精品解析：广东广州市白云区广大附中实验中学2025-2026学年下学期九年级数学开学收心练习

2025-2026学年下学期初三数学开学考试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动，以下交通标识图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 向上两面的点数和为5 B. 向上两面的点数和大于1 C. 向上两面的点数和大于12 D. 向上两面的点数和为奇数 3. 若一元二次方程有两个相等实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 4. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ） A. 31 B. 41 C. 14 D. 37 6. 已知的半径为，点A在内，则 的长度可能是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点、分别在不同的半圆上，，则与的关系恒成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上．已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 抛物线与轴的另一个交点是 C. 方程有两个相等的实数根 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为______． 12. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是_________．(精确到0.1) 13. 正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 14. 一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留） 15. 数学家梅文鼎在《几何通解》中写道：“形可用数度，数亦可以形显”．如图（1），在中，，点从点出发，依次沿、两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为 ， 关于的函数图象如图（2），由曲线和线段组成．已知曲线的最低点的坐标为，线段与轴的公共点，当时，则 _____． 16. 在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作 ，连接，则的最大值是______． 三、解答题 17. 解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到， （1）画出； （2）求点在旋转过程中运动的路径长．（结果保留） 19. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4． （1）随机抽取一张卡片，直接写出“抽取数字2的卡片”的概率． （2）随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，用列表或画树状图法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 20. 关于的方程， （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为3，求的值． 21. 如图，等腰中， ，，点D在上，将 绕点B顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 已知二次函数 ． （1）补全表格，并画出二次函数的图象； x … … y … … （2）观察该图象，直接回答以下问题： ①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围； ②当时，写出x的取值范围． 23. 如图，在中，，以为直径作交 于点，过点作，垂足为 ，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若 ， ，求的半径． 24. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，远光九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 如图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 任务一 如图2，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体 的抛物线解析式； 任务二 如图2，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度下降了至线段处，求此时水面宽度的长； 任务三 如图3，把瓷碗绕点B缓慢倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜，求此时碗里水面的宽度__________． 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形 变化过程中的几何问题．如图，在中，， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为 的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得 ，连接 ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ① ；② ； 【类比探究】（2）如图2，将 绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现： ，请你帮他证明： 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心， 为半径的圆上运动（ ），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期初三数学开学考试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动，以下交通标识图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕某点旋转 后能与原来的图形重合，则称此图形是中心对称图形，理解定义是关键；根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的交通标识找不到一点，图形绕此点旋转 后不能与原来的图形重合，它们都不是中心对称图形，而选项D中的交通标识能够找到一点，图形绕此点旋转 后能与原来的图形重合，它是中心对称图形； 故选：D． 2. 掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 向上两面的点数和为5 B. 向上两面的点数和大于1 C. 向上两面的点数和大于12 D. 向上两面的点数和为奇数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类；两枚骰子的点数之和最小为2，最大为12，因此点数和不可能大于12． 【详解】解：∵两枚骰子的点数均为1到6， ∴点数之和最小为，最大为 ； 选项A：点数和为5可能发生，如或，是随机事件； 选项B：点数和最小为2，总是大于1，是必然事件； 选项C：点数和最大为12，不可能大于12，是不可能事件； 选项D：点数和可能为奇数，如，是随机事件． ∴不可能事件是C， 故选：C． 3. 若一元二次方程有两个相等实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数“当方程有两个相等的实数根时，根的判别式为0”．根据一元二次方程根的情况，利用判别式即可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：B． 4. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ） A. 31 B. 41 C. 14 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 配方得：， 即， ∴ ． 故选：B． 6. 已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm， ∴线段OA的长度＜5cm． 故选：A． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内． 7. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y=（x－1+2）2+1﹣3，即y=（x+1）2﹣2． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 8. 如图，是的直径，点、分别在不同的半圆上，，则与的关系恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，根据题意得到 ，进而得出，由，推出，求出，再逐一判断即可． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴一定不成立，选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴不一定成立，选项B不符合题意； ∵恒成立， ∴一定成立，选项C符合题意； ∵， ∴不一定成立，选项D不符合题意． 故选：C． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上．已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，得到，，根据平行线的性质，求出，由等边对等角，求出，再根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 10. 已知抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 抛物线与轴的另一个交点是 C. 方程有两个相等的实数根 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意可得抛物线的对称轴为直线，即，抛物线有最大值，再根据函数图象的对称性可得抛物线与轴的另一交点坐标为，即B选项错误；再说明，即可判断A选项；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断C选项；由可得，再结合即可判断D选项． 【详解】解：抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点， 抛物线的对称轴为直线，即，抛物线有最大值， 抛物线与轴的另一交点坐标为，故B选项错误； 抛物线与轴的交点在轴的正半轴，即， 抛物线有最大值， ，， ，故A选项错误； 抛物线有最大值， 有两个相等的实数根，故C选项正确； ， ， ，故D选项错误． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用关于原点对称的点的横纵坐标都变为相反数的性质得出答案即可，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键． 【详解】点关于原点O对称的点的坐标是：， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是_________．(精确到0.1) 【答案】0.6 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6． 【详解】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6． 13. 正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆；由题意易得正方形的对角线长为，然后问题可求解． 【详解】解：如图，正方形是的内接正多边形， ∴正方形外接圆直径为正方形的对角线长，即为． ∵正方形的外接圆半径为， ∴正方形的对角线长， ∴正方形的边长为； 故答案为：． 14. 一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°， ∴扇形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键． 15. 数学家梅文鼎在《几何通解》中写道：“形可用数度，数亦可以形显”．如图（1），在中，，点从点出发，依次沿、两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图（2），由曲线和线段组成．已知曲线的最低点的坐标为，线段与轴的公共点，当时，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质．