圆锥曲线：定点问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线定点问题核心考点，涵盖直线过定点、动弦所在直线过定点、曲线过定点等考查类型，以基本概念、常用公式与结论为基础，构建“知识点解析—解题原理—通用思路—细分题型”的逻辑体系。通过考点梳理明确命题方向，方法指导（参数法、特殊值探点法）构建解题框架，真题训练（例题、变式、实战题）强化应用能力，帮助学生系统突破定点问题难点。 资料突出解题方法的实用性与创新性，采用“特殊值探点预判—一般性证明验证”的探究式教学活动，培养学生数学思维中的推理意识和创新意识。通过参数分离、恒成立条件应用等关键策略训练，结合易错提醒（斜率不存在、判别式讨论）保障复习效果。分层设计例题与变式题，贴合高考难度，助力学生提升数学语言表达与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

圆锥曲线：定点问题复习讲义 圆锥曲线：定点问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基本概念 动直线、动曲线在变化过程中，恒经过某一固定点，该点即为定点；题型多为直线过定点、曲线过定点。 1. 常用公式与结论 · 直线斜截式：、点斜式；含参数直线是考查主流。 · 圆锥曲线标准方程、联立方程、韦达定理（核心工具）。 · 恒成立结论：若含参数的等式 对任意成立，则 。 1. 常见类型 直线过定点、动弦所在直线过定点、满足几何条件的动点轨迹过定点。 二、解题原理 将动态参数（斜率、截距、坐标参数）代入方程，利用参数任意性、等式恒成立消去参数，找到与参数无关的固定坐标；或通过特殊位置先猜定点，再一般情况证明。 三、通用解题思路（两种主流方法） 方法一：参数法（常规通法，通用） 1. 设参：设动直线方程（常设，斜率不存在单独讨论）、设交点坐标。 1. 联立：直线与圆锥曲线方程联立，整理为一元二次方程。 1. 韦达代换：写出根与系数关系，结合题干条件（垂直、共线、向量、角度、面积等），建立参数的关系式。 1. 分离参数：把直线方程整理为参数×式子 + 常数式 = 0 的形式。 1. 恒成立求解：令参数的系数、常数项同时为0，解方程组得到定点坐标。 1. 补全讨论：验证斜率不存在的特殊直线是否也过该定点。 方法二：特殊值探点 + 一般性证明（小题/速解首选） 1. 取特殊状态：选取两组特殊参数（如直线斜率为0、斜率不存在、特殊点），求出对应两条直线。 1. 求交点：计算两条特殊直线的交点，预判定点。 1. 一般证明：证明任意状态下，动直线恒经过该预判点。 四、细分题型思路补充 1. 直线过定点 重点梳理等量关系，化简直线方程，利用参数任意性求定点。 1. 动弦/两点连线过定点 设曲线上两点，写出两点式方程，结合韦达消元，分离参数找定点。 1. 曲线过定点 将曲线方程按参数整理，令参数系数为0，解方程组得定点。 五、易错提醒 1. 遗漏直线斜率不存在的情况，导致答案不完整； 1. 联立方程后忽略判别式，参数范围出错； 1. 整理方程时参数分离不彻底，无法利用恒成立条件列式。 例题分析 例1．（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)直线过定点，证明见解析 【分析】（1）由抛物线方程和双曲线方程分别可焦点坐标，进而可得，，再由椭圆的性质可得，因此可得椭圆方程； （2）设交点坐标，再联立直线的方程与椭圆的方程消去，由根与系数关系及可得，进而可得直线过定点. 【详解】（1）由抛物线，得焦点， 因为椭圆过抛物线的焦点，所以. 由双曲线，得焦点， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以. 由椭圆的性质，， ∴椭圆的方程为. （2）设，， 联立，消去得， ， ，， 由已知， 所以， 所以， 则， ， ，解得，满足， ∴直线的方程为，故直线恒过定点 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得； （2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证； （ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以． （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，所以 ，，， 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点． （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，由，得，解得或， 即，或，， 故，又，点到直线MN的距离为， 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为． 例3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知椭圆：的右焦点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)记O为坐标原点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D. （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由椭圆的焦点及短轴列式计算求解得出从而可得的方程；    （2）（i）将与直线方程联立可得，直线，令，结合韦达定理求证即可； （ii）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）依题意可知，解得，椭圆的标准方程为. （2）（i）设，依题意， 得， ， 所以，即得直线的方程为：①. 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以 得，所以直线恒过定点. （ii）由（i）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得 ， 设， 则. 因为，所以 ， 所以，当且仅当时取面积的最大值.    例4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的两点，直线与的斜率之积为1． ①求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标； ②若为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点坐标为；② 【分析】（1）根据离心率及焦点得到椭圆方程即可； （2）①设，，由斜率之积为1可得，分直线斜率不存在，当直线斜率存在时，设直线，联立椭圆得到，，进而得到，再代入解得即可证明； ②由①可得，令，结合函数单调性得到范围即可． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意可得，，， 解得，， 即所求椭圆的标准方程为； （2）①证明：设，， 由，直线与的斜率之积为1， 可得， 即有． 