专题06《解分式方程及分式方程的实际应用》-2024-2025学年苏科版数学八年级下册专题培优满分特训卷

2024-2025学年苏科版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题06《解分式方程及分式方程的实际应用》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.45（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 本卷系统解析分式方程的核心解法与多维应用场景，以28题百分制梯度训练深度覆盖苏科版教材重难点，题目精选自全国各地区名校期中期末及原创模拟题。 内容分层设计： 🔹基础速通：基础解法强化（去分母法、换元法）、增根原理剖析（最简公分母为零的根）、简单应用模型（工程问题、行程问题），直击“去分母漏乘项”“增根漏检”“等量关系建模错误”等高频易错点 🔹能力进阶：复杂分式方程变形（含多重分母嵌套）、跨学科综合应用（如物理电路电阻计算、化学浓度配比问题）、动态参数分析（含速度/效率变量联动），重点突破“分式-整式转化逻辑断裂”“多元条件交叉干扰”等思维瓶颈 🔹压轴突破：多背景联动建模（如经济成本优化、生态资源循环利用）、逆向思维训练（反推分式方程参数范围）、开放性设计题（根据实际问题自建分式方程），聚焦“实际场景数学化”“复杂条件分层拆解”等核心素养。 特训核心优势： ✅高频痛点突破：增根误判、应用题单位换算错误、换元法逻辑混淆等失分重灾区专项攻克； ✅名校真题驱动：融入经典压轴题型，紧扣苏科版教材“数学建模链”训练特色； ✅思维建模引擎：通过“一题三变”（改分母结构、增限制条件、换科技背景），强化分式方程与函数、不等式等章节的融合应用能力。 掌握“解法→建模→优化”的解题闭环，突破实际场景抽象与复杂参数分析瓶颈，显著提升数学建模与跨学科转化能力！ 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（2025·天津河西·一模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的的值和为（   ） A． B．0 C． D． 5．（本题2分）（2018九年级·全国·专题练习）如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．（本题2分）（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 7．（本题2分）（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（        ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（本题2分）（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题2分）（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 10．（本题2分）（22-23九年级上·重庆渝北·期末）若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 12．（本题2分）（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）若关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 13．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组至少有两个正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 14．（本题2分）（24-25九年级上·重庆江北·期末）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 15．（本题2分）（24-25九年级下·重庆九龙坡·开学考试）若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 16．（本题2分）（23-24九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 17．（本题2分）（22-23八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，为践行习总书记重要思想，开创生态文明新时代．安全村是生态文明建设示范村，已知安全村原有绿化植物紫薇、马兰、叶子花的数量之比，为加强生态文明建设，安全村决定增加紫薇、马兰、叶子花的种植量，经村委会测算，增加种植马兰的数量是增加种植这三种绿化植物之和的，此时，现有马兰的数量与现有的三种绿化植物总量之比为，而紫薇与叶子花的总量之比为，则安全村增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是： ． 18．（本题2分）（22-23八年级上·重庆大足·期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 19．（本题2分）（2021八年级下·全国·专题练习）从甲地到乙地有20站，并且任何相邻两站之间的距离相同．快车和慢车每小时从甲地各发一趟，快车整点发车，慢车发车时间晚半小时．快车每站车费5元，慢车每站车费2元，但快车的速度是慢车速度的2倍．快车从甲地到乙地共需2小时．上午九点半，一位只有70元钱的旅客在甲地乘车，若忽略车进出站上下乘客的时间，但旅客等车时间要计算在内，这位旅客从甲地到乙地所需的最短时间为 小时． 20．（本题2分）（2021九年级·全国·专题练习）有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（21-22八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 22．（本题6分）（2025·湖南湘潭·模拟预测）2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 23．（本题8分）（2025·河北沧州·一模）课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 作业题2 解分式方程：． 解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得    ③ 合并同类项，得    ④ 系数化为1，得    ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解：   ①     ②    ③ (1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 24．（本题8分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2024年2月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加25％． 今年A、B两种型号车的进货和销售价格如表： A型车 B型车 进货价格（元／辆） 销售价格（元／辆） 今年的销售价格 (1)求今年2月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）； (2)该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 25．（本题8分）（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1) 去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 26．（本题8分）（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 27．（本题8分）（21-22八年级下·河南郑州·期末）郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多元，用元购进足球和元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为元，每个排球售价定为元． (1)每个足球和排球的进价分别是多少？ (2)根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过元的资金购进足球和排球共个，其中足球数量不低于排球数量的，该商店有几种进货方案？ (3) “六一”期间，该商店开展促销活动，决定对每个足球售价优惠元，排球的售价不变．假定这个球在“六一”期间能够全部卖完，在的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这个球获得的总利润最大的进价方案． 28．（本题8分）（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题06《解分式方程及分式方程的实际应用》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.45（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 本卷系统解析分式方程的核心解法与多维应用场景，以28题百分制梯度训练深度覆盖苏科版教材重难点，题目精选自全国各地区名校期中期末及原创模拟题。 内容分层设计： 🔹基础速通：基础解法强化（去分母法、换元法）、增根原理剖析（最简公分母为零的根）、简单应用模型（工程问题、行程问题），直击“去分母漏乘项”“增根漏检”“等量关系建模错误”等高频易错点 🔹能力进阶：复杂分式方程变形（含多重分母嵌套）、跨学科综合应用（如物理电路电阻计算、化学浓度配比问题）、动态参数分析（含速度/效率变量联动），重点突破“分式-整式转化逻辑断裂”“多元条件交叉干扰”等思维瓶颈 🔹压轴突破：多背景联动建模（如经济成本优化、生态资源循环利用）、逆向思维训练（反推分式方程参数范围）、开放性设计题（根据实际问题自建分式方程），聚焦“实际场景数学化”“复杂条件分层拆解”等核心素养。 特训核心优势： ✅高频痛点突破：增根误判、应用题单位换算错误、换元法逻辑混淆等失分重灾区专项攻克； ✅名校真题驱动：融入经典压轴题型，紧扣苏科版教材“数学建模链”训练特色； ✅思维建模引擎：通过“一题三变”（改分母结构、增限制条件、换科技背景），强化分式方程与函数、不等式等章节的融合应用能力。 掌握“解法→建模→优化”的解题闭环，突破实际场景抽象与复杂参数分析瓶颈，显著提升数学建模与跨学科转化能力！ 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（2025·天津河西·一模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【规范解答】解：根据题意得： ， 故选：A． 2．（本题2分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了列分式方程，设边衬的宽度为米，根据题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【规范解答】解：设边衬的宽度为米，根据题意得： ， 故选：D． 3．（本题2分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，由题干中的新定义得出方程，解分式方程即可得解． 【规范解答】解：∵对于实数a、b，定义一种新运算“”为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴方程的解是， 故选：A． 4．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的的值和为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，先解不等式组结合不等式组有解且最多有4个整数解得出，再解分式方程得出，结合分式方程的解为整数．且得出或或或或，求和即可得解． 【规范解答】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为整数．且， ∴或或或或， ∴符合条件的的值和为， 故选：B． 5．（本题2分）（2018九年级·全国·专题练习）如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【规范解答】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 6．（本题2分）（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【思路点拨】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 7．（本题2分）（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（        ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有5个整数解，即可求得m的取值范围，再根据的解为整数，即可写出符合条件的m的值． 【规范解答】解：解不等式组得：， ∵不等式组至多有5个整数解， ， 解得， ∴整数的值为， 解方程得：， 又为整数， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 符合条件的整数的个数为， 故选：C． 【考点评析】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键． 8．（本题2分）（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程的解求出的范围，得到两个的范围必须同时满足，即求得可得到的整数的值． 【规范解答】解：解不等式：，得：， 解不等式：，得：， ∵不等式组的解集为， ∴，即：， 解关于的分式方程， 得， ∵分式方程的解为整数解， ∴为整数，且，，即，， ∴所有满足条件的整数的值有：2，，共2个， 故选：B． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由条件得到的取值范围． 9．（本题2分）（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【思路点拨】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【规范解答】解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故选：D． 10．（本题2分）（22-23九年级上·重庆渝北·期末）若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】首先解出不等式组的解集，然后根据三个整数解求出的取值范围；接着将分式方程解出来，求出的值，结合取值范围取值求解即可． 【规范解答】解得 ∵有且只有3个整数解， ∴，解得； ∵是整数， ∴ ∵解为奇数， ∴为奇数， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：D 【考点评析】此题考查不等式组和分式方程的解法，解题关键是分式方程的解要检验是否令分母为零了． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【规范解答】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 12．（本题2分）（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）若关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，先解不等式组，再根据解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解的情况，确定的值，即可得出答案． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴且为整数，， ∴的值为，，， ∵， ∴或5， ∴符合条件的整数的值的和为， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组至少有两个正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组及其整数解，解分式方程及其解的问题，熟练掌握相关解法是解题关键． 先解分式方程，根据其解的情况得的不等式，再解不等式组，根据解的情况得到关于的不等式，进而求出的取值范围，即可得出结论． 【规范解答】解：分式方程， 解得， 该分式方程的解为非负数， ，且， 解得：且， 解不等式组，得， 该不等式组至少有两个正整数解， ， 解得：， 且， 整数为，，， 所有整数的和为． 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25九年级上·重庆江北·期末）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式组等知识点，掌握解分式方程、解不等式组的方法成为解题的关键． 先解不等式组，再根据关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围，然后根据范围确定出a的取值，最后相加即可解答． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴，解得：， 解方程，得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，是偶数，解得且，a是偶数， ∴且，a是偶数， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：8． 15．（本题2分）（24-25九年级下·重庆九龙坡·开学考试）若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【规范解答】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 16．（本题2分）（23-24九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】8 【思路点拨】先求出不等式组的解集，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可． 【规范解答】解：， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组至少有4个整数解，即，0，1，2， ∴， 解得：， 根据分式方程解得：， ∵分式方程解为非负数， ∴且， 解得：且， ∴a的范围是且， 则整数解为，0，2，3，4, 整数a的值之和为． 故答案为：8． 【考点评析】此题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 17．（本题2分）（22-23八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，为践行习总书记重要思想，开创生态文明新时代．安全村是生态文明建设示范村，已知安全村原有绿化植物紫薇、马兰、叶子花的数量之比，为加强生态文明建设，安全村决定增加紫薇、马兰、叶子花的种植量，经村委会测算，增加种植马兰的数量是增加种植这三种绿化植物之和的，此时，现有马兰的数量与现有的三种绿化植物总量之比为，而紫薇与叶子花的总量之比为，则安全村增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是： ． 【答案】 【思路点拨】设紫薇、马兰、叶子花的原有数量分别为，，，增加数量分别为x，y，z，则紫薇、马兰、叶子花的现有数量分别为，，，因此增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是，根据所给数量关系列出方程组，通过等量代换用含h的代数式表示出x和，代入即可求解． 【规范解答】解：设紫薇、马兰、叶子花的原有数量分别为，，，增加数量分别为x，y，z， 则紫薇、马兰、叶子花的现有数量分别为，，， 由题意知：， 由得：，， 将代入，得，解得， 由③得：， 将代入，得， 解得， 因此， 即增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式方程、方程组的实际应用，计算量较大，解题的关键是根据题意列出方程组，通过等量代换求解． 18．（本题2分）（22-23八年级上·重庆大足·期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 【答案】/． 【思路点拨】：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为，设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为，此时语文时间为：，英语时间为：，依据语文英语时间的比值解得：，此时各科学习时间分别为语文：，数学：，英语：，设挤出的休息时间为，则第二次调整后语文时间为：，依据语文时间的比求出，则总学习时间为：，设此时他的数学时间为，则英语，依据数学英语时间和占总时间的，求出，从而求出数学时间以及和总时间的比值． 【规范解答】解：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为， 依题意： 他分给语文和英语的复习时间和为，剩余数学时间为， 设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为， 此时语文时间为：， 英语时间为：， 依题意得：， 解得：， 故第一次调整后语文时间为：， 数学时间为：， 英语时间为：， 设挤出的休息时间为， 则第二次调整后语文时间为：， 依题意得：， 解得， 则总学习时间为：， 设此时他的数学时间为，则英语， 依题意得， 解得：， 故数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为： ， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了分式的实际应用；解题的关键是用代数式准确表示出每次调整后各学科的时间，依据比例列方程求解． 19．（本题2分）（2021八年级下·全国·专题练习）从甲地到乙地有20站，并且任何相邻两站之间的距离相同．快车和慢车每小时从甲地各发一趟，快车整点发车，慢车发车时间晚半小时．快车每站车费5元，慢车每站车费2元，但快车的速度是慢车速度的2倍．快车从甲地到乙地共需2小时．上午九点半，一位只有70元钱的旅客在甲地乘车，若忽略车进出站上下乘客的时间，但旅客等车时间要计算在内，这位旅客从甲地到乙地所需的最短时间为 小时． 【答案】3 【思路点拨】从甲地到乙地，快车整点出发，慢车晚半个小时，旅客9：30分上车必须坐慢车， 从10：00点钟后整点发车可以看一个追及相遇问题， 计算出慢车与后面不同整点发出的快车相遇的站点，方可上快车才能节省时间， 同时还考虑旅客只带70元钱够车费，方能到达终点的时间最短． 【规范解答】解：∵从甲地到乙地有20站，快车共需2小时， ∴快车从上一站点到下一站点的时间为， 又∵快车的速度是慢车速度的2倍； ∴从甲地到乙地有20站，慢车共需4小时， ∴慢车从上一站点到下一站点的时间为． 由题意可知： ①当9：30旅客坐上慢车后，与第1辆10：00钟发出的快车相遇于第x个站点，则有： ， 解得：x＝5； ∴此刻10：00发出的快车行了小时，慢车行了1个小时； 即相遇时刻为10：30分． ②当10：30旅客坐慢车继续前行，需过小时，快车将在11：00发出追及慢车相遇于 第y个站点，则有： ， 解得：y＝10， ∴此刻11：00发出的快车行了1小时，慢车行了2个小时； 即相遇时刻为12：00分． ③当12：00旅客坐慢车继续前行，此刻甲地快车发出追及慢车相遇于第z个站点，则有： ， 解得：z＝20， ∴此刻相遇刚好在终点． 由上可知： 旅客要从慢车坐上快车在第①和第②次相遇时坐上快车节省时间． （Ⅰ）第①种情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为： （小时）； 又∵快车每站车费5元，慢车每站车费2元， ∴此种方式的总费用：2×5+15×5＝75（元）， 又∵旅客只有70元钱， ∴75＞70， 即此时相遇后坐快车钱不够，不合题意舍去． （Ⅱ）第②情况旅客坐慢车相遇快车后上快车，从甲地到乙地的总时间为： （小时）． 此种方式的总费用：5×10+2×10＝70（元） 即此种情况节约时间，旅客所带的钱够花． 故答案为3． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，理解题意列出方程，分类讨论是解题的关键． 20．（本题2分）（2021九年级·全国·专题练习）有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【思路点拨】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断． 【规范解答】解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确； ②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得 3﹣x﹣m＝x﹣2 ∴x＝， ∵原分式方程无解， ∴x＝2， ∴＝2， 解得m＝1， 故②正确； ③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得 （a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5， （x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5， ∴， 解得： 则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为， 故③正确． 综上，正确答案为：②③． 【考点评析】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（21-22八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【思路点拨】本题考查解分式方程； （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解题即可； （2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解题即可． 【规范解答】（1）解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验：是方程的增根， ∴原方程无解． 22．（本题6分）（2025·湖南湘潭·模拟预测）2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． (2)由两种购买方案 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台 【思路点拨】本题考查分式方程解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题． （1）设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，根据“12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答； （2）设购买型无人机台B款无人机模型n架，根据“用20000元购买无人机模型，决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍”列不等式，根据题意求出其正整数解，即可解答． 【规范解答】（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程得解且符合题意，， 答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． （2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得： ， 解得：，且为整数． 或5， 所以，由两种购买方案， 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台． 23．（本题8分）（2025·河北沧州·一模）课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 作业题2 解分式方程：． 解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得    ③ 合并同类项，得    ④ 系数化为1，得    ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解：   ①     ②    ③ (1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)作业题1：第①步；作业题2：第②步 (2)选作业题1，见解析 【思路点拨】本题主要考查分式的减法和解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）观察解题过程即可得出结论； （2）按照解分式方程的步骤和分式的减法法则进行计算，即可逐一解答． 【规范解答】（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步； （2）解：选作业题1：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解． 选作业题2： ． 24．（本题8分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2024年2月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加25％． 今年A、B两种型号车的进货和销售价格如表： A型车 B型车 进货价格（元／辆） 销售价格（元／辆） 今年的销售价格 (1)求今年2月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）； (2)该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】(1)今年2月份型车每辆销售价2000元． (2)进货方案是型车20辆，型车40辆． 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据单价总价数量，列出关于的分式方程；（2）根据总利润单辆利润购进数量，找出关于的函数关系式． （1）设去年2月份型车每辆销售价元，那么今年2月份型车每辆销售元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题． （2）设今年3月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元，先求出的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题． 【规范解答】（1）解：（1）设去年2月份型车每辆销售价元，那么今年2月份型车每辆销售元， 根据题意得， 解得：， 经检验，是方程的解． 时，． 答：今年2月份型车每辆销售价2000元． （2）设今年3月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元， 根据题意得， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，可以获得最大利润． 答：进货方案是型车20辆，型车40辆． 25．（本题8分）（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【思路点拨】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 26．（本题8分）（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【思路点拨】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 27．（本题8分）（21-22八年级下·河南郑州·期末）郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多元，用元购进足球和元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为元，每个排球售价定为元． (1)每个足球和排球的进价分别是多少？ (2)根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过元的资金购进足球和排球共个，其中足球数量不低于排球数量的，该商店有几种进货方案？ (3) “六一”期间，该商店开展促销活动，决定对每个足球售价优惠元，排球的售价不变．假定这个球在“六一”期间能够全部卖完，在的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这个球获得的总利润最大的进价方案． 【答案】(1)每个足球的进价分别是元，每个排球的进价分别是元 (2)该商店有种进货方案 (3)当时，购进足球个，排球个获得利润最大；当时，，，，，，获得利润一样大；当时，购进足球个，排球个获得利润最大． 【思路点拨】（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为（x+40）元，根据用4000元购进足球和2400元购进排球的数量相同列出方程，姐方程即可； （2）设商店购买足球a个，则购买排球（40-a）个，根据商店计划用不超过3000元的资金购进足球和排球共40个，其中足球数量不低于排球数量的，列不等式组，解不等式组即可； （3）根据总利润=足球利润+排球利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值及此时进货方案． 【规范解答】（1）解：（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为（x+40）元， 根据题意得： ， 解得：x=60， 经检验，x=60是原方程的解， ∴x+40=60+40=100（元）， 答：每个足球的进价分别是100元，每个排球的进价分别是60元； （2）解：设商店购买足球个，则购买排球个， 根据题意得：， 解得：， 是正整数， 的取值为，，，，，， 该商店有种进货方案； （3）解：设该商店售完个球所获得的利润为元， 由题意得：， 当，即时，随的增大而增大， 当时，最大， 此时购进足球个，排球个； 当，即时，， 此时的进货方案为：购进足球个，排球个；购进足球个，排球个；购进足球个，排球个；购进足球个，排球个；购进足球个，排球个；购进足球个，排球个． 当，即时，随的增大而减小， 当时，最大， 此时购进足球个，排球个． 综上，当时，购进足球个，排球个获得利润最大；当时，，，，，，获得利润一样大；当时，购进足球个，排球个获得利润最大． 【考点评析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式和函数关系式． 28．（本题8分）（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 【答案】(1)①90；②105 (2)①50；②；图像见解析 【思路点拨】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； （2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结果． 【规范解答】（1）解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=90， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度； ②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=105， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为105个单位长度； （2）解：①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， 解得x=50， 经检验：x=50是分式方程的根， 即：a=50； ②当时，点P(50，150)在线段OP上， ∴线段OP的表达式为y=3x， 当时，即当，此时，第二次相遇地点时机器人甲在到点B返回向点A时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ∴， 即函数解析式为， 函数图像如图： ． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$