜想． 证明：平分，，， ，， 为的中点，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ． 平分． 19. 月日是世界红十字日，为了普及和强化急救知识和技能，某中学组织了“急救知识竞赛”活动，现从八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，所有学生的成绩均不低于分（成绩得分用表示，共分成四组：．，．， ．，．），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，，，． 九年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的急救知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次急救知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次急救知识竞赛成绩不低于分的学生人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． （1）求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； （2）工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 22. 如图，，为菱形的对角线，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，把绕点顺时针旋转到，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点停止运动时，点和点均停止运动．设点的运动时间为秒（），点与点的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 为了保证农作物的正常生产，需要定期对农田喷洒农药．利用无人机喷洒农药，能快速覆盖大面积农田，也能减少浪费与环境污染．如图，某农户操作甲、乙两架无人机从A点出发到三点处对三块农田喷洒农药．在同一平面内，B点位于A点的北偏西方向千米处，C点位于A点的东北方向，D点分别位于A点的正北方向、B点的东北方向和C点的北偏西方向上．（参考数据：，，） （1）求A点和D点之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）甲无人机先沿方向到点B处喷洒农药，乙无人机先沿方向到点C处喷洒农药．甲、乙两架无人机在两点处喷洒完农药后，再次同时分别从B、C出发沿着、方向到点D处喷洒农药，乙无人机的速度是甲无人机速度的2倍，请问当甲、乙两架无人机在到达D点前的距离恰好为千米时，乙无人机距离C点多少千米？（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P与点C关于抛物线的对称轴l对称，T是直线下方抛物线上一动点，N是对称轴l上一动点，连接，，．线段交直线于点Q，当取得最大值时，求点T的坐标及的最大值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线，点E为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点E的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25. 在中，，，点是边上一点（不与端点重合），连接． （1）如图1，平分交于点，连接，若，，求的长； （2）如图2，作于点，为延长线上一点，连接，满足，平分交于点，在左侧作，并截取，连接，请猜想，，三条线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，，是边的中点，为边上一动点，，为直线上一动点，连接，，，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内得，连接，以为斜边在的右侧构造等腰直角，所在直线交直线于点，连接，当取最小值时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较．根据正数大于零，零大于负数，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵， 最小的数是． 故选：A． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中九环 C. 打开电视，正在播放新闻 D. 明天早晨的太阳从东方升起 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．“经过路口，恰好遇到绿灯”是随机事件，不符合题意； B．“射击运动员射击一次，命中九环”是随机事件，不符合题意； C．“打开电视，正在播放新闻”是随机事件，不符合题意； D．“明天早晨的太阳从东方升起”是必然事件，符合题意． 4. 如图，点，，，在上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆，第②个图案中有7个圆，第③个图案中有14个圆，第④个图案中有23个圆……按照这一规律，则第⑦个图案中圆的个数是（ ） A. 47 B. 54 C. 62 D. 70 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵第①个图案中有2个圆，， 第②个图案中有7个圆，， 第③个图案中有14个圆，， 第④个图案中有23个圆，， ∴第⑦个图案中圆的个数． 6. 如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方求出的面积即可． 【详解】解：， 与的位似比是， ， ， ， ， ． 7. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则把化简为，然后估算的取值范围，再根据不等式的性质变形即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 某超市2023年盈利300万元，由于经济不景气，经过两年时间该超市2025年盈利下降到192万元，那么该超市这两年的年利润平均下降率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该超市这两年的年利润平均下降率为，根据该超市2023年的盈利该超市2025年的盈利建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该超市这两年的年利润平均下降率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 即该超市这两年的年利润平均下降率为． 9. 正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接与交于点，过点作交于点，根据折叠的性质得出，，推得，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，结合三角形内角和定理求得，根据等腰直角三角形的性质推得，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，，求得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接与交于点，过点作交于点，如图： 根据题意可得，，，， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴，， 故， 又∵， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， 则 ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∵， 即， 解得：， 即； 在中，， ∴， 则； ∵，，， ∴， ∴， 故的面积为． 10. 已知整式，其中为正整数，，，，…，为整数，且，．下列说法： ①当时，不存在满足条件的整式； ②当，时，记所有满足条件的整式的和为，当时，的值一定为负数； ③满足条件的所有整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件，所有系数为严格递增的不同整数，乘积为8，对三个说法分别分类验证计数即可． 【详解】∵所有系数满足，均为整数，且，逐个验证： 验证①：当时，共有个不同非零整数系数，乘积为，个不同非零整数的乘积绝对值最小为，无法得到乘积为，不存在满足条件的整式，故①正确； 验证②：，为正整数，故或，且，列出所有满足条件的整式求和： ：得两个整式：，； ：得四个整式：，，，； 求和得，当时，，故的值一定为负数，故②正确； 验证③：枚举所有满足条件的整式： ：共个（个全正，个全负）； ：共个（个全正，个两负一正）； ：共个（均为两负两正，其余不存在）； ：不存在， 总计，故③错误； 综上，有个说法正确． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，每个球除颜色外都相同，佳佳从袋子中摸出一个白球的概率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出袋子中球的总个数，得到任意摸出1个球的所有等可能结果数，再得到摸出白球的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，袋子中球的总个数为， 从中任意摸出1个球共有种等可能结果，其中摸出白球的结果有种， ∴摸出一个白球的概率为． 12. 如图，已知，，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴＜0， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 14. 若实数，同时满足，，则______________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号，解方程组得到，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数，同时满足，， 又∵， ∴，可得， ∴，原第一个方程可化为，整理得， 将代入得：， ∵， ∴，可得：， 代入第二个方程得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴． 15. 如图，为的直径，与相切于点，连接交于点，点在上，，连接交于点，连接，以，为一组邻边作平行四边形，边交于点，若，，则的半径为__________，的长度为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、，根据题意，设，，则，根据切线的定义得出，根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，，根据圆周角定理推得，根据相似三角形的判定和性质得出，结合勾股定理求出，，根据圆周角定理推得，根据相似三角形的判定和性质求出，求出直径，即可求出的半径；根据锐角三角函数的定义分别求出，，求得，根据平行四边形的性质得出，，根据锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】连接、，如图： 根据题意，设，，则， ∵与相切于点，∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， 故， 解得； ∴， 故的半径为． 则，，， 在中，，， 在中，， 即， 解得：， ， 即， 解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得：． 16. 一个四位自然数，各个数位上的数字互不相同，若满足，则称数为“如意数”，若还满足，则称数为“九合如意数”，例如：四位数3546，，是“九合如意数”．按照这个规定，最小的“九合如意数”是____________．将自然数的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记，．若为“九合如意数”且为整数，同时，自然数（，，，，，，，均为整数）为“如意数”，且满足，则满足条件的所有的最大值与最小值的差是______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当最小时，则千位上的数字为和百位上的数字为时最小，即可得到最小的“九合如意数”，根据和求出表达式，再代入根据整数解的范围得到是的因数，再由的满足条件求出的值，从而求出的值，再取最大和最小的作差即可． 【详解】解：当最小时，则千位上的数字为和百位上的数字为时最小， ∴，， ∵， ∴，， ∴最小的“九合如意数”是：； 由题意可得：，， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵为整数， ∴是的因数， ∴或或或， ∴或或或， ∵ ∴的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∵为“如意数”， ∴，即 ∵ ∴， 整理可得： 把代入可得： ， 整理可得： ， ∴解得：； ；； ①当时，， 若，则，，此时； 若，则，，此时； 若，则（不符合题意）； 若，则，，此时 ②当时，， 若，则，，此时； 若，则，，此时； 若，则（不符合题意）； 若，则，此时（不符合题意）； ③当时，，此时（不符合题意）； 综上，最大值为，最小值为， ∴． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每小题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 求不等式组： 的所有整数解． 【答案】，，， 【解析】 【分析】根据运算法则解出不等式后再找整数解即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴不等式的整数解为：，，，． 18. 学习了角平分线的性质后，小蜀发现在如图所示的四边形中，，与不平行，，若点为边上的中点，平分，则有平分．其证明思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据小蜀的思路完成以下作图和推理填空． （1）用尺规完成以下作图：过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）利用三角形全等证明他的猜想． 证明：平分，，， ，， 为的中点，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ． 平分． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，使弧与交于点，点，再分别以点，点为圆心，大于一半的长度为半径画弧，两弧相交于左侧的点，连接交于点，则垂线即为所求； （2）根据角平分线的性质可得，再由等量代换可得，再结合直角三角形的全等条件证明全等，由此可得，即可证明． 【小问1详解】 解：过点作的垂线，垂足为点，如图所示： 【小问2详解】 证明：平分，，， ，， 为的中点，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ． 平分． 19. 月日是世界红十字日，为了普及和强化急救知识和技能，某中学组织了“急救知识竞赛”活动，现从八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，所有学生的成绩均不低于分（成绩得分用表示，共分成四组：．，．， ．，．），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，，，． 九年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的急救知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次急救知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次急救知识竞赛成绩不低于分的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2）九年级急救知识竞赛成绩较好，理由见解析； （3）估计该校八、九年级参加此次急救知识竞赛成绩不低于分的学生人数是人． 【解析】 【分析】（1）由各组人数所占的百分比和为，可得，八年级名学生的竞赛成绩按从小到大的顺序排列，第个数和第个数的平均数即为，根据众数的定义可得； （2）利用中位数做决策，即可求解； （3）运用样本估计总体，进行列式计算即可． 【小问1详解】 解：八年级名学生的竞赛成绩在组的人数占， ∴， ∴， 八年级名学生的竞赛成绩在组和组的人数为（人）， 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，， ∴八年级名学生的竞赛成绩按从小到大的顺序排列，第个数为，第个数为， ∴， 九年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的为， ∴． 【小问2详解】 解：九年级学生的急救知识竞赛成绩较好． 理由如下：在八、九年级的成绩的平均数相等的情况下，八年级的急救知识竞赛成绩的中位数为，九年级的急救知识竞赛成绩中位数为， ∵， ∴九年级急救知识竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解： （人） ∴估计该校八、九年级参加此次急救知识竞赛成绩不低于分的学生人数是人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】利用乘法公式和因式分解对分式进行化简，再计算出的值代入即可． 【详解】 解：原式 ； ∵ ∴把代入可得：． 21. 列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． （1）求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； （2）工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 【答案】（1）每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱 （2）机器人完成这次搬运任务用了2小时 【解析】 【分析】（1）设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物，列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时，根据A、B两种机器人搬运的货物量分别列出方程，联立方程组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物， ， 解得， 答：每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱； 【小问2详解】 解：设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时， ， 解得， 答：机器人完成这次搬运任务用了2小时． 22. 如图，，为菱形的对角线，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，把绕点顺时针旋转到，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点停止运动时，点和点均停止运动．设点的运动时间为秒（），点与点的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）图象见解析，的图象关于直线对称，在时，随的增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于，设、交于点，根据菱形的性质得出，，，根据点、的速度得出，，分和两种情况，分别表示出、，利用勾股定理可得的不等式，根据含角的直角三角形的性质得出，利用三角形面积公式可得的表达式； （2）利用描点法画出图象，再根据图象写出性质即可； （3）根据图象，找出的图象在的图象上方时，的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，设、交于点， ∵，为菱形的对角线，，， ∴，，， ∵点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴，，点运动到点的时间为，点运动到点的时间为， ∴点、同时达到点，且运动时间， 如图，当时，，， ∴， 如图，当时，，， ∴， 综上所述：关于的表达式为； ∵点的速度为每秒个单位长度， ∴， ∵把绕点顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：列表如下： 0 4 8 描点、画图如下： 由图象可知，的图象关于直线对称，在时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：由图象可知，时，的取值范围为或． 23. 为了保证农作物的正常生产，需要定期对农田喷洒农药．利用无人机喷洒农药，能快速覆盖大面积农田，也能减少浪费与环境污染．如图，某农户操作甲、乙两架无人机从A点出发到三点处对三块农田喷洒农药．在同一平面内，B点位于A点的北偏西方向千米处，C点位于A点的东北方向，D点分别位于A点的正北方向、B点的东北方向和C点的北偏西方向上．（参考数据：，，） （1）求A点和D点之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）甲无人机先沿方向到点B处喷洒农药，乙无人机先沿方向到点C处喷洒农药．甲、乙两架无人机在两点处喷洒完农药后，再次同时分别从B、C出发沿着、方向到点D处喷洒农药，乙无人机的速度是甲无人机速度的2倍，请问当甲、乙两架无人机在到达D点前的距离恰好为千米时，乙无人机距离C点多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）3.5千米 （2）1.2千米 【解析】 【分析】（1）根据题意先得到角度，再添加辅助线，即过点A作，在中，可求解与的长，再得到为等腰直角三角形，由此可解； （2）先添加辅助线，过点D作于点F，得到为等腰直角三角形，求解出的长度，再添加辅助线，过点M作，设千米，利用直角三角形求出与，再结合勾股定理求解出x的值，由此可求解． 