由函数图象，得到，由最低点的坐标为，得到边上的高为，作于点，则，由勾股定理求得 ，当时，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由函数图象，， 当时（在上），，即边上的高为， ∵，则边上的高也为， 作于点，则， ∴ ， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作 ，连接，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为，由勾股定理得 ，又，所以，因为点是的内心，所以求得，则，通过 ，得，从而可知点在以 为直径，中点为圆心的圆上运动，如图，当三点共线时，有最大值，为，最后由坐标系中两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为， 由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴点在以 为直径，中点为圆心的圆上运动，如图， ∵，， ∴，， ∴， 如图，当三点共线时，有最大值，为， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，坐标系中两点间的距离，勾股定理，三角形内心，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．运用公式法解方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到， （1）画出； （2）求点在旋转过程中运动的路径长．（结果保留） 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，勾股定理的应用，求弧长，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关键； （1）先确定，关于A旋转后的对应点，，再顺次连接即可； （2）先利用勾股定理求解的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 ∵，， ∴的长为； 19. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4． （1）随机抽取一张卡片，直接写出“抽取数字2的卡片”的概率． （2）随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，用列表或画树状图法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果, 解题的关键是要注意题目中是放回实验还是不放回实验． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）用列表法得到所有情况，找出第二次取出的数字小于第一次取出的数字的结果，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4张卡片中随机抽取一张卡片，“抽取数字2的卡片”的概率为； 【小问2详解】 解：依题意列表如下： 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 由上表可知,随机抽取2张卡片可能出现的结果有16个,它们出现的可能性相等, 第二次取出的数字小于第一次取出的数字有6种, ∴第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率为. 20. 关于的方程， （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为3，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 证明： ，，， ， 在实数范围内，无论取何值，都有，即． 关于的方程恒有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 将代入方程， 可得， 解得． 21. 如图，等腰中， ，，点D在上，将绕点B顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，勾股定理． （1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得 的度数； （2）根据旋转的性质可知，，， ，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理即可得的长． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可知， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知：，， ， ∵，， ∴ ∵， ， ∴． 22. 已知二次函数 ． （1）补全表格，并画出二次函数的图象； x … … y … … （2）观察该图象，直接回答以下问题： ①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围； ②当时，写出x的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2）①② 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数的图象性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合 ，列表，描点连接，即可作答． （2）①运用数形结合思想得当y随x的增大而减小时，，即可作答． ②运用数形结合思想得当时，，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； 补全表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 画出二次函数的图象： 【小问2详解】 解：①结合（1）的二次函数的图象，得当y随x的增大而减小时，； ②结合（1）的二次函数的图象，得当时，． 23. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若 ， ，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等． （1）连接，由等腰三角形的性质，进而得 ，由平行线的判定及性质得 ，即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合等腰三角形的性质得出，勾股定理求得 ，进而设的半径为，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵于点E， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 在 中， 设的半径为，则 ∴ 在中， ∴ 解得：， ∴的半径为． 24. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，远光九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 如图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 任务一 如图2，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体 的抛物线解析式； 任务二 如图2，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度下降了至线段处，求此时水面宽度的长； 任务三 如图3，把瓷碗绕点B缓慢倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜，求此时碗里水面的宽度__________． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确建立平面直角坐标系， 任务一：由待定系数法求解函数解析式； 任务二：通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 任务三：仍建立以为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点S的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点H的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】解：任务一：如图： 瓷碗高度，碗口宽，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗中盛满水时的最大深度， 由题意得：，， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点C的坐标代入得：， 解得， 抛物线解析式为； 任务二：碗中液面高度为，， 这时液面的纵坐标为 ， 当时，， 解得，，， 则液面宽度为； 任务三：以为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交于点S，交于点P， 由题知，，， 轴， 又， ， ， ， ， 设直线的解析式为 ， 则， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍）， ， ∴． 故答案为：． 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形 变化过程中的几何问题．如图，在中，， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得 ，连接 ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ① ；② ； 【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接 ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现： ，请你帮他证明： 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（ ），直线与直线 相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值． 【答案】（1）选择结论① 证明： ∵为的中线 ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ， ∵， ∴ ． （2）延长至M，使得 ，连接 ， 由（1）得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，绕点A顺时针旋转得到， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （3） 【解析】 【分析】（1）选①证明，由中线得出 ，再用证明 ，利用全等的性质得出 ，由等量代换得出 ． （2）由（1）①得结论得出 ，从而得出 ，由平行的性质得出 ，由旋转的性质得出 ，进一步可得出 ，利用 ，由全等的性质得出 ，最后等量代换可得出 ． （3）延长至点M，使得 ，连接 ，同（2）可得∶ ， 由全等的性质得出 ，，由旋转的性质得出 ，当点G在上时和当点G在的延长线上时，分别求出 ，则在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．取的中点O，连接 ，，由三角形三边关系得出 ，当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．解直角 ，即可求出，进一步即可求出． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图2，延长至点M，使得 ，连接 ， 同（2）可得∶ ． ∴ ， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当点G在上时， ∴ ， 当点G在的延长线上时， ∴ ， 在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动． 取的中点O，连接 ，， ∵ 当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大． ∵ ， ∴ 为直角三角形． ∵， ∴． ∵为直径, ∴ ， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了三等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，旋转的性质，以及三角形三边关系得应用，勾股定理等知识点，分析出当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $