精品解析：陕西西安市第三中学2025-2026学年第二学期七年级期中数学试题

七年级数学 （考试时间：120分钟 分值120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（   ） A. B.   C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可． 【详解】A、∵和不是同类项，∴不能加减，故此答案错误，不符合题意； B、∵，∴此答案错误，不符合题意； C、∵，∴此答案错误，不符合题意； D、∵，∴此答案正确，符合题意． 故选D 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2. 澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最大身长只有0.00000015米，甚至比已知的最小细菌还要小，将0.00000015用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值就是多少．当原数的绝对值＞1时，为正数；当原数的绝对值＜1时，为负数． 【详解】解：将数字0.00000015用科学记数法表示成的形式时，，小数点移动7位，因为原数的绝对值小于1，为负数，所以． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数．正确确定的值，注意小数点移动的位数及的正负． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 在一个装有个红球的口袋中摸出个球，正好是红球 C. 某彩票中奖率是，买张中奖了 D. 两个奇数相乘结果为偶数 【答案】B 【解析】 【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断选项，选出符合定义的结果，必然事件是一定条件下必然会发生的事件． 【详解】解：A、打开电视机不一定正在播放动画片，可能播放其他节目，属于随机事件，不符合要求； B、∵口袋中只有个红球，没有其他颜色的球， ∴摸出任意个球一定是红球，该事件一定会发生，属于必然事件，符合要求； C、中奖率为，买张彩票可能中奖也可能不中奖，属于随机事件，不符合要求； D、两个奇数相乘的结果一定是奇数，不可能是偶数，属于不可能事件，不符合要求． 4. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零指数幂的定义，底数不为0即可求解； 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 5. 如图，直线与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角的性质，利用对顶角、邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∴， 故选C 6. 如图，下列选项中，能判断的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定方法；根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ， ，故该选项不符合题意； C. 由，不能得出两直线平行，故该选项不符合题意； D. ， ，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值． 【详解】根据题意得， ∴当时，， 即， 解得； 当时， 即， 解得； 综上所述，的值为3或． 故选：D． 8. 如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；根据即可判断①是否正确；由可判断③正确． 【详解】解：如图，过E作于F， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∵， ∴，故①正确． ∵， ∴，故③正确． 综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 _____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：这种方法是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 10. 若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：根据题意，由非负数的性质得，， 解得：，， ①当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为 ； ②当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为 ． 11. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 12. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有__________个． 【答案】9600 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握用频率估计概率． 用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【详解】解：根据表格可知，合格头盔的频率逐渐稳定在， 估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有（个）， 故答案为：9600． 13. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设大正方形的面积为1，由图可知，小正方形的面积为大正方形面积的，小等腰直角三角形的面积为大正方形面积的， ∴阴影部分的面积为大正方形面积的：. 飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 14. 如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出． 先过作于，根据，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为 2 ． 【详解】解：∵点是中点，， ∴， 如图所示，过作于，则， ∵， ， ， ， ， ∴当时，， 即点与点重合，此时， ∴线段的最小值为 2 ． 故答案为：2． 三、解答题（本题共11小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再合并即可得到结果； （2）分别根据同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方计算各项，再合并同类项即可得到结果． 【小问1详解】 解：  ． 【小问2详解】 解：      ． 16. 运用乘法公式计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将拆分为整数与小数和的形式，利用完全平方公式计算即可； （2）先对原式变形构造平方差公式，再用完全平方公式展开化简即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键． 18. 如图所示，已知，和线段a．只用直尺和圆规，求作，使，，． （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，熟练掌握作一个角等于已知角的方法，是解题的关键．先作，再作，然后以点B为角的顶点，为角的一条边，作，与交于点C，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 19. 如图，分别是的高和角平分线，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由的度数利用三角形内角和定理可求出的度数，根据平分可得出的度数，在中可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内角和定理求出及的度数是解题的关键． 20. 如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF，进而可得∠E=∠2，由CE//DF可得∠F=∠2，最后根据等量代换即可证明结论. 【详解】∵， ∴， ∴. ∵CE//DF， ∴. ∴. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键. 21. 如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】（1）； （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【小问1详解】 解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的 概率是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：游戏公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国， 8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人， 所以小明获胜的概率为， 小华获胜的概率为， 小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏公平． 22. 小明利用一根长的竹竿来测量垂直于地面的路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竹竿在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据垂直的定义得到，再利用三角形内角和定理证明，即可证明，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴路灯的高度为． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 23. 如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质得到角的关系是解题的关键． 如图所示，分别过点作，，得到，，，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，AD是的中线，点E在BC的延长线上，，试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长至，使得，证明（SAS），进而证明，证明（SAS）即可得证． 【详解】证明：如图，延长至，使得， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ， ， , 在与中， ， ∴（SAS）， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，三角形的外角的性质，倍长中线是解题的关键． 25. 【问题提出】在一次课上，老师出了这样一道题：在四边形中，，．，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______ ． 【探索延伸】在四边形中，如图，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图，台风中心位于小岛处北偏西的处，台风中心风力级，每远离台风中心千米，风力就会减弱一级，某货轮位于小岛南偏东的处，并且台风中心和货轮到小岛的距离相等，如果风中心向正东方向以海里小时的速度前进，同时该货轮沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，它们分别到达，处，且，问此时该货轮受到台风影响的最大风力有几级？ 【答案】【问题提出】；【探索延伸】成立，理由见解析；【结论应用】2.74级 【解析】 【分析】问题提出：延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得出结论； 探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【详解】解：问题提出：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ； 结论运用：解：如图，延长、交于点，连接， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件， ，仍然成立， 海里， 千米千米， 问此时该货轮受到台风影响的最大风力级数为： 级， 答：此时该货轮受到台风影响的最大风力有级． 【点睛】本题考查了四边形综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，又利用了等量代换；判定，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 （考试时间：120分钟 分值120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（   ） A. B.   C. D. 2. 澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最大身长只有0.00000015米，甚至比已知的最小细菌还要小，将0.00000015用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 在一个装有个红球的口袋中摸出个球，正好是红球 C. 某彩票中奖率是，买张中奖了 D. 两个奇数相乘结果为偶数 4. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列选项中，能判断的是（　） A. B. C. D. 7. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 8. 如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 _____． 10. 若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 11. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 12. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有__________个． 13. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为______． 14. 如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本题共11小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 运用乘法公式计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图所示，已知，和线段a．只用直尺和圆规，求作，使，，． （不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，分别是的高和角平分线，且，求的度数． 20. 如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证： 21. 如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 22. 小明利用一根长的竹竿来测量垂直于地面的路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竹竿在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 23. 如图，已知，，，，求的度数． 24. 如图，AD是的中线，点E在BC的延长线上，，试说明：． 25. 【问题提出】在一次课上，老师出了这样一道题：在四边形中，，．，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______ ． 【探索延伸】在四边形中，如图，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图，台风中心位于小岛处北偏西的处，台风中心风力级，每远离台风中心千米，风力就会减弱一级，某货轮位于小岛南偏东的处，并且台风中心和货轮到小岛的距离相等，如果风中心向正东方向以海里小时的速度前进，同时该货轮沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，它们分别到达，处，且，问此时该货轮受到台风影响的最大风力有几级？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $