10.5分式方程 同步自主达标测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 苏科版八年级数学下册《10.5分式方程》同步测试，通过基础巩固、中档综合、提升应用三层设计，实现从概念辨析到实际建模的知识进阶，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分式方程概念、基本解法|单选1（概念辨析）、填空9（简单求解），夯实符号意识| |中档层|解的范围、参数问题|单选6（非负解）、填空13（正整数解），提升推理能力| |提升层|实际应用与拓展|解答23（香菇木耳购销）、22（购书方案），强化模型意识|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《10.5分式方程》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 2．解分式方程时，方程两边都乘可得（   ） A． B． C． D． 3．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 4．已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 5．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．六月，南方的水果已然成熟，某果农计划采摘300亩果园以供销售，由于天气炎热，为防水果变质，所以加快了采摘速度，实际每天采摘比原计划多，结果提前4天完采摘完毕，设原计划每天采摘x亩果园，由题意得到的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如果，则的值是______． 10．若分式与分式的值相等，则____________． 11．已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 12．如果将电阻并联，电路中的总电阻用表示，那么他们之间满足公式，已知，则______． 13．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为________． 14．阅读下列材料：①的解为，②的解为x＝2，③的解为，请观察上述方程与解的特征，则能反映上述方程一般规律的方程，它的解为____． 15．“为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍……，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗．设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程 根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应为_________． 16．原本的铁路从到全长公里，现在建造了一条公里长的高速铁路，高速铁路上的列车速度是原本速度的倍，因此从到的旅行时间缩短了小时，那么，原本铁路上的列车速度为_______千米/小时． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）解分式方程 (1)； (2)． 18．（10分）已知关于x的分式方程． (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 19．（8分）若关于的方程无解，求的值． 20．（10分）某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量不同的大、小两种货车同时运往外地销售．已知满载时，大货车每辆的运输量比小货车多15吨，且观察到，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨． 21．（10分）2025年“全国青少年无人机大赛”智能竞速项目中，“极光号”和“星驰号”两架无人机需沿标准赛道完成30米直线竞速，每次竞速中，两架无人机均同时起飞． (1)第一轮竞速中，当“极光号”抵达终点时，“星驰号”仅完成全程的，已知“极光号”比“星驰号”每秒快米．求“星驰号”的飞行速度（单位：米/秒）； (2)第二轮竞速中，组委会将“极光号”的速度设置为米/秒，“星驰号”的速度设置为米/秒，其中两个速度中的．它们谁能先到达终点，请计算说明． 22．（12分）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 23．（14分）阅读下列素材，完成任务． 随县是中国现代香菇产业起源地，是闻名海内外的“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”，其所产香菇肉质厚实、香味浓郁，同时出产的黑木耳也口感脆嫩、品质优良，均为广受欢迎的农特产品． 素材1：某特产店计划用元购进随县香菇和木耳进行销售。已知香菇的进价比木耳的进价高元/千克，用元购进的香菇数量和用元购进的木耳数量一样多． 素材2：根据该特产店所定的售价，每千克木耳的利润是每千克香菇利润的倍．同样获得元的利润，需要出售的香菇数量比需要出售的木耳数量多千克． 问题解决 (1)确定进价：分别求出香菇和木耳每千克的进价． (2)确定利润：分别求出香菇和木耳每千克的利润． (3)确定购进方案：要使总利润不低于元，则最多能购进香菇多少千克？ 参考答案 1．解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 2．B 【分析】将方程每一项同乘最简公分母，化简即可得到结果． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∴． 3．B 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键．将代入分式方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键．首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：， A选项正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意； 当时，解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意； 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了分式方程， 根据，可得，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程可化为. 故选：C 6．D 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是非负数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：原方程为 ， ∵ ， ∴ 原方程可化为 ， 方程两边同乘 ，得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴ ， 解得 且 ． 7．A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天植树棵，可得实际每天植树棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵， 原计划完成任务的时间为天，实际完成任务的时间为天， 根据结果提前天完成任务，可得：． 8．B 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出实际每天采摘亩果园，再根据结果提前4天完成任务建立方程即可． 【详解】解：由题意得：实际每天采摘亩果园， 则可列方程为， 故选：B． 9．4 【分析】本题主要考查分式方程，通过解分式方程求出的值，然后计算即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∴， 故答案为：4． 10． 【分析】此题考查了解方式方程，根据题意列出分式方程，求出解后要检验是否是增根． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． 故答案为：． 11．且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 12． 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】解： ，即， ， ， 故答案为：， 13．1或0 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，求解得到x的表达式，根据x为正整数且m为整数，确定m的可能值，并检验分母不为零即可． 【详解】解：原方程可化为， 两边同乘，得：， 整理得：， 解得：． ∵分式方程有正整数解，且m为整数， ∴是2的正因数，即或，解得或． 当时，，代入原方程，分母，，符合题意； 当时，，代入原方程，分母，，符合题意． 故整数m为0或1． 故答案为：0或1． 14． 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案．此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】解：①即的解为， ②的解为， ③的解为， …… 方程的解为， 故答案为：． 15．乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：由方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵， 故应补上条件：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵； 故答案为：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵． 16． 【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是根据题意得出正确的分式方程并求解． 设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时，根据题意列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时， 依题意得， 解得：， 经检验，是方程的解， 原本铁路上的列车速度为千米/小时． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 原方程去分母得：， 解这个方程得， 检验：当时，， ∴是分式方程根； （2）解：， 方程两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 18．(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围． （1）先将代入分式方程，再求解分式方程，最后将求解的x进行检验，若分母不为0即为分式方程的解； （2）先将分式方程化为整式方程，得出x的表达式，再根据方程的解是非负数这一条件，进一步确定m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘，得，解得， 当时，， ∴分式方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘，得，解得， ∵这个方程的解为非负数， ∴且，解得且． 19．或 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，分式方程无解的情况有两种，一种情况是化成的整式方程无解；另一种情况是求出的解是原分式方程的增根． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当，时， ，此方程无解， 原分式方程无解，符合题意； 当时， 若原方程有增根，则它的增根为， ， 解得：， 综上，m的值为或 20．小货车每辆每次运输10吨，大货车每辆每次运输25吨 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设小货车每辆每次运输吨，则大货车每辆每次运输吨，根据运输次数列出方程求解即可． 【详解】解：设小货车每辆每次运输吨，则大货车每辆每次运输吨． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，并符合题意． 答：小货车每辆每次运输10吨，大货车每辆每次运输25吨． 21．(1)米/秒 (2)“极光号”先到达终点，计算说明见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式除法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“星驰号”的飞行速度为米/秒，则“极光号”的飞行速度为米/秒，根据“极光号”抵达终点时，“星驰号”仅完成全程的建立方程求解即可； （2）根据时间等于路程除以速度分别求出两个无人机的飞行时间，再利用作商的方法比较两个无人机的飞行时间的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：设“星驰号”的飞行速度为米/秒，则“极光号”的飞行速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“星驰号”的飞行速度为米/秒； （2）解：∵， ∴ ∴“极光号”的飞行时间为秒，“星驰号”的飞行时间为秒，且， ， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴“极光号”先到达终点． 22．(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于的分式方程； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本，利用等量关系：科普书单价=文学书单价×，即可得出关于的分式方程； （2）设购进科普书本，则购买本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 23．(1)香菇每千克的进价是元，木耳每千克的进价是元 (2)每千克香菇的利润是元，每千克木耳的利润是元 (3)最多购进香菇千克 【分析】本题考查了分式方程与实际问题、一元一次不等式与实际问题，关键是审明题意找到恰当的关系列方程或不等式； （1）根据用元购进的香菇数量和用元购进的木耳数量一样多列方程即可； （2）根据同样获得元的利润，需要出售的香菇数量比需要出售的木耳数量多千克列方程即可； （3）根据总利润不低于元列不等式即可. 【详解】（1）解：设每千克木耳的进价是元，则每千克香菇的进价是元， 由题意得：   ， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解，符合题意， 香菇的进价：（元）， 答：香菇每千克的进价是元，木耳每千克的进价是元； （2）解：设每千克香菇的利润是元，则每千克木耳的利润是元， 由题意得， ， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解，符合题意； 每千克木耳的利润是：（元）； 答：每千克香菇的利润是元，每千克木耳的利润是元； （3）解：设购进香菇千克，则购进木耳 千克， 由题意得：，   解得 ， ∴最多购进香菇千克． 学科网（北京）股份有限公司 $