【小问1详解】 解：由题意知：，，，， ∴，， 过点A作，如图， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得千米； 答：A点与D点之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：过点D作于点F，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ， ∴， 在中，， 在中， ， ， ∴，则， 在 中，，， ∴， 设乙无人机在M点，甲无人机在N点时，相距千米， 过点M作于点Q，如图， 设千米，则千米， 由（1）知，，，即， ∴千米，千米， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，即， 解得或， ∵，即， ∴， ∴千米， 答：当甲、乙两架无人机的距离为千米时，乙无人机距离C点1.2千米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P与点C关于抛物线的对称轴l对称，T是直线下方抛物线上一动点，N是对称轴l上一动点，连接，，．线段交直线于点Q，当取得最大值时，求点T的坐标及的最大值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线，点E为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点E的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2）点，最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式，再结合对称轴为直线求解即可； （2）先求解出直线的解析式，过点T作x轴的垂线，交直线于点，过点P作x轴的垂线，交直线于点，设点，再得到，结合边长成比例表示出，结合二次函数的性质可求解点P的坐标，再根据三点共线时，可求解的最大值； （3）先由已知条件得到，再分类讨论点E的位置，求解出对应的直线的解析式，联立直线与抛物线，得到的交点坐标即为点E的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于， 且抛物线的对称轴l是直线． ∴，即， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为：， 令，可得， ∴点， ∵点P与点C关于抛物线的对称轴l对称， ∴点， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， 过点T作x轴的垂线，交直线于点，过点P作x轴的垂线，交直线于点，如图， 设点，则， ∴， ∵点， ∴点的横坐标为4，则， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴当时，取得最大值，此时点， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值为， ∵点，点， ∴， 则最大值为； 【小问3详解】 解：点或， 在（2）中取得最大值的条件下，则有点， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点N是对称轴l上一动点，则点N的横坐标为2， 当时，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 即，则有， 过点C作直线，直线与x轴交于点F， ∴点，点， 则为等腰直角三角形，即， 则， ∴， 情况一：当在上方时，过点A作的平行线，如图， ∵直线过点， ∴，解得， 即直线为， 点E即直线与位于A点左侧的交点， 令，解得（舍）或， ∴； 情况二：当在下方时，直线与y轴交点记作点R， 过点F作于点S，过点R作于点M，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为等腰直角三角形，则， 在中，， 在中，， 在中，，即， ∴， 在中，， 在中，， 即，解得， ∴，即， 解得 ∴，则点， 设直线为，过点，点， ∴，解得， ∴直线为， 点E即直线与位于A点左侧的交点， 令，解得（舍）或， ∴． 25. 在中，，，点是边上一点（不与端点重合），连接． （1）如图1，平分交于点，连接，若，，求的长； （2）如图2，作于点，为延长线上一点，连接，满足，平分交于点，在左侧作，并截取，连接，请猜想，，三条线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，，是边的中点，为边上一动点，，为直线上一动点，连接，，，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内得，连接，以为斜边在的右侧构造等腰直角，所在直线交直线于点，连接，当取最小值时，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用是角平分线，先证明，得到，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）延长，利用等腰三角形三线合一的性质，得到，通过直角，利用等量代换得到，从而通过证明， 再利用，通过等量代换，得到，等角对等边得到，再在内构造全等三角形，证明，通过线段的等量代换，即可推出； （3）在下方以为边构造的相似三角形，从而将转化为，从而确定D的位置，以为斜边构造等腰直角三角形，利用手拉手旋转模型证明相似三角形，推出点N的运动轨迹为圆，利用点圆最值确定点N的位置，最后通过勾股定理解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长，交于点M，在左侧取点N，使得，，即是等腰直角三角形，连接，，， ∵平分， 又是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又是等腰直角三角形， ∴， ∴，即在线段上， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取点P，使得，，过点F作，交直线于点Q， ∵是等腰直角三角形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵点F是中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，根据题意，作图如下，同时以为斜边，向右作等腰直角三角形，连接，，延长，交于点R， 由等腰直角三角形的性质，同前文证明过程，可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点N在以O为圆心，8为半径的圆上， ∴当点N在上时，取得最小值，此时示意图如下： ∵， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 对所在图形单独分析，示意图如下，作，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 又， 即， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $