宁夏银川市2025-2026学年九年级数学下学期阶段测试（北师大版九年级下册）

**基本信息** 以宁夏地域文化（马铃薯种植、盖碗茶）、科技热点（机器人《武BOT》）为情境，融合抽象能力、几何直观等核心素养，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|科学记数法、三视图、相似三角形|盖碗茶三视图考查空间观念，体现文化传承| |填空题|8/24|概率、圆、反比例函数|正八边形窗格计算强化几何直观，关联传统文化| |解答题|10/72|函数应用、几何变换、统计|机器人双节棍问题综合运算能力，智能绿植养护题培养模型意识，几何旋转综合题发展推理能力|

宁夏回族自治区银川市九年级数学下学期阶段测试（北师大2012全册） （答案及解析） 一．选择题（每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B A A A B 1．B 【难度】0.85 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．D 【难度】0.85 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据积的乘方，幂的乘方，单项式的除法，完全平方公式即可求解． 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B选项，，故本选项不符合题意； C选项，，故本选项不符合题意； D选项，，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式的除法，完全平方公式的运用是解题的关键． 3．B 【难度】0.85 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意． 4．B 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ，即， ． 5．A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，大于0， 当时，=-1的值小于0， 因此=0的一个解的取值范围是． 故选：A． 6．A 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补是本题的关键．由于平行，，已知，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数． 【详解】解：由于平行，， ， ， ， ， ． 故选：A． 7．A 【难度】0.94 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．甲画师每小时创作x副画，则乙画师每小时创作副画，甲画师创作70副画所用的时间与乙画师创作50画所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项． 【详解】解：根据题意，甲画师每小时创作x副画，则乙画师每小时创作副画， 可列方程， 故选：A． 8． B 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 二、填空题（每题3分，共24分） 9． 【难度】0.85 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10． 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，画树状图，共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和时，灯泡能发光，画树状图如下：    共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种， （能够让灯泡发光的概率） 故答案为： 11．45 【难度】0.75 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数． 【详解】解： 八边形ABCDEFGH为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点M， 在中，，， ， 点A，M, C在同一直线上， ． 12． 【难度】0.65 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到关于m的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解是 ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．10 【难度】0.75 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查的是垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． 如图：连接，由垂径定理可得，；设的半径为r，则，在中运用勾股定理列方程可求得，进而求得直径． 【详解】解：如图：连接， ∵的弦，是的中点， ∴，， 设的半径为r，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴的直径． 故答案为：10． 14．-6 【难度】0.75 【知识点】正比例函数的性质、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点， ∴， 由反比例函数中的几何意义得：， ∴， ∵， ． 故答案为：-6． 15． 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正切值 【分析】取格点，连接，则三点共线，，那么，则，再由勾股定理以及逆定理可得，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点M、N，连接， 由正方形网格可得，三点共线，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ . 16．①②③ 【难度】0.19 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】如图：过点B作轴于点F，利用菱形的面积公式求出，得到，从而得到，即可判断A选项；利用菱形的性质，可判断B选项；利用锐角三角函数判断C选项；利用勾股定理可判断D选项． 【详解】解：如图：过点B作轴于点F， ∵点A的坐标为， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ∴， ∴点D的坐标为，即， ∵反比例函数的图像经过点D， ， ∴双曲线的解析式为，①结论正确； ∵四边形OABC是菱形， ∴，， ∴点C的纵坐标与点B相同为8，横坐标为16-10=6, ∴点C的坐标是，②结论正确； ∵四边形是菱形， ∴， ， ，③结论正确； ，， ， ， ， ，④结论错误． 综上，正确的结论有①②③个． 三、解答题 17． 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算．先根据负整数指数幂、零次幂、特殊角的锐角三角函数值等化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： （4分）说明：每一个变换正确得1分 （5分） ． （6分） 18．；当时，原式． 【难度】0.65 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【详解】解： （2分）说明：通分、分解因式变换正确各得1分 （3分） ， （4分） ∵，， ∴，， （5分） ∴在1，2，3中，取， 当时，原式． （6分） 19．（原创）(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.85 【知识点】画给定边长的三角形、画三角形的内心，即画出三边垂直平分线的交点，格点作图题、无刻度直尺作图 【分析】（1）找直角三角形的斜边长为，确定点C, 即可求作； （2）见解析 【详解】（1） 解：如图，为所求作．（2分） （2） O 解：如图，O点就是的内心． （6分） 【点睛】本题考查了根据要求作图，掌握图形特征，找出作法是解题的关键． 20. （原创）(1) 13升 （2）13天 【难度】0.61 【知识点】考查一元一次方程、一元一次不等式、有理数运算、分段建模及整数解，注重考查学生从实际问题中提取信息、建立数学模型的能力。 【分析】(1) 设耗电率，列一元一次方程求解； (2) 分段分析，用不等式求整数解 【详解】（1）设绿植每天的耗水量为x升。 由题意，得120+15×8−15x=45解得 x=13。 答：绿植每天的耗水量为 13 升。（2 分） （2）① 先计算从初始 120 升，水量降到 30 升的过程： （120−30）13≈6.92， 第 6 天结束水量：120−13×6=42（升） 第 7 天结束水量：42−13=29<30，触发补水。 补水后水量：29+60=89（升）（4 分） ② 设补水后再过n天，水量第一次低于 20 升： 89−13n<20解得 n>5.31， ∵n为正整数，∴n=6。 总天数：7+6=13（天）答：经过 13 天，柜内水量第一次低于 20 升。（6 分） 21. （原创）（1）见解析 （2） 【难度】0.75 【知识点】考察正方形性质，图形旋转性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理。 【分析】 (1) 证明垂直：遇 90° 旋转，作垂直辅助线构造直角三角形利用同角的余角相等，推导两组角对应相等证三角形全等，转化得到线段等量关系判定出等腰直角三角形，求出底角度数对比正方形内 45° 角，利用90°角证垂直。 (2) 求线段长，根据第一问全等结论，直接得到直角边长度识别等腰直角三角形，套用勾股定理列式算出 CF 长度 【详解】（1）解：过点 F 作 FG⊥BC，交 BC 延长线于 G ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠B=90°，∠ACB=45°G 由旋转得 AE=EF，∠AEF=90° ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEG+∠AEB=90° ∴∠BAE=∠FEG 在△ABE 和△EGF 中 ∠B=∠EGF ∠BAE=∠GEF AE=EF ∴△ABE≌△EGF (AAS) （2分） ∴AB=EG，BE=FG ∵AB=BC ∴BC=EG，BE=CG ∴FG=CG，△FCG 是等腰直角三角形 ∴∠FCG=45°∴∠ACB+∠FCG=90° ∴∠ACF=90° ∴CF⊥AC （4分） （2）解：∵△ABE≌△EGF ∴ CG=FG=2 在 Rt△FCG 中 （6分） 22．(1)200，16，38 (2)见解析 (3)C (4)约有116名获得正向改善，恢复了健康 【难度】0.76 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占的百分比，可求出a的值；用总人数乘以A等级所占的百分比可得b的值，用D等级的人数除以总人数，可求出c的值； （2）根据（1）中即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）用2900乘以E等级所占的百分比，再乘以，即可． 【详解】（1）解：； ； ，即； （3分） （2）解：等级E的人数： （4分） 补全条形统计图如下： （3）解：∵，， ∴把这200个数据从小到大排列，第100个和101个数位于等级C， 即在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于C； （6分） （4）解：（名） 答：该区心理健康等级为E的教师约有135名获得正向改善，恢复了健康． （8分） 23.(1) (2)双节棍末端点C与舞者距离在规定范围内，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的应用 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，根据，即可求出； （2）过点C作于E，解和求出的长，进而求出双节棍末端点C与舞者距离，即可判断求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2分） （2）解：双节棍末端点与舞者距离在规定范围内，理由如下： 过点作于E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， （4分） 在中，， （5分） ∴在中，， （6分） 在中，， ∴此时双节棍末端点与舞者距离为， （7分） ∵机器人跳舞时规定双节棍末端点与舞者安全距离范围为， ∴此时双节棍末端点与舞者距离在规定范围内． （8分） 24.(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆的切线、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数： （1）连接，利用等边对等角和直角三角形性质，经角度代换算出，从而得出结论； （2）作于点，构造矩形和直角三角形，设，结合三角函数和已知条件求出长度，因，进而得到长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ， ． ， ． ． ． 直线是的切线． （3分） （2）解：如图，作于点． ，． ， ． ， ． ． （4分） 四边形OEMG是矩形． ． ， ． （5分） 设，则OG=4x ， ． ，． ． （6分） ， ． ． （7分） 在中，， ． ． （8分） 25.(1)； (2)当时，的值最大，最大值为；或． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时， 当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （3分） （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， （4分） 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； （6分） 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； （8分） 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．（10分） 26.(1)， (2)， (3)的长为或 【难度】0.3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是一道几何变换综合题，以直角三角形为背景，结合旋转、相似三角形、直角三角形性质和分类讨论思想，层层递进考查图形的全等/相似、角度与线段关系，以及动点问题的多情况求解． （1）由旋转得：，；结合，可得；结合，可证，因此，；在中，，因此，即； （2）先计算比例：，由题，因此;结合（同角的余角相等），可证（两边成比例且夹角相等）;由相似得：，；再由，推出； （3）由，点F是的中点，得；由（2）中，得，因此;结合是直角三角形，可得为等腰直角三角形，因此，进而得;分两种情况讨论点的位置：当在线段上时：，在中用勾股定理列方程求解；当在延长线上时：，同理列方程求解，最终得到的两个解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：,, 又， ， 即, 在和中： , ∴，， 在中，，， ， ； 综上，与的数量关系是，； (3分) 故答案为：，； （2），； 证明：，， ， ， ， ， （4分） ， ， ， （5分） ，， ， ， ，即：， ，； (6分） （3）由（2）知，点F是的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， ， 设，则， ，，， ， ①如图，当点D在线段上时， ， ， ， ， ，（舍去）， （8分） ②如图，当点D在的延长线上时， ， ， ， ， ， ，舍去）， 综上所述，的长为或． （10分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 宁夏回族自治区银川市数学九年级下学期阶段测试（2012北师大版）（细目表） 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 科学计数法 选择题 3 0.85 基础题 2 实数的运算 选择题 3 0.88 基础题 3 简单组合体的三视图 选择题 3 0.85 基础题 4 相似三角形的性质与判定 选择题 3 0.85 基础题 5 一元二次方程的解的估算 选择题 3 0.85 基础题 6 平行线的性质、三角形的外角的定义及性质 选择题 3 0.85 基础题 7 分式方程和差倍分问题 选择题 3 0.85 基础题 8 等边三角形的判定和性质、不规则图形的面积 选择题 3 0.65 中等题 9 分解因式 填空题 3 0.85 基础题 10 列表法或树状图法求概率 填空题 3 0.85 基础题 11 正八边形的角度计算 填空题 3 0.75 基础题 12 一元一次不等式组的解集 填空题 3 0.65 中等题 13 垂径定理的考察 填空题 3 0.75 基础题 14 正比例函数的性质、根据图形面积求比例系数 填空题 3 0.75 基础题 15 方格纸中三角函数计算 填空题 3 0.65 中等题 16 菱形的性质和反比例函数综合 填空题 3 0.4 拓展题 17 实数及三角函数中的计算 解答题 6 0.85 基础题 18 分式的化简 解答题 6 0.75 基础题 19 用无刻度的直尺作图 解答题 6 0.68 基础题 20 应用方程解决实际问题--数学建模 解答题 6 0.75 基础题 21 考察正方形性质，图形旋转性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理。 解答题 6 0.75 基础题 22 样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数 解答题 6 0.75 基础题 23 解直角三角形的应用 解答题 8 0.65 中等题 24 勾股定理解三角形、矩形的性质与判定求线段长、证明直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 解答题 8 0.65 中等题 25 二次函数综合，一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题、相似三角形问题 解答题 10 0.65 中等题 26 全等的性质和SAS综合、勾股定理解三角形、根据旋转的性质、相似三角形的判定与性质综合 解答题 10 0.3 拓展题 合计 120 0.69 基础题：78分（67%） 中等题：32分（25%） 拓展题：10分（8%） 整体难度系数：0.69 测评时间：120分钟 满分：120分 $ 宁夏回族自治区银川市九年级数学下学期阶段测试（北师大2012全册）（原卷） 一、单选题（每题3分，共24分） 1．宁夏西吉县被誉为马铃薯之乡，当地土豆产业规模庞大。2026 年全县马铃薯计划种植面积566000 亩，实际种植面积还需秋后统计。请将这个数据用科学记数法表示为（ ） 2．列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．醇香的宁夏盖碗茶是西北特色民俗文化瑰宝，配套使用的盖碗器皿造型匀称美观。从不同方向观察这款盖碗，下列关于其三视图的表述正确的是（） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 第3题 第4题 第6题 4．如图，在中，DE∥BC，若, 则的值（     ） A． B． C． D． 5．根据表格中的信息，估计一元二次方程 的一个解的范围是（    ） x -2 -1 0 1 2 6 -1 -6 -9 -10 A． B． C． D． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．丹青绘山河，笔墨润芳华。国画是中华传统艺术的精髓，画室里两位画师同时提笔作画，又同时停笔完工。甲画师每小时比乙画师多完成 3 幅小品画作，最终甲共创作 70 幅，乙共创作 50 幅。设甲每小时创作x幅画作，根据题意可列方程为（） A． B． C． D．第8题 8．如图，在扇形AOB中，，以AO为直径作半圆，若的长为2m，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．分解因式：__________． 10．如图所示的电路图中，当随机闭合、、，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 .   第13题 第11题 第10题 11．图1为中式某一亭子的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形ABCDEFGH为其外窗框的示意图，连接AC，BD，AC与BD交于点M， ________°．    12．关于的不等式组 的解是 ，则实数的取值范围是_____． 13．如图，的弦，M是的中点，且，则的直径等于_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点，过点A作轴于点B，连接，若的面积为6，则k的值为_______． 第14题 第15题 第16题 15．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为 . 16．如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为，对角线OB、AC相交于点D，反比例函数的图像经过点D，交BC的延长线于点E，且，有下列四个结论：①反比例函数的关系式为；②点C的坐标是；③；④，其中正确的结论有_________（填序号）． 三、解答题（17-22题每题6分，23-24每题8分，25-26每题10分，共72分） 17．(6分)计算：． 18．(6分)先化简，再从1，2，3三个数中选择一个合适的数代入求值． 19．(6分)（原创） 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法． (1)在图中画，使的AC是； (2)作出△ABC的内心O. 20．(6分)（原创）银川市为了打造绿色校园，为生物实验室引入智能绿植养护柜，柜内绿植每天匀速消耗固定量水分，补水系统有两种运行模式。已知养护柜初始储水量为 120 升，绿植每日耗水量恒定。若开启模式一：每天固定补水 8 升，15 天后柜内剩余水量为 45 升。 (1) 求绿植每天的耗水量； (2) 为节约能耗，改用模式二：当柜内剩余水量降至 30 升时，当天一次性补水 60 升，补水当天绿植正常耗水。若从初始储水量 120 升开始运行，经过多少天，柜内水量会第一次低于 20 升？ 21.(6分)（原创）如图，正方形ABCD，点E是边BC上动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF。 (1) 求证：CF⊥AC； (2) 若正方形边长为6，当BE=2时，求CF的长。 22.(6分)目前全国教师群体的心理健康状况令人担忧，值得特别关注．我区为了解教师心理健康现状，从本区随机抽取a名教师进行心理健康测评，测评标准如下： 得分区间 0～10分 11～20分 21～30分 31～40分 41～50分 心理健康等级 A：优秀 B：良好 C：一般 D：需要注意 E：需专业干预 【数据处理】将收集到的数据整理成以下两幅统计图： 【数据应用】 (1)_________，_________，_________； (2)补全条形统计图； (3)在抽取的教师中，得分为众数的教师心理健康等级处于_________； (4)调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有90%的教师心理获得正向改善，恢复了健康．若该区共有教师3000名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少名教师获得正向改善，恢复了健康？ 23. (8分)2026年春晚，创意武术节目《武BOT》惊艳全场！机器人为了精准操控双节棍，表演时需要和舞台保持安全间距。图2是其侧面示意图，∠NAB为机器人胳膊与身体的夹角，胳膊AB=40cm，小臂OB=30cm，肘关节B与机器人的水平宽度为20cm（即BN的长度），旋转的双节棍末长度OC=25cm，OC与手臂OB保持垂直，∠OBD=66.4°。（结果精确到0.1，参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，tan66.4°≈2.29，√3≈1.73） (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定双节棍末端与舞者安全距离范围为至， 在图2中，机器人与舞者之间距离为时，双节棍端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由 24.(8分)如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 25.（10分） 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 26.(10分)在中，，点D是边上的一个动点，连接． (1)【问题发现】 如图1，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_________，_________度； (2)【类比迁移】 如图2，将绕点C逆时针旋转得到，点E在上，且，若，，则与的数量关系是_________，_________度．请证明你的结论： (3)【拓展应用】 如图3，在（2）的条件下，当点D在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点F，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $