2026年中考数学二轮复习：一元二次方程

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心考点，以题载法构建从概念应用到实际建模的完整训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2、填空10-11|概念辨析与计算|从方程解的定义到根与系数关系，形成概念应用链| |实际建模|选择3/5/7、填空12|增长率/下降率问题|以实际情境为载体，构建(1±x)²模型，培养应用意识| |方程解法|解答16、选择6|判别式与转化思想|通过因式分解、判别式应用，强化推理能力| |综合拓展|解答17-18、选择9|几何与新定义结合|结合勾股定理、“黄金方程”新定义，提升综合解题能力|

2026年中考数学二轮复习：一元二次方程 一．选择题（共9小题） 1．（2026•覃塘区一模）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个解，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2 2．（2026•覃塘区一模）设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a+b的值为（　　） A．1 B．2025 C．﹣1 D．﹣2025 3．（2026•乌鲁木齐一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 4．（2026•湖北一模）方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 5．（2026•海沧区校级一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A．450（1﹣x）＝370 B．450（1﹣x2）＝370 C．450（1﹣2x）＝370 D．450（1﹣x）2＝370 6．（2026•遂宁一模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　） A．a﹣c＝0 B．b﹣2c＝0 C．2a﹣b＝0 D．b﹣ac＝0 7．（2025•南山区一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A．（1+0.5x）＝0.5 B．（1﹣0.5x）2＝0.5 C．（1+x）2＝0.5 D．（1﹣x）2＝0.5 8．（2025•新华区校级一模）已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的两个根，且，则c的值是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 9．（2025•广元模拟）如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下列方程正确的是（　　） A．x2+42＝（x+1）2+32 B．x2+42＝（x+1）2﹣32 C．（x﹣1）2+42＝x2+32 D．（x﹣1）2+32＝x2+42 二．填空题（共4小题） 10．（2026•乌鲁木齐一模）已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于 　 　 ． 11．（2026•南京一模）设a，b是方程x2﹣12x+9＝0的两个根，则等于　 　 ． 12．（2026•玄武区一模）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 　 　 ． 13．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 14．（2026•安徽一模）随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到35%的目标． （1）已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有28%，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） （2）照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过40%？请说明理由． 15．（2026•威海模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值． 16．（2026•建邺区一模）解下列方程： （1）x2+8x﹣20＝0； （2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）+2＝0． 17．（2026•六盘水模拟）阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程x3+x2﹣6x＝0时，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣6）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣6＝0，可得方程x3+x2﹣6x＝0的根． 学习任务： （1）方程2x3+5x2+3x＝0的根是：x1＝0，x2＝　 　 ，x3＝　 　 ； （2）求方程的根； （3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长AD＝28m，宽AB＝15m，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为42m的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在AD边上（AP＞PD）时，求AP的长． 18．（2025•曾都区一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 2026年中考数学二轮复习：一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2026•覃塘区一模）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个解，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】将已知的方程的解x＝2代入原方程，得到关于m的一元一次方程，进而求解m的值即可． 【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx＝0中得： 22+m×2＝0，解得m＝﹣2； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，关键是理解方程的解的含义． 2．（2026•覃塘区一模）设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a+b的值为（　　） A．1 B．2025 C．﹣1 D．﹣2025 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】直接利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和即可． 【解答】解：由条件可知， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．（2026•乌鲁木齐一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】B 【分析】已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的（1+x）倍，故三月份销量为8000（1+x）2，据此列方程即可． 【解答】解：设每月增长率为x， 则二月份销量为8000（1+x），三月份销量为二月份的（1+x）倍，即8000（1+x）2． ∵一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， ∴8000（1+x）2＝12000． 故选：B． 【点评】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2026•湖北一模）方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】因为x2+4x﹣5＝0，所以，因为x2﹣6x+1＝0，所以x1x2＝1，则方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于﹣5，即可作答． 【解答】解：由条件可知，x1x2＝1， 则﹣5×1＝﹣5， ∴方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2026•海沧区校级一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A．450（1﹣x）＝370 B．450（1﹣x2）＝370 C．450（1﹣2x）＝370 D．450（1﹣x）2＝370 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】利用第三个月生产钠离子电池的成本＝第一个月生产钠离子电池的成本×（1﹣该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则第二个月生产钠离子电池的成本是450（1﹣x）万元，第三个月生产钠离子电池的成本是450（1﹣x）2万元， 根据题意得：450（1﹣x）2＝370． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2026•遂宁一模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　） A．a﹣c＝0 B．b﹣2c＝0 C．2a﹣b＝0 D．b﹣ac＝0 【考点】根的判别式；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据题意得出b＝a+c，a＝b﹣c，c＝b﹣a，再根据判别式的意义可知Δ＝0，进而可得答案． 【解答】解：A、∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c，a＝b﹣c，c＝b﹣a． ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0，正确，不符合题意； B、∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，a＝b﹣c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b﹣c）c＝b2﹣4bc+4c2＝（b﹣2c）2＝0， ∴b﹣2c＝0，正确，不符合题意； C、∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，c＝b﹣a， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（b﹣a）＝b2﹣4ab+4a2＝（2a﹣b）2＝0， ∴2a﹣b＝0，正确，不符合题意； D、∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c，a＝b﹣c，c＝b﹣a． ∵b﹣2c＝0，a﹣c＝0， ∴b＝2c，a＝c， ∴b﹣ac＝2c﹣c2＝﹣c（c﹣2）， ∵c≠0， ∴b﹣ac不一定为0，原结论错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2025•南山区一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A．（1+0.5x）＝0.5 B．（1﹣0.5x）2＝0.5 C．（1+x）2＝0.5 D．（1﹣x）2＝0.5 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【解答】解：∵假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x， ∴（1﹣x）2＝0.5， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 8．（2025•新华区校级一模）已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的两个根，且，则c的值是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可得m+n＝﹣4，mn＝c，然后将方程化简、代入求值即可． 【解答】解：由条件可知m+n＝﹣4，mn＝c， ∴， 解得c＝﹣2， 经检验：c＝﹣2是原方程的解， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025•广元模拟）如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下列方程正确的是（　　） A．x2+42＝（x+1）2+32 B．x2+42＝（x+1）2﹣32 C．（x﹣1）2+42＝x2+32 D．（x﹣1）2+32＝x2+42 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用． 【专题】一元二次方程及应用；解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据题意设AB'＝xm，利用钓鱼竿长度不变，利用勾股定理得出方程即可． 【解答】解：设AB'＝xm， ∵AC'＝AC， ∴根据勾股定理得：AB'2+B'C'2＝AB2+BC2， 即x2+42＝（x+1）2+32． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键． 二．填空题（共4小题） 10．（2026•乌鲁木齐一模）已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于 　﹣2　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】根据根与系数的关系，先将所求代数式化简成含有a+b和ab的式子，再代入计算即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴a+b＝2，ab＝﹣1． ∴2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1、x2，则有：x1+x2，x1x2． 11．（2026•南京一模）设a，b是方程x2﹣12x+9＝0的两个根，则等于　3　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】． 【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝12，ab＝9，得到a＞0，b＞0，再计算的值，然后利用二次根式的性质求解即可． 【解答】解：根据题意得：a+b＝12，ab＝9， ∴a＞0，b＞0， ∴ ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的化简，根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，，掌握知识点是解题的关键． 12．（2026•玄武区一模）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 　300（1+x）2＝507　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】300（1+x）2＝507． 【分析】根据两年内从300千克增加到507千克，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：平均每年增产的百分率为x， 根据题意得，300（1+x）2＝507， 故答案为：300（1+x）2＝507． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x＝2021 【分析】结合已知条件得到x+2＝2023，求得x即可． 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点． 三．解答题（共5小题） 14．（2026•安徽一模）随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到35%的目标． （1）已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有28%，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） （2）照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过40%？请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】（1）从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到10%； （2）35%×（1+10%）2＝35%×1.21＝42.35%＞40%， 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过40%． 【分析】（1）设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出算式，进而和40%比较即可求解． 【解答】解：（1）设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，由题意可得28%（1+x）2＝35%， ， ， ∵x＞0， ∴， ∴x＝10%， 答：从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到10%； （2）35%×（1+10%）2＝35%×1.21＝42.35%＞40%， 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过40%． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 15．（2026•威海模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）证明见解析． （2）． 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要证明Δ＞0恒成立即可． （2）因为，所以由根与系数的关系可得，解方程可得m的值． 【解答】（1）证明：Δ＝（4m+1）2﹣4（2m﹣1）＝16m2+5＞0， ∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣4m﹣1，x1x2＝2m﹣1， ∵，即， ∴①， 解得 m， 经检验得出m是方程①的根， 即m的值为． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式Δ的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想． 16．（2026•建邺区一模）解下列方程： （1）x2+8x﹣20＝0； （2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）+2＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1＝﹣10，x2＝2； （2）x1＝4，x2＝3． 【分析】（1）左边利用十字相乘法因式分解，再进一步求解即可； （2）将x﹣2看作整体，利用十字相乘法因式分解，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）因式分解可得： （x+10）（x﹣2）＝0， 则x+10＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣10，x2＝2； （2）∵（x﹣2）2﹣3（x﹣2）+2＝0， （x﹣2﹣2）（x﹣2﹣1）＝0， 即（x﹣4）（x﹣3）＝0， 则x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17．（2026•六盘水模拟）阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程x3+x2﹣6x＝0时，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣6）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣6＝0，可得方程x3+x2﹣6x＝0的根． 学习任务： （1）方程2x3+5x2+3x＝0的根是：x1＝0，x2＝　　 ，x3＝　﹣1　 ； （2）求方程的根； （3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长AD＝28m，宽AB＝15m，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为42m的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在AD边上（AP＞PD）时，求AP的长． 【考点】无理方程；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】（1），﹣1； （2）x1＝2，x2＝1； （3）AP的长为20m． 【分析】（1）首先提出x，然后因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝42，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【解答】解：（1）提公因式得x（2x2+5x+3）＝0， x（2x+3）（x+1）＝0， ∴x＝0或2x+3＝0或x+1＝0， ∴x1＝0，，x3＝﹣1， 故答案为：，﹣1； （2）， 3x﹣2＝x2，即x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝2，x2＝1， 经检验，x1＝2，x2＝1都是原方程的解． 所以方程的解是x1＝2，x2＝1； （3）因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝15m， 设AP＝xm，则PD＝（28﹣x）m， 因为BP+CP＝42，，， ∴， x2﹣28x+160＝0， ∴x＝20或8（舍去）， 经检验，x＝20是方程的解． 答：AP的长为20m． 【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根． 18．（2025•曾都区一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　①③　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）①③； （2）a＝﹣1或； （3）4． 【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到b＝﹣a﹣3，则原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，再由a是此黄金方程的一个根，得到2a2﹣a﹣3＝0，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【解答】解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由： ∵x2＝1， ∴x2﹣1＝0， ∴a＝1，b＝0，c＝﹣1 ∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0， ∴x2＝1是黄金方程； ②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由： ∵（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x2+x﹣2＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0， 故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程； ③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， 故答案为：①③； （2）由条件可知3+b﹣（﹣a）＝0， ∴b＝﹣a﹣3， ∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， 解得a＝﹣1或； （3）由条件可知2﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣2， ∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4， ∵（b﹣1）2≥0， ∴（b﹣1）2+4≥4， ∴b2﹣2c+1的最小值为4． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． 学科网（北京）股份有限公司 $