江西吉安市五所县二中2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷

**基本信息** 高一5月联考数学试卷，聚焦三角函数、向量等核心知识，通过筒车盛水高度等实际情境题，考查数学建模与运算能力，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分必要条件、扇形面积、函数奇偶性|基础概念辨析，如第2题扇形面积最值| |多选题|3/18|向量基底、三角形内角性质|批判性思维，如第10题锐角三角形结论判断| |填空题|3/15|向量模、三角恒等变换|双空设计，如第14题向量数量积与最值| |解答题|5/77|三角函数模型、解三角形与向量综合|实际情境应用，如第18题筒车高度函数及水下时间计算|

江西吉安市五所县二中2023-2024学年下学期高一5月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 3．已知定义在上的函数满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知函数，则（    ） A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数 5．已知sin (－α)＝cos (＋α)，则cos 2α＝ (　　) A．1　 B．－1　 C．　 D．0 6．在中，，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 7．如图,中,点是线段的中点,是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 8．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．向量，可以作为平面向量的一组基底 B．若非零向量与满足，则为等腰三角形 C．已知点，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 D．中，D为的中点，则 10．若、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的取值范围 C．的取值范围是 D． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．平面向量与的夹角为，，，则__________. 13．已知，，则__________ 14．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数满足：①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2．(1)求的解析式及其单调递增区间；(2)若，求满足的的值． 16．已知函数.(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象；(2)求不等式的解集. 0 π x 1 17．在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 (1)求的值； (2)求的最小值. 18．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (2) 若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 19.（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；（2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 联考数学答案与解析 一、单选题 1．B 若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”；若，，则，可得，则，所以当时，“”可以推出.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选B. 2．C 设扇形的半径为,弧长为,则．, 当且仅当时取等号，故最大值为25，此时，．故扇形圆心角的弧度数．所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2.故选：C 3．B 由得，， 所以， 所以，因此函数的周期为6.所以. 故选：B. 4．B 对于选项A，，设，，，其中，故不为奇函数,为偶函数,知A错误,B正确.又，其中，设，则，故， 故既不是奇函数，也不是偶函数，知选项CD错误.故选B． 5.D因为sin (－α)＝cos (＋α)，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即(－)sin α＝－(－)cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0，故选D． 6．A 由余弦定理得，由得，由正弦定理得的外接圆半径；故选A． 7．A 因为为线段的中点，， 因为点是线段上靠近的三等分点，则， 因此，.故选A． 8．B 由题可知，向量，满足，，，所以 ，则在上的投影向量为.故选B． 二、多选题 9．BD 对于选项A，由向量，，得，与共线，不能作为平面向量的一组基底，知A错误；对于选项B，在中，由，得，则，因此，，，为等腰三角形，知B正确；对于选项C，由点P是线段AB的三等分点，得或，而，则或，即点P的坐标可以为或，知C错误；对于选项D，在中，D为的中点，则,知D正确.故选BD. 10．ABD 因为,,是锐角三角形的内角，则，且，对于A，因为，知A正确， 对于B，因为，知B正确，对于C，因为，，则,又在区间上单调递增，所以，知C错误；对于D，因为， 又，，则， 所以，即，知D正确.综上,故选ABD. 11．AC 将函数的图象关于轴对称，并将轴下方部分的图象翻折到轴上方，即可得到的图象，因的 最小正周期，故在上有个周期长，设，解得，故的图象的对称轴方程为， 由此作出函数的图象，如图：由图知，的零点个数问题，可转化为的图象与直线的交点个数问题，对于选项A，由有个零点，可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点，由图象可知，当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，符合题意；知A正确；对于选项B，由题意可知，，则，即，则，，易知函数在上单调递增，故的取值范围为，知B错误；对于选项C，当时，或，解得或，从图中可知，由选项A中的分析可知，故，从图可知关于直线对称，故，所以,则有,知C正确；对于选项D,与C项同理可得,,,,,,,因,则 ，知D错误.故选AC. 三、填空题 12． 平面向量与的夹角为，，，，,,.故填. 13． 由题知 ①， ②， 得， 即， 所以，所以.故填. 14．; 建系如图所示,因为是边长为2的等边三角形，，.. 设，. .，，.. 当时，取得最小值，最小值为.故两个空分别填;. 四、解答题 15．(1)，递增区间为；(2). 解:（1）由题意知，最大值，周期，∴，∴． 将点代入得：，则，又，故，故， 因为，所以,所以的单调递增区间为. （2）因为，所以，且. 则，所以，所以. 16．(1)答案见解析；(2). 解：（1）先列表格如下： 0 π x 0 0 1 0 再描点用光滑曲线连线成图，如右上图所示. （2）由得，所以，解得，所以不等式 的解集为. 17．(1)；(2). 解：（1）由，则，所以，故，则，故，由，则； 综上知. （2）由，且是上的点，所以，且，所以，则， 当且仅当，且，即时取等号，所以的最小值. 18．(1),；(2)100秒；(3)20. 解：（1）由图可知，的最大值为，的最小值为，则，,因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以，当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. （2）由（1）得，令，则，得，则，解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. （3）不妨设，由题意得， 故;①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为,综上，的最小值为20. 19．（1）；（2）. 解：(1)由题意， 又，由题意，解得， 又当时，即时，与共线；所以与的夹角为钝角时，知且；故实数的取值范围为. (2)由题意：由于为圆心，得，所以， 则，由，，所以，即,当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $