海南海口市2026届高三5月自测题库数学试题

高三数学 范围：高考全部内容． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为 A．6 B．3 C．-3 D．-4 4．若非零向量，满足，且，的夹角为，则 A． B．2 C． D．1 5．在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为 A．1 B．2 C． D． 6．已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是 A． B． C． D. 7．已知，则 A． B． C． D． 8．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，其导函数为，则 A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 10．下列说法中正确的是 A．，，，，，的上四分位数是 B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 11．已知函数（，）图象的一条对称轴为直线：，一个对称中心为，且在区间上单调，则下列说法正确的是 A． B．若，则或5 C．若直线与点是距离最近的一组对称轴和对称中心，则在上的值域为 D．若在内恰有两个零点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，常数项为________． 13．在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点，点，在上，且关于轴对称，定点，若，且直线，的斜率之积为-3，则________． 14．已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求； （II）若外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 16．（15分） 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，点在上． （Ⅰ）求的方程； （II）过点且斜率存在的直线与交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围． 17．（15分） 如图，在五面体中，底面四边形是梯形，，，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （II）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知（）． （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； （II）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （III）若，是函数的两个零点，求证：． 19．（17分） 某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． （Ⅰ）求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望； （II）在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为． （i）求（）的值； （ii）求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学·答案 1.C2.D3.B4.B5.A6.C7.A8.D9.ABD10.AC11.BC 12.18013.414.8 15.解：(I)由asin B=V5(acos B--c),结合正弦定理得sin Asin B=V5((sin AcosB-sinC), 因为C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cosAsin B, 所以sin AsinB=-V3 cos Asin B A=27 而0<B<元，则sinB≠0，所以tanA=-V5,故A=3.(6分) (Ⅱ)由题意得，△ABC外接圆半径R=2V3, a=2R a=2Rsin A=43xsin 2元=6 由sinA,得 3 .(8分) 由余弦定理得a2=b2+c22 becosA,则36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc, 即bc≤12，当且仅当b=c=2V3时等号成立， 此时△ABC的周长为6+4W3.(13分) 16.解：(I)设C的半焦距为C, 42 a+京=, c√2 e=一= a2 a2=b2+c2, 由题意得 解得a=2V2,b=2, 4-1 所以C的方程为84.(4分) (I)易知℉(-2,0) 设直线I的方程为y=k(x+2),A(,乃)，B(x,) 2+上=， 84 由(y=k(x+2), 得1+2k2)r2+8kx+8k2-8=0.△=(8k2-41+2K2)82-8)=32(k2+1)>0 -8k2 8k2-8 +1+2k,1+22.《7分) 则 如图，因为原点O在以AB为直径的圆内， ∠AOB> 所 2,所以0A0B<0,(10分) 即x2+2<0 所以+k2(:+2)(x+2)<0 整理得1+2)+2k2(G+x)+42<0 1+2K+4k2<0 整理得2<2，解得-V2<k<V2, 即直线1斜率的取值范围为(-V2,V2).(15分) 17.证明：(I)因为N为AD的中点，所以ANIBC, 所以四边形ABCN为平行四边形，所以ABIICN. 在△DCN中，CW=AB=1, DN=TAD=2 2 ,LDNC=∠DAB=60°， 由余弦定理得CD=CW2+DN2-2CN. DN cos(60°=3， 所以CN2+CD2=DN2. 所以∠DCN=90°，即CN⊥CD,所以AB⊥CD.(5分) 又ED⊥AB,ED∩CD=D,ED,CDC平面CDE, 所以AB⊥平面CDE.(6分) 解：(I)由(I)知AB⊥平面CDE,CEC平面CDE, 所以AB⊥CE,所以CN⊥CE. 因为BCEF,所以四边形BCEF为平行四边形，所以CEFB. 因为FB⊥CD,所以CE⊥CD, 因为CN∩CD=C,CN,CDc平面ABCD, 所以CE⊥平面ABCD,所以CD,CN,CE两两互相垂直.(9分) 以C为原点，CD,CN,CE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面ABF的一个法向量i=(1,0,0).(10分) 因为C(0,0,0),N(01,0).F(-V31,2V3) 所以CN=(0,10),NF=(-V50,2V5).a1分) m.CN=0, y=0, 设平面CNF的法向量为m=(c,乃，2)，则m:派=0，即-V3x+2V32=0, 令x=2,则z=1,故m=(2,0,1).13分) 设平面ABF与平面CNF的夹角为B, c0s0=|m:=2_2V5 25 m万V55,即平面ABF与平面CNF夹角的余弦值为5·(15分) 18.解：(I)由f()=x-ae+l,得f'()=1-ae f(0)=1-a=b, 所以(f"(0)=1-a=-1, a=2, 解得b=-1.4分) +1 (Ⅱ)由f()=x-ae+l≤0恒成立，得“e*恒成立. 48()s1 g'm)=- e,则 e 当x<0时，8(x)>0,g()单调递增， 当x>0时，8()<0，()单调递减，(7分) 所以8(x)max=g(0)=1 所以a≥1，即实数a的取值范围为[山，+o).(9分) 证明：()令f)=x-ae+l=0,即e. 8(x)=+1 由（Ⅱ）知， e在(-0,0)上单调递增，在(0，+0)上单调递减， 又8(-l)=0,g(0)=1,x→-60时，g)→-0，x→+∞时，g()→0， 画出大致图象如下： y=d -1C 由图可知，-1<x<0<,0<a<1.(12分) 由f()=x-ae+1=0.f()=x2-ae+1=0 得x+l=ae0,+1=ae②，所 e+e=+3+2 a.(13分) +e>2++2>2 所以要证 a,即证a a. 即证+x>0.(14分) 今9=8)-g(-x)=+1_1-x exex,-l<x≤0， =+‘-e=小30 则 e* 所以0在1,0上单调递增，所以h()=8(:)-g(x)h0)=0, 即8()Kg(-x),又8()=g()=a. 所以8()<g(-),所以为>-，即+x>0, 、2 ei+e>二 所以 a.(17分) 19.解：(I)由题意得，X的所有可能取值为0,1,2， Px=0)=1x4+Lx37 所 Γ252510，(2分) 111 P(X=)=2×510,(3分) 121 PX=2)=2×55,(4分) 所以X的分布列为 X 0 1 3 > 1 1 P 10 10 5 (5分) X)=0x7+1x+2x月 11 所以 1010 252.(6分) ()(i)甲累积分数达到m分的前一次分数只能为(m-)分或(m-2)分， 1 1 又最后一次作答得1分的概率为10，得2分的概率为5， 1 P(m-l)+-P(m-2) 所以m≥3时， P(m)=10 s分) m-ra-=ra-+m-2y=引w--m-2习 所以 5 2P-Pm-月=22Pm-)-Pm-2刃 2P(m)-P(m-1)2 所以2P(m-l)-P(m-2)5.(10分) 1,1121 (i)由题意得， Pw=10.P2)-5+0x1010. P(m+1)-P(m)P(2)-P()= 2 所以由(i)可知数列( 2 )是以 25为首项，5为公比的等比数列， 所以 ①(11分) 电P例=0P(m-1+5Pm-2) +--m-+写a-2--号Pa-习 得 5 Pm++2p而PO+P0-d为直，2为公的比数 所以数列· 是以 所以 ② aw品n-4-÷ 所以 m-+) (14分) 由于P()<P(2),P(2)>P(2t+),t∈N,所以要使P(m)取得最大值，m必为偶数， 此时 m-+ 。g 随m(m取正偶数)的增大而减小， 所以当m=2时，P(m)取得最大值， 21 故最大值为100.(17分)