精品解析：甘肃省张掖市甘州区思源实验学校2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试题

2025年中考模拟测试（一） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，实数的大小比较．解题关键是熟练掌握实数的大小比较方法：正数负数；两个负数相比较时，绝对值大的反而小． 先求出，再根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：， ∴， ∴最小的是． 故选B． 2. 马家窑彩陶是甘肃彩陶的代表之一，主要分布在黄河上游地区．马家窑文化的彩陶器形多样，包括盆、钵、壶、瓶等，纹饰华丽典雅，图案生动多变．关于如图所示的马家窑彩陶瓷器的三视图，在不考虑花纹的情况下，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据几何体的形状得到其对应的三视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体的主视图和左视图相同，俯视图与主视图和左视图都不相同， 故选：A． 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，理解三角板的性质是解题的关键；由题意可得，再结合，即可得出的度数． 【详解】解：依题意，结合图形，得， ∵， ∴， 故选：C 4. 如图，在矩形中，E是的中点，连接交于点F．若，则的长是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的性质与判定，先根据矩形的性质得，再证明，结合E是的中点，得，故，再根据，，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象与y轴交于点 B. 当时， C. 点和都在该函数图象上，若，则 D. 函数图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答． 【详解】解：∵一次函数，且， ∴随的增大而减小，故C选项符合题意； 令时，则，即一次函数与轴交于点，而非故A选项不符合题意； 则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意； ∵一次函数的随的增大而减小， ∴令时，则， ∴当时，则，故B选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接，结合半径相等以及菱形的性质得，故都是等边三角形，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴都是等边三角形， ∴， 即， 故选：B 8. 甘肃省某中学为了加深学生对本省非物质文化遗产的了解，计划开展一些非物质文化遗产知识的相关选修课程（分别是剪纸、皮影戏、黄河战鼓、秦州小曲、跳鼓舞），选取了若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课程”的调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 这次调查的样本容量是110 B. 全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸的大约有240人 C. 扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是 D. 被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有33人 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，样本容量，用最喜欢秦州小曲的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，据此可判断A；再求出样本中最喜欢剪纸的人数，用1600乘以样本中最喜欢剪纸的人数占比即可判断B；用360度乘以样本中最喜欢黄河战鼓的人数占比即可判断C；用参与调查的人数乘以最喜欢皮影戏的人数占比即可判断D． 【详解】解：人， ∴这次一共调查了200人，即样本容量为200，故A说法错误，不符合题意； 人， ∴样本中最喜欢剪纸的有30人， ∴全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸的大约有人，故B说法正确，符合题意； 扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是，故C说法错误，不符合题意； 人， ∴被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有60人，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长，再由弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长， ∴重物上升的高度为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求弧长公式，根据题意得到重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长是解题的关键． 10. 如图1，在正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为，则y与x对应关系的图象如图2．当点E运动到的中点时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先理解正方形的性质得，，再证明四边形为矩形，故，结合函数图象性质得，再证明，代入数值计算，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F， ∴，， 则当点运动在上时，四边形为矩形， ∴， 当点运动到点处时，， ， ， 当点运动到中点时，如图， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数c的值可能是________．（写出一个合理的值即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后利用此范围进行解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 则符合题意， 故答案为：0（答案不唯一） 13. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂和有理数的混合运算．根据负整数指数幂和有理数的混合运算进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 14. 如图是两位同学正在下棋的部分对弈图，若A棋子的位置用表示，B棋子的位置用表示，那么接下来的棋子■下在位置________处时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解决问题的关键． 根据题意建立平面直角坐标系，根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系如图，当接下来的棋子■下在位置时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：． 15. 如图， 是等边三角形，点是的中点，延长到点，使，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求出的长，再由等角对等边得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴，，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，且为的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．利用等边三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 16. 如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度． 【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则， ∴， 解得，， ∴， 即此时桥拱最高点P离水面的高度是米， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先运算乘除以及化简二次根式，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不读书②得：， ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使点O在上，且经过B，C两点； ②设线段与交于D（不与点B重合），连接． （2）若，的半径为2，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线和圆的作图，圆周角定理和含角直角三角形的性质等知识，准确作图是关键． （1）作垂直平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆即可； （2）根据圆周角定理和含角的直角三角形性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 解：由作图可知，是的直径， ∴， ∵，的半径为2，即 ∴ 21. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶因标签被污染而无法识别的无色溶液，分别是A（盐酸溶液，呈酸性），B（硝酸钾溶液，呈中性），C（氢氧化钠溶液，呈碱性），D（氢氧化钾溶液，呈碱性）．小宁同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小宁将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是________； （2）若小宁将酚酞分别随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求这两种样本溶液恰好都不变色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小宁将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两种样本溶液恰好都不变色的有2种， ∴两种样本溶液恰好都不变色的概率为． 22. 近几年中学生近视的现象越来越严重，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（灯底座的高度忽略不计），其中，分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．已知灯柱，灯臂，经使用发现：当，且时，护眼灯光线最佳，求此时护眼灯上点D到桌面的距离． （精确到，参考数值：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可证明四边形为矩形，得到，，再求出，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，即可求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：点到桌面的距离约为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 甘肃敦煌作为历史文化名城，以其灿烂辉煌的敦煌文化闻名于世．为了传承和弘扬敦煌文化，甘肃省敦煌市某中学开展了“探寻敦煌文化，诵读经典篇章”的朗读比赛活动．九（1）班、九（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． 平均数 中位数 众数 方差 九（1）班 85 a 85 70 九（2）班 b 80 c 160 （1）写出表中a，b，c的值：________，________，________； （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定的班级胜出，那么你认为哪个班级能胜出？ 【答案】（1），， （2）九（1）班成绩好些，理由见解析 （3）九（1）班的成绩更稳定，能胜出． 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，平均数，众数，中位数，方差的含义； （1）结合频数分布直方图，中位数，平均数，众数的含义补全表格即可； （2）由两个班的平均数相同，结合中位数可得结论； （3）比较两个班的方差即可得出结论； 【小问1详解】 解：九（1）班5位同学的成绩为75、80、85、85、100， ∴中位数为分； 九（2）班5位同学的成绩为70、100、100、75、80， ∴九（2）班的平均数为（分），众数为分． 故答案为；，，． 【小问2详解】 解：九（1）班成绩好些，理由如下： ∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高， ∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些． 【小问3详解】 解：九（1）班的成绩更稳定，能胜出． ∵， ∴九（1）班的方差小于九（2）班的方差， ∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出． 24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； （3）结合函数图象，直接写出当一次函数值大于反比例函数的值时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）点的坐标为，，利用三角形面积公式进行解答即可； （3）由（2）及函数图象,令解之可进行求解． 【小问1详解】 解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的横坐标是． ∴ ∴点 把代入得到， 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与x轴交于点C， 令，得， ∴点的坐标为， ∵过点A作轴于点B． ∴ ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：∵， ∴根据图象可知：当一次函数的值大于反比例函数的值． 令，解得或， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为或． 25. 如图，已知是的直径，点P在的延长线上，点D是上一点，连接，过点B作交的延长线于点C，连接并延长，交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）若，半径的长为3，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及切线的判定方法是正确解 （1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，再根据垂线、平行线的性质得出，由切线的判定方法即可得出结论； （2）由勾股定理列方程求解，得，在直角三角形中，则，由（1）可知，，，所以，即可作答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 是的半径， 是的切线； 小问2详解】 解：依题意，， ∵， ∴， 在中，， ∴ 由（1）可知，， ， 则． 26. 问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， 【小问3详解】 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可； （3）设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，根据轴对称的性质得到当点M与点重合时，取得最小值，即为的长，求出，即可得到取得最小值，再求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，连接， 则， ∴当点M与点重合时，取得最小值，即为的长， ∵， 即取得最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟测试（一） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 马家窑彩陶是甘肃彩陶代表之一，主要分布在黄河上游地区．马家窑文化的彩陶器形多样，包括盆、钵、壶、瓶等，纹饰华丽典雅，图案生动多变．关于如图所示的马家窑彩陶瓷器的三视图，在不考虑花纹的情况下，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，E是的中点，连接交于点F．若，则的长是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象与y轴交于点 B. 当时， C. 点和都在该函数图象上，若，则 D. 函数图象经过第一、二、三象限 7. 如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 甘肃省某中学为了加深学生对本省非物质文化遗产的了解，计划开展一些非物质文化遗产知识的相关选修课程（分别是剪纸、皮影戏、黄河战鼓、秦州小曲、跳鼓舞），选取了若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课程”的调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 这次调查的样本容量是110 B. 全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸大约有240人 C. 扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是 D. 被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有33人 9. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为，则y与x对应关系的图象如图2．当点E运动到的中点时，的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：＝_____． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数c的值可能是________．（写出一个合理的值即可） 13. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为________． 14. 如图是两位同学正在下棋的部分对弈图，若A棋子的位置用表示，B棋子的位置用表示，那么接下来的棋子■下在位置________处时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 15. 如图， 是等边三角形，点是的中点，延长到点，使，则的长为___________． 16. 如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是________米． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使点O在上，且经过B，C两点； ②设线段与交于D（不与点B重合），连接． （2）若，的半径为2，求的长． 21. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶因标签被污染而无法识别的无色溶液，分别是A（盐酸溶液，呈酸性），B（硝酸钾溶液，呈中性），C（氢氧化钠溶液，呈碱性），D（氢氧化钾溶液，呈碱性）．小宁同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小宁将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是________； （2）若小宁将酚酞分别随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求这两种样本溶液恰好都不变色的概率． 22. 近几年中学生近视的现象越来越严重，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（灯底座的高度忽略不计），其中，分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．已知灯柱，灯臂，经使用发现：当，且时，护眼灯光线最佳，求此时护眼灯上点D到桌面的距离． （精确到，参考数值：） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 甘肃敦煌作为历史文化名城，以其灿烂辉煌的敦煌文化闻名于世．为了传承和弘扬敦煌文化，甘肃省敦煌市某中学开展了“探寻敦煌文化，诵读经典篇章”的朗读比赛活动．九（1）班、九（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． 平均数 中位数 众数 方差 九（1）班 85 a 85 70 九（2）班 b 80 c 160 （1）写出表中a，b，c的值：________，________，________； （2）结合两班复赛成绩平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定的班级胜出，那么你认为哪个班级能胜出？ 24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； （3）结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 25. 如图，已知是的直径，点P在的延长线上，点D是上一点，连接，过点B作交的延长线于点C，连接并延长，交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）若，半径的长为3，求的值． 26. 问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $