精品解析：广东汕头市潮阳金培学校2025-2026学年度第二学期九年级学情自测 数学试卷

2025-2026学年度第二学期九年级开学考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. “翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 3. 已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m≥0 C. m≥0 且m≠1 D. m为任意数 4. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度（即），则滑雪道长为（ ）米 A. 150 B. C. D. 6. 如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为．则下面的四个结论： ①； ②； ③； ④当时，或． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 若，其中，则的值为______． 13. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 14. 若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为______． 15. 如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 三、解答题（一）（本大题共3题，每题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 18. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 四、解答题（二）（本大题共3题，每题9分，共27分） 19. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 20. A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． （1）任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； （2）任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； （3）任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 21. 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． （1）求证：与相切于点D； （2）若，求的半径． 五、解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 23. 如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式与点P的坐标； （2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值； （3）连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上， ①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由； ②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （图（2）、图（3）供画图探究） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级开学考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立体图形的三视图．从正面看，小正方形有3列，分别是2个，1个，2个，据此可解答． 【详解】小正方形有3列，分别是2个，1个，2个，如图： 故选：B 2. “翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m≥0 C. m≥0 且m≠1 D. m为任意数 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式m+1≠0，再解不等式即可． 解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠-1， 故选A． 考点：一元二次方程的定义 4. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故选：A 5. 如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度（即），则滑雪道长为（ ）米 A. 150 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡比问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为，即， 米， 米， 由勾股定理得：米， 故选：C． 6. 如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由位似变换的性质可知，故有，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由位似变换的性质可知，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．设点B坐标为，得到，即可得到点E坐标为，点F坐标为，．根据的面积为5，得到，求出，然后根据点E在图象上，从而求出k． 【详解】解：设点B坐标为， ∵四边形为矩形，并且在第一象限， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴点E坐标为，点F坐标为，． ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴． 故选：A． 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确； D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为．则下面的四个结论： ①； ②； ③； ④当时，或． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定a、b、c的符号，再根据函数图象反映的信息逐一分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴，即， ∵图象与y轴交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ②∵点坐标为， ∴，， ∵， ∴故②错误； ③当时，， 由图象可知函数经过点， ∴当时，， 故， 即，故③错误； ④∵对称轴为，点， ∴， ∴当时，或，故④正确； 综上所述，正确的结论只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，此类问题通常先将二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息分析出来是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 12. 若，其中，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由可得，，因为，把整体代入，即可得到答案．得到从而等量代换是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为： 13. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求得，，再利用配方法和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过， ∴，则， ∴， ∵二次函数的图象经过， ∴，即，且， ∴ ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，理解题意，熟练掌握利用二次函数的性质求解最值是解答的关键． 15. 如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 三、解答题（一）（本大题共3题，每题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】分别根据负整数指数幂性质，绝对值的化简规则，特殊角的三角函数值，零指数幂的性质化简各项，再合并计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 【答案】（1）三棱柱； （2）该几何体的体积为． 【解析】 【分析】（1）由三视图可知该几何体名称； （2）作交于点，结合锐角三角函数和勾股定理求出，，，继而求出，即可求得该几何体的体积． 【小问1详解】 解：根据三视图可知，该几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； 【小问2详解】 解：作交于点， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 该三棱柱的体积为． 