当直线斜率不存在时，则， 即，又， 解得，此时直线斜率不存在，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线， 代入椭圆方程，可得， 可得，， ， ， 则， 化为， 解得（舍去）， 则直线的方程为，过定点， 综上，直线恒过定点，该定点坐标为． ②由①可得， 由， 可得， 解得． 令，则，且， 即有． 由，可得， 则的取值范围是． 变式训练 变式1．（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，． （i）证明：直线过定点； （ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据条件，利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义，即可求解； （2）（i）设直线的方程为，根据条件可得，即可求解； （ii）根据条件，得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 且，可知圆在圆内部， 设动圆的半径为， 由题意可得，，则， 可知动圆圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，， 所以动圆圆心的轨迹的方程为． （2）（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立方程，消去整理得， 则，，． 由正弦定理得，，， 又，，所以， 则，所以， 所以，得到， 所以，即， 则，整理得． 所以直线的方程为，故直线过定点. （ii）不妨设，，则，， ， 因为，， 所以， 又，所以， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，过作， 则，且 则， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值，此时， 又，故向量，的夹角的最大值为． 变式2．（2026·湖北武汉·三模）已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分线性质得，结合Q在直线PE上，分Q在线段延长线和线段上两种情况，推导为定值，对照双曲线定义确定曲线类型，再计算参数得轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线方程，与曲线Γ的方程联立，得韦达定理关系；根据直线，的斜率之和为0，列出方程求得直线中参数，确定定点，证明结论；（ⅱ）设直线的方程，与曲线Γ联立，利用韦达定理可求出A点坐标，同理求B点坐标；结合直线斜率为2的条件，得到坐标满足的方程，即可得直线的方程，从而证明结论. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 线段的垂直平分线与直线交于点，故， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 所以， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线，设其方程为， 则，则， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）设直线， 联立，得， 则，， ， 所以 ，解得， 故直线l的方程为，即直线过定点； （ii）设，则直线的方程为，其中， 联立，可得， 则，将以及可得： ， 则，所以，则， 同理， 设直线，代入点A的坐标得， 整理得，同理可得， 所以可知直线的方程为，即， 令，解得， 即直线过定点. 变式3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左顶点为，右焦点为，且． (1)求的方程； (2)直线与有且只有一个公共点，且与直线交于点． （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）若直线与交于点，求当的面积最小时，点的横坐标． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）列出三者的关系，求解出，从而得到椭圆方程； （2） （i）先证明，从而得到以线段为直径的圆过点． （ii）先求出的面积的表达式函数，再求其最小值. 【详解】（1）由题意知 ，解得． 所以，所以的方程为 （2）（i）由题意知的斜率存在，设，联立， 得， 因为与有且只有一个公共点，所以，得， 且 则，所以， 由，得， 由（1）得，则， 所以， 所以以线段为直径的圆过点． （ii）法一：由（i）得，则，所以． 因为，所以． 令，得，则． 根据椭圆的对称性，不妨设点在轴的上方，即， 所以 所以． 令，．则． 令，得， 则当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取最小值， 所以当的面积最小时，点的横坐标为． 法二：因为、， 所以直线 ， 令，得，所以 ， 因为，所以 ． 由，得 ， ， 则 由，得． 令，则 令，得，所以当时， 单调递减； 当时，，单调递增， 故当时，取最小值，此时， 所以当的面积最小值时，点的横坐标为． 变式4．（25-26高二下·四川南充·期中）如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程： (2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点． （ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标： （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析，定点坐标为（ⅱ） 【分析】（1）利用椭圆离心率公式及的关系式，求解参数后得到椭圆标准方程. （2）（ⅰ）先排除特殊直线情况，设直线的横截式，联立椭圆方程，借助向量垂直的数量积为结合韦达定理求解参数，确定直线所过定点. （ⅱ）通过韦达定理表示纵坐标差值，构建三角形面积表达式，换元后利用对勾函数单调性求解面积最大值. 【详解】（1）由已知可得：，解得：，， 所以，椭圆的方程为． （2）（ⅰ）易知点，设点、，则， 若直线轴，则，， 所以，，不合乎题意， 设的直线方程为， 联立，整理得， ， 由韦达定理可得，． 因为，且，， 所以， ，， ， ， 整理得，解得或（舍去）， 所以，直线的方程为，故恒过. （ⅱ）， 则． 令，则， 由对勾函数单调性知，函数在上为增函数， 则． 所以，当且仅当时，即时等号成立，此时最大值为． 实战演练 1．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左焦点为，（为坐标原点）为等腰三角形，且点到直线的距离为设点为上的动点（点不在直线上），点关于直线的对称点为点，直线交于点（点在直线的异侧）． (1)求的方程； (2)设直线的斜率均存在且分别为，， （ⅰ）判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （ⅱ）证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）为定值1；（ⅱ）证明见解析， 【分析】（1）由题意得到，再结合点到直线的距离公式求解即可； （2）（ⅰ）设点的坐标为，由对称性得到坐标，再结合斜率公式即可求解；（ⅱ）设，联立椭圆方程，由（ⅰ），结合韦达定理代入，得到关系式，进而可求解. 【详解】（1）因为为等腰三角形，所以． 故直线的方程为． 由点到直线的距离为，得，解得． 所以， 所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1），设点的坐标为， 则中点坐标，直线的方程为． 由题意得，解得 即． 则可得，． 所以． （ⅱ）由题意直线斜率不为0， 设直线的方程为，与联立可得． 由（ⅰ）知点的坐标为，设点的坐标为， 根据根与系数的关系可得，①． 由（ⅰ）知，则，即可得， 根据直线方程可得， 化简可得， 将①代入可得，则可得或， 将其代入直线可得直线恒过定点或定点． 因为点在直线上，则点，在直线的同侧，与条件矛盾，舍去． 所以直线恒过定点． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② 过定点 . 【分析】（1）先由焦点得，建立；再利用轴，将点横坐标代入椭圆，联立方程组，求出的解，得到椭圆方程； （2）①设直线，联立椭圆得一元二次方程，由韦达定理写出、；将面积转化为，换元后用均值不等式求最值，得最大值即可； ②由得，写出直线方程，令求；代入并结合韦达定理化简，消去参数后得，即可得到直线的定点. 【详解】（1）因为椭圆，焦点， ， 由 轴，点的横坐标为，代入椭圆方程：，， 联立方程组：，解得， ∴椭圆的方程为：. （2）由（1）知点 ， 为直线 ，由 ，得 ， 设直线 的方程为，， 则联立：， 消元得：， ，所以 由韦达定理： ①， 则， 令，则，所以， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， ②直线 过点 和，方程为： 令，得：， 将 代入：， 由韦达定理得 ， 代入化简：， ∴直线恒过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：定点问题复习讲义 圆锥曲线：定点问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基本概念 动直线、动曲线在变化过程中，恒经过某一固定点，该点即为定点；题型多为直线过定点、曲线过定点。 1. 常用公式与结论 · 直线斜截式：、点斜式；含参数直线是考查主流。 · 圆锥曲线标准方程、联立方程、韦达定理（核心工具）。 · 恒成立结论：若含参数的等式 对任意成立，则 。 1. 常见类型 直线过定点、动弦所在直线过定点、满足几何条件的动点轨迹过定点。 二、解题原理 将动态参数（斜率、截距、坐标参数）代入方程，利用参数任意性、等式恒成立消去参数，找到与参数无关的固定坐标；或通过特殊位置先猜定点，再一般情况证明。 三、通用解题思路（两种主流方法） 方法一：参数法（常规通法，通用） 1. 设参：设动直线方程（常设，斜率不存在单独讨论）、设交点坐标。 1. 联立：直线与圆锥曲线方程联立，整理为一元二次方程。 1. 韦达代换：写出根与系数关系，结合题干条件（垂直、共线、向量、角度、面积等），建立参数的关系式。 1. 分离参数：把直线方程整理为参数×式子 + 常数式 = 0 的形式。 1. 恒成立求解：令参数的系数、常数项同时为0，解方程组得到定点坐标。 1. 补全讨论：验证斜率不存在的特殊直线是否也过该定点。 方法二：特殊值探点 + 一般性证明（小题/速解首选） 1. 取特殊状态：选取两组特殊参数（如直线斜率为0、斜率不存在、特殊点），求出对应两条直线。 1. 求交点：计算两条特殊直线的交点，预判定点。 1. 一般证明：证明任意状态下，动直线恒经过该预判点。 四、细分题型思路补充 1. 直线过定点 重点梳理等量关系，化简直线方程，利用参数任意性求定点。 1. 动弦/两点连线过定点 设曲线上两点，写出两点式方程，结合韦达消元，分离参数找定点。 1. 曲线过定点 将曲线方程按参数整理，令参数系数为0，解方程组得定点。 五、易错提醒 1. 遗漏直线斜率不存在的情况，导致答案不完整； 1. 联立方程后忽略判别式，参数范围出错； 1. 整理方程时参数分离不彻底，无法利用恒成立条件列式。 例题分析 例1．（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 例3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知椭圆：的右焦点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)记O为坐标原点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D. （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. 例4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的两点，直线与的斜率之积为1． ①求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标； ②若为坐标原点，求的取值范围． 变式训练 变式1．（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，． （i）证明：直线过定点； （ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值． 变式2．（2026·湖北武汉·三模）已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 变式3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左顶点为，右焦点为，且． (1)求的方程； (2)直线与有且只有一个公共点，且与直线交于点． （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）若直线与交于点，求当的面积最小时，点的横坐标． 变式4．（25-26高二下·四川南充·期中）如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程： (2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点． （ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标： （ⅱ）求面积的最大值． 实战演练 1．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左焦点为，（为坐标原点）为等腰三角形，且点到直线的距离为设点为上的动点（点不在直线上），点关于直线的对称点为点，直线交于点（点在直线的异侧）． (1)求的方程； (2)设直线的斜率均存在且分别为，， （ⅰ）判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （ⅱ）证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $