10.4分式的乘除 同步自主达标测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 2025-2026学年苏科版八年级数学下册《10.4分式的乘除》同步测试题，以基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一运算到实际应用的知识进阶，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分式乘除法则、有意义条件、基础运算|单选题1-3直接考查概念，填空题9-12强化符号处理，夯实运算基础| |提升层|化简求值、整体代入、简单应用|解答题18-19结合整式运算，含取值范围分析，发展推理意识| |拓展层|实际情境应用、规律探究、新定义问题|解答题21购物比价、23和谐分式探究，培养创新意识与数学应用能力|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《10.4分式的乘除》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 4．已知，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．已知，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 6．如果x与它自身的倒数相等，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知（且）且，，…，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 二、填空题（满分24分） 9．若分式有意义，则的取值范围是______． 10．分式的值是，且，则的值为______． 11．计算：__________． 12．计算：_____． 13．一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的______． 14．若，则的值为___________． 15．已知，则分式的值是______． 16．已知代数式满足．若，则代数式的值为_____． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）化简： (1) (2) 18．（10分）化简： (1) (2) 19．（12分）化简求值： (1)先化简，再求值：，再从，，0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简然后从中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20．（8分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例：计算． 解：原式， …… (1)请写出单项式_______________； (2)将该例题的解答过程补充完整； (3)请在，，中选择一个合适的数，代入化简后的结果求值． 21．（10分）（1）已知，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？ （2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且）甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ 22．（12分）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 23．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 参考答案 1．解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 2．C 【分析】本题重点考查​分式乘除运算顺序​，​熟练掌握同级运算从左到右的规则和分式乘除法的运算法则是解题的关键． 根据分式的乘除法运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 3．C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 4．B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握． 先将原式变形为，求出，再将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：由得到， 则 ∴， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的运算是解题的关键． 先对已知条件进行通分变形，得到与的关系，再将其代入中求值． 【详解】解：对通分，， 则，即， 将代入，可得． 故选：D． 6．D 【分析】先对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，约分化简，再求出的值代入即可． 【详解】解： 又如果与它自身的倒数相等， 又 ，即： 当时 原式 故选． 【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式的运算是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，分别求出，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：（且）， ， ， ， ， ∴该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系，列代数式；用到的知识点为：纯墨水的体积总体积相应的浓度．算出第一次倒出溶液后乙瓶中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的体积，比较即可． 【详解】解： 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（）， 此时乙瓶中红墨水所占体积的比例为，乙瓶中蓝墨水所占体积的比例为，故A正确； 又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 此时甲瓶中蓝墨水的总量是毫升，乙瓶中红墨水有：毫升， 故B正确，D不正确； 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同，故C正确； 故选：D． 9． 且 且 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时，分式有意义是解题关键； 找出分式中的分母以及除数部分，然后当其不为0时，即可求解． 【详解】解：原式中作分母，作除数， ∴要使原分式有意义，故 ，，， ∴ ，，， ∴ 且 且 ， 故答案为： 且 且 ． 10． 【分析】本题考查了分式的整体运算，利用提公因式法进行化简是解题的关键． 首先将分式化简，分子和分母同时提取公因式，得到简化后的表达式，已知该分式值为且，代入求解即可得到的值． 【详解】∵， ∴， 把，代入得：，即， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了分式的乘除运算，平方差公式因式分解，掌握将除法转化为乘法，分解因式后约分简化是解题的关键． 将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式，然后通过约分简化表达式． 【详解】原式​​ ​． 故答案为：​． 12． 【分析】本题考查分式的混合运算，以及平方差公式的运算，解决本题的关键是对括号内的式子进行通分计算． 将除法运算转化为乘法运算，并利用分式的性质进行简化，最后通过约分得到结果． 【详解】解： = ． 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．设原长方形的长为，宽为，则原面积为；长增加后为，宽减少后为，新面积为，计算比值即可. 【详解】解：设原长方形的长为，宽为， ， ， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，正确计算是解题的关键．由已知条件 可得 ，即 ．将所求分式的分子和分母分别用 和 表示，代入化简即可． 【详解】解：由 ，得 ， 所以 ，即 ． 所求分式的分子为 ， 分母为 ． 所以 ． 故答案为：. 15． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键． 先将括号内的表达式通分并利用完全平方公式化简，再将分式除法转化为乘法运算，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 当 时，原式， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了分式的混合运算与代数式求值，解题关键是通过因式分解和通分化简分式，再求出的表达式． 先根据分式的运算求出的表达式，再代入计算即可． 【详解】解：由已知方程，右边化简： ， 所以， 则， 当时，． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．(1)，时，原式 (2)，时，原式 【详解】（1）解：原式 根据分母不为0得到且 ∴时，原式； （2）解：原式 ∵当和1时，会使分式分母，原式没有意义 当时，会使原式的除式，原式无意义 ∴从中选取一个整数，只能选，则原式 20．(1) (2)过程见解析 (3)选， 【分析】本题考查分式的混合运算，分式的基本性质，代数式化简求值，掌握好分式混合运算的法则是关键． （1）将分式通分成，对比可得单项式； （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可； （3）在原分式有意义的前提下（即分母不为，除数不为），选择合适的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的性质可得， 由题意可知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：原式， ， ， ； （3）解：当或时，原分式无意义，故只能选． 当时，． 21．（1）增大了，理由见解析（2）①甲的平均价格是元；乙的平均价格是元②乙的购买方式平均单价较低，理由见解析 【分析】（1）根据题意列出算式式，计算求解判断正负即可； （2）①根据题意列式求解即可； ②作差求解判断正负即可． 【详解】（1）根据题意得， ∵ ∴， ∴ ∴所得分式的值是增大了； （2）①甲的平均价格是元，乙的平均价格是元； ②作差得， 因为，故， 所以乙较合算． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题． 22．实践探索：；问题解决：6 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 23．(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 学科网（北京）股份有限公司 $