【点睛】本题考查的知识点是三棱柱的三视图、体积、锐角三角函数、勾股定理，解题关键是熟练掌握以上知识点． 18. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）屋顶到横梁的距离为 （2）房屋的高约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， 在中，， 屋顶到横梁的距离为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，如图所示： 则， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 经检验是原方程的根， ， ， 房屋的高约为． 四、解答题（二）（本大题共3题，每题9分，共27分） 19. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 【答案】解：（1）200． （2）补全图形，如图所示： （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种， ∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【解析】 【详解】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数：（人）． （2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可． （3）根据题意列出表格或画树状图，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率． 20. A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． （1）任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； （2）任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； （3）任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 【答案】（1）A超市：，B水果店： （2）当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算 （3）A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元 【解析】 【分析】本题考查了函数解析式的求解，方案选择问题及一元二次方程的利润问题． （1）A超市不打折，售价固定，付款金额与购买成正比例关系，直接得； B水果店3千克及以内按原价销售，故，超过3千克时，用表格中（付款11.1元）计算超过部分单价：（元/千克），得超过部分函数； （2）分三种情况讨论：购买量千克时，A超市单价更低；购买量千克时，比较A超市和B水果店的大小，通过解不等式得出分界点； （3）设售价为m元，计算降价金额与销售量增加量的关系，利用利润公式（售价-成本）×销售量=112，建立一元二次方程，解方程得两个解，根据“减少库存”要求选择较低售价即可． 【小问1详解】 解：由题意知，A超市的购买量与付款金额之间的函数解析式为， B水果店：当时，西瓜售价为3元/千克，此时， 当时，前3千克按3元/千克付款，付款金额为：（元）， 超过3千克的部分为千克，这部分单价为：（元/千克）， ∴超过3千克部分的付款金额为元， ∴总付款金额为：， 综上，B水果店y与x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴选择A超市更合算， 当时，若，解得， 若，解得， 若，解得， 综上所述，当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算． 【小问3详解】 解：设A超市将售价定为每千克m元， 由题意得：，解得：，， ∵尽可能减少库存， ∴， ∴A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元． 21. 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． （1）求证：与相切于点D； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】本题考查角平分线，切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理等，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义和等边对等角，得到，从而，易证，即可求证； （2）连接，根据圆周角定理，可得，根据“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，求出，利用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 是的半径， 与相切于点D； 【小问2详解】 解：如图2，连接， 是的直径， ， ，， ，则 在中，， ， 设半径为r，则， 在中，， ， 由勾股定理得，， 解得， 则的半径为． 五、解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析； （2）18； （3）． 【解析】 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【小问1详解】 证明：∵， 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， 【小问3详解】 解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 23. 如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式与点P的坐标； （2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值； （3）连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上， ①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由； ②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （图（2）、图（3）供画图探究） 【答案】（1），顶点坐标为P（2，－1） （2） （3）①存在，或；②存在，点M的坐标为（2，2）；（2，－4）；（2，4） 【解析】 【分析】（1）先将点B和点C代入抛物线y=x2+bx+c求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标； （2）过点E作y轴的平行线交直线BC于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段EF的长度，最后表示出△CBE的面积，从而利用二次函数的性质求得△CBE的面积最大值； （3）①先求得点A的坐标，进而结合点B和点C的坐标求得∠ABC的度数、AB、AC、BC的长度，然后由点B和点P的坐标得到∠PBN的度数，再分△ABC∽△NBP和△ABC∽△PBN两种情况讨论，最后利用相似三角形的性质求得BN的长度即可得到点N的坐标； ②先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标． 【小问1详解】 由已知，得B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为 ，顶点坐标为P（2，－1） 【小问2详解】 当0＜x＜3时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F， 设点，点， ∴· ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值 ∴， ∴ 【小问3详解】 ①由（1）得A（1，0），如图（2），连接BP， ∵∠CBA＝∠ABP＝45° ∴当时，△ABC∽△PBN， ， ∴BN＝3， ∴· ∴当时，△ABC∽△NBP， ∴． ∴ 综上所述，当点N的坐标为（0，0）或（，0）时，以点B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似． ②如图（3）， C（0，3），P（2，-1）， 设M（2，y），N（x，0）， （i）以CN为对角线时， ，解得：， ∴M1（2，4），N1（4，0）； （ii）以CP为对角线时， ，解得：， ∴M2（2，2），N2（0，0）； （iii）以CM为对角线时， ，解得：， ∴M3（2，-4），N3（0，0）； 综上所述，存在点M的坐标为（2，4）或（2，2）或（2，-4）时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是会利用相似三角形的性质和平行四边形的性质分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $