圆锥曲线：椭圆的轨迹方程问题、焦点三角形问题、离心率问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆轨迹方程、焦点三角形、离心率三大核心考点，按定义、标准方程、解题方法的逻辑层次梳理知识点，通过考点解析、解题思路指导、真题例题与变式训练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与数学语言的融合，如用定义法推导轨迹方程培养抽象能力，焦点三角形结合余弦定理与面积公式训练推理意识，离心率问题转化齐次式强化运算能力。设置分层练习，确保复习效率，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 圆锥曲线：椭圆的轨迹方程问题、焦点三角形问题、离心率问题复习讲义 考点目录 椭圆的轨迹方程问题 椭圆的焦点三角形问题 椭圆的离心率问题 知识点解析 考点一 椭圆的轨迹方程问题 知识点 1. 定义：平面内动点到两定点距离和为定值 1. 标准方程：， 1. 常用方法：定义法、直译法、相关点法、参数法 解题原理 依据几何约束条件，转化为坐标等式，化简得到动点轨迹方程 解题思路 1. 设动点坐标 1. 梳理距离、角度、线段等量关系 1. 按对应方法列式化简 1. 剔除不符合范围的点，确定最终方程 考点二 椭圆的焦点三角形问题 知识点 1. 焦点三角形：椭圆上一点与两焦点围成的三角形 1. 核心关系： 1. 常用公式：余弦定理、三角形面积公式 1. 性质：顶角、边长、面积存在取值范围 解题原理 结合椭圆定义锁定边长和，搭配余弦定理、面积公式，求解边角、面积、最值 解题思路 1. 标注焦点、动点，写出 1. 已知夹角用余弦定理建立边长关系式 1. 套用面积公式计算面积 1. 结合不等式求角度、面积取值与最值 考点三 椭圆的离心率问题 知识点 1. 离心率公式：，范围 1. 关系式：，可转化 1. 几何意义：反映椭圆扁平程度，越大椭圆越扁 解题原理 把题目边角、线段条件转化为齐次等式或不等式，换算求解离心率数值或范围 解题思路 1. 挖掘题干几何条件，建立关系式 1. 统一化为齐次式，两边同除 1. 代入换元求解 1. 结合取值范围约束，确定离心率最终结果 考点一 椭圆的轨迹方程问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 考点二 椭圆的焦点三角形问题 【例题分析】 例1．（2026·云南·模拟预测·多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（    ） A．C的短轴长为 B．四边形的周长为8 C．的最小值为 D． 例3．（2026·吉林·三模·多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【变式训练】 变式1．（2026·福建莆田·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．点为上的动点，且的取值范围为，则（   ） A． B．的周长为8 C．存在点，使得 D．当时，的内心坐标为 变式2．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（    ） A．的周长为 B．若，则的最小值为 C．满足是直角三角形的点有 8 个 D．的最大值为 变式3．（2026·四川达州·二模·多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 考点三 椭圆的离心率问题 【例题分析】 例1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·重庆·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 例4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与交于，两点，其中在上，且，若，则的离心率为__________． 【变式训练】 变式1．（2026·安徽·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆：（）与双曲线：的离心率之积为1，若点在上，则的长轴长的取值范围是______． 变式4．（2026·湖北武汉·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，若直线和的斜率分别为和，则椭圆的离心率为_________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 圆锥曲线：椭圆的轨迹方程问题、焦点三角形问题、离心率问题复习讲义 考点目录 椭圆的轨迹方程问题 椭圆的焦点三角形问题 椭圆的离心率问题 知识点解析 考点一 椭圆的轨迹方程问题 知识点 1. 定义：平面内动点到两定点距离和为定值 1. 标准方程：， 1. 常用方法：定义法、直译法、相关点法、参数法 解题原理 依据几何约束条件，转化为坐标等式，化简得到动点轨迹方程 解题思路 1. 设动点坐标 1. 梳理距离、角度、线段等量关系 1. 按对应方法列式化简 1. 剔除不符合范围的点，确定最终方程 考点二 椭圆的焦点三角形问题 知识点 1. 焦点三角形：椭圆上一点与两焦点围成的三角形 1. 核心关系： 1. 常用公式：余弦定理、三角形面积公式 1. 性质：顶角、边长、面积存在取值范围 解题原理 结合椭圆定义锁定边长和，搭配余弦定理、面积公式，求解边角、面积、最值 解题思路 1. 标注焦点、动点，写出 1. 已知夹角用余弦定理建立边长关系式 1. 套用面积公式计算面积 1. 结合不等式求角度、面积取值与最值 考点三 椭圆的离心率问题 知识点 1. 离心率公式：，范围 1. 关系式：，可转化 1. 几何意义：反映椭圆扁平程度，越大椭圆越扁 解题原理 把题目边角、线段条件转化为齐次等式或不等式，换算求解离心率数值或范围 解题思路 1. 挖掘题干几何条件，建立关系式 1. 统一化为齐次式，两边同除 1. 代入换元求解 1. 结合取值范围约束，确定离心率最终结果 考点一 椭圆的轨迹方程问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标后，列方程组求得得椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为， 所以，又，则， 所以椭圆方程为. 例2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 例3．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 【变式训练】 变式1．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 变式2．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 考点二 椭圆的焦点三角形问题 【例题分析】 例1．（2026·云南·模拟预测·多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（    ） A．C的短轴长为 B．四边形的周长为8 C．的最小值为 D． 【答案】BCD 【分析】选项A，椭圆短轴长为，直接排除；选项B，利用椭圆定义和中心对称，四边形周长为；选项C，由，用均值不等式可求最小值为；选项D，利用椭圆对称性设点，通过斜率关系结合椭圆方程推导的值，再由推出，从而证. 【详解】选项A，由题意知椭圆的短轴长为，A错误； 选项B，根据椭圆定义，，因为Q是P关于原点的对称点，所以， 则四边形的周长为，B正确； 选项C，由选项B，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，C正确； 选项D，设，则，，， 所以，， 又， 所以，故，D正确． 例3．（2026·吉林·三模·多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时, 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 【变式训练】 变式1．（2026·福建莆田·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．点为上的动点，且的取值范围为，则（   ） A． B．的周长为8 C．存在点，使得 D．当时，的内心坐标为 【答案】AD 【分析】先根据椭圆上动点到焦点距离范围求出，进而得到，离心率和椭圆方程，再分别对各选项依据椭圆性质、均值不等式、勾股定理及内切圆半径公式等进行判断. 【详解】根据椭圆性质，椭圆上动点到左焦点的距离范围为， 又因为，所以，解得， 所以，离心率，椭圆方程为， 在A选项中，，A正确， 在B选项中，的周长为，B错误， 在C选项中，若，设，则， 整理可得，由均值不等式，相互矛盾， 所以不存在这样的点，C错误， 在D选项中，将代入椭圆可得， 即，因为， ，所以是直角三角形， 直角在，内切圆半径， 内心坐标为，D正确. 变式2．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（    ） A．的周长为 B．若，则的最小值为 C．满足是直角三角形的点有 8 个 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可得的周长，判断A；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断B；分、、三种情况得到点个数，判断C；将看作是椭圆上的点与点连线的斜率，设直线的方程为，由直线与椭圆有交点，求得取值范围，从而得到的最大值，判断D. 【详解】 对于A：易知，，则. 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故A正确； 对于B：，. 当时，，故B错误； 对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时点共有4个； 以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为， 故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的点有4个； 综上，满足是直角三角形的点有 8 个，故C正确； 对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率. 设该直线的方程为. 联立，整理得， ， 由，得，即，解得. 所以的最大值为，故D正确. 变式3．（2026·四川达州·二模·多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 考点三 椭圆的离心率问题 【例题分析】 例1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为. 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 例3．（25-26高二下·重庆·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 【答案】 【分析】根据椭圆定义结合已知条件求出，利用椭圆第二定义及抛物线定义列方程求解离心率. 【详解】 根据题意，，， 所以，， 设的横坐标为，，解得， 抛物线的焦点为右焦点，可得， 可得，椭圆的离心率. 例4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与交于，两点，其中在上，且，若，则的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】根据抛物线及椭圆的定义求解即可． 【详解】由抛物线的定义知，则， 所以抛物线的标准方程为， 所以，，椭圆的左焦点为， 所以直线的方程为， 联立抛物线的方程，解得， 由椭圆及抛物线的定义知，解得， 又，则，所以椭圆的离心率为． 【变式训练】 变式1．（2026·安徽·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合椭圆的定义可得相应长度，结合勾股定理运算求解即可. 【详解】设的半焦距为，， 则，，，， 由题意可知：， 在中，，即，解得， 则，， 在中，，即，可得， 所以椭圆C的离心率. 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知与可得，再由椭圆定义求解离心率． 【详解】由题意，为等腰三角形，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 变式3．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆：（）与双曲线：的离心率之积为1，若点在上，则的长轴长的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据椭圆和双曲线的离心率的定义，及题意得到椭圆离心率的范围，再将点代入椭圆的方程上，结合及椭圆的离心率即可求解． 【详解】记，则C的离心率为， D的离心率为， 由，则， 又点在C上，得， 即，即， 所以， 因为，则， 所以，解得， 故C的长轴长的取值范围为． 变式4．（2026·湖北武汉·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，若直线和的斜率分别为和，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【详解】设，则， 整理得 两式相加，得 将代入，得，解得 代入，得 因此，点的坐标为 因为点在椭圆上，满足椭圆方程 化简方程得 两边同乘，得 由椭圆定义，，离心率， 因此，. 将其代入上式， 整理得， 令（，故），方程转化为 解得 ，不符合，舍去； ，符合条件. 因此 化简根式 2 学科网（北京）股份有限公司 $