期末易错压轴题型（32易错+10压轴）（专项训练）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 聚焦期末高频易错点与压轴难点，通过32类易错题型+10类综合压轴题，构建从基础概念到复杂应用的递进式训练体系，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何基础|8类易错+2类压轴|概念辨析与多拐点模型|从对顶角、三线八角到平行线性质判定，形成"概念-计算-推理"逻辑链| |代数基础|7类易错+2类压轴|数与式的运算及规律探索|平方根/立方根概念→实数运算→规律探究，体现"定义-性质-应用"认知路径| |坐标系与平移|4类易错+1类压轴|坐标表示与图形变换|点的坐标→位置确定→平移规律，构建数形结合思维| |方程组与不等式|5类易错+2类压轴|解法应用及含参问题|方程（组）解法→参数计算→实际应用，强化建模与转化能力| |统计与概率|3类易错+1类压轴|数据收集与图表分析|从总体样本到统计图选择，培养数据意识与分析能力|

期末易错压轴题型（32易错+10压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、对顶角、邻补角、余角补角概念 易错题型二、角度计算 易错题型三、垂直、垂线段最短 易错题型四、三线八角 易错题型五、平行线的判定与性质 易错题型六、点到直线距离 易错题型七、平行线拐点模型中角度计算 易错题型八、图形的平移 易错题型九、求一个数的平方根 易错题型十、求一个数的算术平方根 易错题型十一、求一个数的立方根 易错题型十二、无理数的大小估算 易错题型十三、实数的大小比较 易错题型十四、实数的混合运算 易错题型十五、与实数运算相关的规律题 易错题型十六、已知点所在的象限求参数 易错题型十七、写出直角坐标系中点的坐标 易错题型十八、用坐标表示地理位置 易错题型十九、已知图形的平移，求点的坐标 易错题型二十、坐标系中的平移 易错题型二十一、判断是否是二元一次方程组的解 易错题型二十二、二元一次方程组的解 易错题型二十三、二元一次方程组求参计算 易错题型二十四、二元一次方程组看错系数问题 易错题型二十五、不等式性质 易错题型二十六、不等式的解集 易错题型二十七、在数轴上表示不等式的解集 易错题型二十八、求一元一次不等式的整数解 易错题型二十九、不等式含参数计算 易错题型三十、总体、个体、样本、样本容量 易错题型三十一、求扇形统计图的圆心角 易错题型三十二、选择合适的统计图 压轴题型一、平行线中多拐点角度推理 压轴题型二、坐标系几何综合应用 压轴题型三、二元一次方程组实际应用 压轴题型四、不等式组实际综合应用 压轴题型五、方程组与不等式结合含参数问题 压轴题型六、与立方根、平方根有关的规律探索 压轴题型七、实数运算的实际应用 压轴题型八、图表数据分析压轴题 压轴题型九、根据平行线判定与性质证明 压轴题型十、平行线的性质在生活中的应用 易错题型一、对顶角、邻补角、余角补角概念 1．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：（1）∠1和∠2有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； （2）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （3）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （4）∠1和∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角． 故选：D． 2．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，直线，相交于点O，若，则等于______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】利用对顶角的性质，角平分线的定义以及角的和差进行求解． 【详解】解：∵直线、相交于点O，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 易错题型二、角度计算 4．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等以及邻补角互补进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 5．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，直线a，b相交于点O，已知，则______________°． 【答案】150 【分析】本题考查对顶角的性质，邻补角的概念，正确识别对顶角和邻补角是解题的关键． 根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，两条直线相交，．求的度数． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴. 易错题型三、垂直、垂线段最短 7．（2026·陕西安康·二模）如图，直线，交于点O，且于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点O在直线上，点E，F是直线外的点，连接，，，且，过点E作于点M，则点E到的距离是线段_________的长度． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴点E到的距离是线段的长度． 9．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【详解】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 易错题型四、三线八角 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可． 【详解】解：A、 和是同位角的关系； B、和是内错角的关系； C、和是内错角的关系； D、和是同旁内角的关系． 11．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，直线b，c被直线a所截，若，则的同位角等于______度． 【答案】 110 【分析】先找出的同位角，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】解：如图，的同位角为， ∵， ∴， 即的同位角等于． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 易错题型五、平行线的判定与性质 13．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，小明设计了“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图，上述方法是通过作得到，其中判定的依据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【详解】解：由，根据同位角相等，两直线平行得到． 14．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________． 【答案】/70度 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，点，分别在，上，于点，，，求证：．请补全下列解题过程． 证明：（已知）， （___________①） 又（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （___________②）， 又（平角的定义）， （等式的性质）， 又（已知）， （___________③）， （___________④）． 【答案】①垂直的定义； ②两直线平行，同位角相等； ③同角的余角相等； ④内错角相等，两直线平行 【分析】根据已知条件，结合垂直的定义、平行线的判定与性质、同角的余角相等，逐步补全证明过程中的理由和结论，完成对的证明． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义） 又（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（平角的定义）， （等式的性质）， 又（已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 易错题型六、点到直线距离 16．（2026·贵州贵阳·一模）如图，在中，，点在上，于点，则可以表示点到线段的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴点到线段的距离是线段的长度． 17．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，已知三角形中，则表示点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】 【详解】解：由点到直线的距离定义可知，点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 因为， 所以， 所以线段的长度表示点A到直线的距离． 18．（25-26七年级下·北京·期中）如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段： （1）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【详解】（1）解：如图所示，垂线段，即为所求． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． （2）∵， ∴点与直线上各点的连线中垂线段最短． ∴． 易错题型七、平行线拐点模型中角度计算 19．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，，进一步运算即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴， 即． 故选：C 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 20．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 21．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）已知一个角的两边分别与另外一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢？小明根据题意设计了如下的试题：已知，，试判断下列两个图中与的数量关系． (1)填空：图①中______；图②中：______． (2)请选择（1）中的一条结论进行证明． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质进行解答即可； 图①中根据平行线的性质得到，图②中根据平行线的性质得到及，进而得到． 【详解】（1）解：图①中与的数量关系为：， 图②中与的数量关系为：， 故答案为：；； （2）解：选题图①： 证明：， ． ， ， ； 选题图②：， 证明：， ， ， ， ． 易错题型八、图形的平移 22．（25-26七年级下·陕西延安·期中）被称为“算经之首”的《九章算术》最重要的数学成就之一是建立了算筹的十进位值制记数法．下图表示纵式中的数字9，下列图形中，能由下图通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移前后的图形的形状，大小相同，即可得出结果. 【详解】解：由题意，通过平移得到的是 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【答案】 【详解】解：由题意，线段与线段是一组对应线段，与是一组对应角. 24．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 【答案】见解析 【分析】根据点对应点作图即可． 【详解】解：由题意得；点向右平移个单位，向下平移个单位到点， 所作图形如下所示： 易错题型九、求一个数的平方根 25．（25-26七年级下·吉林·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的平方根是． 26．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）4的算术平方根是_______；4的平方根是_______． 【答案】 2 【分析】根据算术平方根与平方根的定义，分别计算得到结果． 【详解】，且， 的算术平方根是， ， 的平方根是． 27．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案； （2）根据平方根的概念和（1）所求求出，则，据此根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 易错题型十、求一个数的算术平方根 28．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）2的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：2的算术平方根是． 29．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）计算：________． 【答案】3 【分析】本题可先计算根号内有理数的乘方，再计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解：． 30．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知正数m的两个不同的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1； (2)7． 【分析】（1）由平方根的性质建立方程求解即可； （2）先求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意得， 解得， a的值为1． （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 易错题型十一、求一个数的立方根 31．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）计算：（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据立方根的定义计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据立方根的定义可得． 32．（24-25七年级下·全国·期末）已知，，则_______． 【答案】 0.2714 【分析】将被开方数变形为含已知立方根的数与的商的形式，利用立方根的运算性质化简后代入已知数值计算即可. 【详解】解： = 根据立方根的性质可得 = = 已知，代入得 33．（25-26七年级下·天津北辰·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根式与绝对值的化简计算，解题用到算术平方根、立方根、绝对值的性质，先分别化简每一项，再合并计算即可得到结果。 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式， ， 易错题型十二、无理数的大小估算 34．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在数轴上，对应的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，用数轴上的点表示无理数，直接利用，进而得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则对应的点为P． 35．（2026·重庆南岸·模拟预测）若为正整数，且满足，则________． 【答案】 5 【分析】估算无理数的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可求解． 【详解】解：， ， 即， 又为正整数，且满足， 因此． 36．（25-26七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数大小比较，立方根的运算，可通过化简，估算无理数大小后比较，得到结果． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 易错题型十三、实数的大小比较 37．（25-26七年级下·山东烟台·期中）在，0，1，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先分别计算四个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到绝对值最小的数． 【详解】解：∵ ，，， 又∵ ∴ 四个数中绝对值最小的数是． 38．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】利用作差法比较两个数的大小，通过平方比较无理数的大小，进而得到答案． 【详解】解：计算两个数的差得， ，且， ， 则，即， ． 39．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某班欲装饰教室黑板旁边的班级事务栏，准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形工件，用于设计班级事务栏的标题． (1)求正方形工料的边长； (2)若要求裁下的长方形工件的长、宽之比为，请问是否能裁出满足要求的长方形工件？ 【答案】(1)6分米 (2)能裁出满足要求的长方形工件 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用正方形面积公式求边长即可； （2）首先求出长方形工件的长和宽，求出后与正方形的边长进行比较大小即可作出结论． 【详解】（1）解：设正方形工料的边长为x分米， 由题意得， 解得（负值舍去）， 答：正方形工料的边长为6分米； （2）解：能裁出满足要求的长方形工件，理由如下： 设长方形工件的长为分米，宽为分米， 由题意得， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴能裁出满足要求的长方形工件． 易错题型十四、实数的混合运算 40．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知a、b为有理数，满足，则的值为（    ） A． B．7 C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算，将已知条件适当变形，利用，为有理数得到关于，的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：， ． ，为有理数， ， 解得：， ． 故选：B． 41．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知A，B，C是数轴上的三个点，A是的中点．若点A表示的数是，点B表示的数是，则点C表示的数是______． 【答案】 【分析】先求出，再求出，进而可知点C表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴， ∵A是的中点， ∴， ∴点C表示的数是． 42．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 易错题型十五、与实数运算相关的规律题 43．（24-25七年级下·山东德州·月考）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 44．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 45．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 易错题型十六、已知点所在的象限求参数 46．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点到轴的距离是5，则的值为（   ） A． B．2或 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值，结合第一象限内点的坐标符号特征，即可求解． 【详解】解：∵点是第一象限内的点，且点到轴的距离是， ∴， 解得． 47．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）若点在y轴上，则m的值为____． 【答案】 【详解】解：y轴上的点横坐标为0， 故， 解得. 48．（25-26七年级下·天津红桥·期中）已知：点． (1)点轴的距离为1，求点的坐标； (2)点，且轴，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此建立方程求出m的值即可得到答案； （2）平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此建立方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为1， ∴， ∴或． 当时， 当时，， 当时，，，此时点P的坐标为， 当时，，，此时点P的坐标为． 综上所述， 点的坐标为． （2）解：∵轴， ∴． 解得． ∴，， ∴点的坐标为． 易错题型十七、写出直角坐标系中点的坐标 49．（24-25八年级上·山东·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为， 选项符合题意． 50．（25-26七年级下·北京·期中）在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 【答案】 【详解】解：根据、的坐标建立平面直角坐标系如下： 则点的坐标为． 51．（25-26七年级下·湖南常德·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱． (1)如图，若在象棋棋盘上建平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出上述平面直角坐标系中“兵”点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）以“帅”所在的竖直方向为纵轴，“帅”向上2个格子为横轴，建立直角坐标系，可知“炮”位于； （2）根据“兵”在第二象限，其符号特征是，再根据其到坐标轴的距离解答即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：“兵”点的坐标为． 易错题型十八、用坐标表示地理位置 52．（2026·贵州贵阳·一模）如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（    ） A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 【答案】B 【分析】根据点的坐标符号判断该点所在的象限，再结合图形中各功能室的位置即可得出答案； 【详解】解：该功能室的坐标为，横坐标，纵坐标， 该功能室位于第四象限， 由图可知，物理实验室在第一象限，生物实验室在第二象限，图书馆在第三象限，化学实验室在第四象限， 故该功能室是化学实验室． 53．（25-26七年级下·陕西安康·期中）为对公园古树进行系统养护，园林部门计划建立相关的地理信息系统，确定古树的位置．工作人员从公园大门出发，向北走到达古树A，再向西走到达古树B，若选取公园大门为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长，则古树B的坐标为___________． 【答案】 【分析】先将实际距离转换为坐标的单位长度，再根据移动方向确定横纵坐标的符号与数值，即可得到结果． 【详解】解：由题意得，坐标原点为公园大门，轴正方向为正东，轴正方向为正北，个单位长度代表， 故从原点出发，向北走，向北为轴正方向，对应单位长度为，因此纵坐标为， 再向西走，向西为轴负方向，对应单位长度为，因此横坐标为， 因此古树的坐标为． 54．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）为让每个农村孩子都能上学，国家实施了“农村中小学寄宿制学校建设工程”，如图是某寄宿制学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系： (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (3)写出食堂、图书馆、宿舍楼的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)食堂，图书馆，宿舍楼 【分析】（1）根据已知点的坐标找到坐标原点，建立直角坐标系即可； （2）在建立的直角坐标系中标出办公楼和教学楼的位置即可； （3）在建立的直角坐标系中找到食堂、图书馆的位置，写出坐标即可． 【详解】（1）解：该学校平面示意图所在的坐标系如图所示， （2）解：如图所示； （3）解：由坐标系可知，食堂，图书馆，宿舍楼． 易错题型十九、已知图形的平移，求点的坐标 55．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点和点的坐标确定平移规律，再将该规律应用到点上即可求出点的坐标． 【详解】解：点 平移后的对应点是， 线段平移的方式为向右平移 个单位长度，再向上平移个单位长度， 点， 点的对应点的坐标是 ，即． 56．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点B和其对应点D的坐标，计算出平移的横坐标变化量和纵坐标变化量．利用上述计算出的变化量，结合点A的坐标求出点C的坐标． 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵， ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 57．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，，，，将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出三角形，并写出，，的坐标． 【答案】画图见解析， ，， 【详解】解：如图，三角形即为所求． ，， 易错题型二十、坐标系中的平移 58．（25-26七年级下·河北雄安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线轴，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】直线轴，则点和点的纵坐标相等，可得 ． 解方程，得 ． 59．（25-26七年级下·广东佛山·期中）在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标的平移规律，按照左减右加，上加下减的规律计算即可． 【详解】解：已知点原坐标为， 将点向右平移个单位长度，横坐标变为， 再向下平移个单位长度，纵坐标变为， ∴平移后点的坐标为． 60．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见详解；景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为， (2)①见详解；景点“大象馆”的坐标为；②7 【分析】（1）根据“东北虎园”的坐标和“两栖动物馆”的坐标建立直角坐标系，然后再写出直角坐标系中“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标即可． （2）①根据点的平移描出景点“大象馆”的位置，再写出其坐标即可． ②根据点的平移求解即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： ∴景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为，． （2）解：①景点“大象馆”的位置如图所示： 景点“大象馆”的坐标为． ②由景点“大象馆”到“南门”的距离为7个单位长度． 易错题型二十一、判断是否是二元一次方程组的解 61．（25-26七年级下·山东烟台·期中）实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用代入验证法解题，将给定解代入方程组，若能同时使两个方程左右两边相等，则该组解就是方程组的解． 【详解】代入A选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入B选项，第一个方程左边右边，第二个方程左边右边，两个方程都成立，符合题意． 代入C选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入D选项，第一个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 62．（25-26七年级下·北京·期中）观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，只需从表格中找出同时满足两个方程的公共解，即可得到方程组的解． 【详解】解：观察表格可知，，同时满足方程和，是两个方程的公共解， ∴原方程组的解为 63．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【详解】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 易错题型二十二、二元一次方程组的解 64．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（  ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】利用等式的性质将方程整理，分别用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，对比选项得到错误变形即可． 【详解】解：， 由①得：，，故A、C不符合题意， 由②得：，，故B符合题意，D不符合题意． 65．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，则_____________． 【答案】 【分析】首先由绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 66．（25-26七年级下·北京顺义·期中）按要求解方程组： (1)用“代入消元法”解方程组： (2)用"加减消元法"解方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由①得， 将③代入②得， 解得 将代入③得： ∴方程组的解为：； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 易错题型二十三、二元一次方程组求参计算 67．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的性质，可利用整体思想构造出的表达式，结合已知列方程求解，简化计算过程． 【详解】解： ①+②得： 等式两边同时除以8得： 去分母得： 解得：． 68．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x和y的二元一次方程组的解满足，则__________． 【答案】1 【分析】将方程组中两个方程相加变形，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：由，得， ∴， 化简得， ∵， ∴． 69．（24-25八年级上·广东佛山·月考）已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 易错题型二十四、二元一次方程组看错系数问题 70．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：D． 71．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，是方程的解，代入得到，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，是方程的解， 代入得到， 即， 故答案为：． 72．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组时的运算步骤回答下面的问题． 解：由，得，    …第一步 ，得，        …第二步 得．        …第三步 把代入①，得，    …第四步 所以原方程组的解为 (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误（填一、二、三、四）； (2)请你写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组． （1）根据等式的性质即可得出答案． （2）按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：第一步开始错误， ∵由①，方程右边的常数项没有； 故答案为：一； （2）解：， 由①，得③， ③②，得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为． 易错题型二十五、不等式性质 73．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，，两边同时加，∴，A选项正确． ∵不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，，两边同时除以，∴，B选项错误． 当，时，满足，但，故C不一定成立，错误． ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，，两边同时乘，∴，D选项错误． 74．（25-26七年级下·贵州毕节·期中）若，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加1，得， 又∵， ∴． 75．（25-26七年级下·广东梅州·期中）按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断： ①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变； ②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变； ③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； （2）先利用不等式性质3，给两边同乘，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变，完成大小比较． 【详解】（1）解：若，两边同时加1，则； 若，两边同时乘正数3，则； 若，两边同时乘负数，则． （2）解：， 根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变， ， 两边同时减，不等号方向不变， ． 易错题型二十六、不等式的解集 76．（25-26七年级下·重庆·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 77．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的解的定义，推出的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解，将代入不等式，得，即， ∴符合条件的值可以是． 78．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 易错题型二十七、在数轴上表示不等式的解集 79．（2026·贵州遵义·模拟预测）一元一次不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴， ∴， 将在数轴上表示如图， 观察选项D选项符合 ． 80．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，用不等式表示数轴上所示的解集是______． 【答案】 【详解】解：由数轴可知数轴上所表示的解集为. 81．（25-26七年级下·广东深圳·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2) (3)；不等式解集在数轴上表示见详解 【分析】（1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （2）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 解得：， 解集在数轴上表示如下： 易错题型二十八、求一元一次不等式的整数解 82．（25-26七年级下·湖南湘潭·阶段检测）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 83．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式的最小整数解是______． 【答案】3 【分析】先根据一元一次不等式的解法求解不等式，再从不等式的解集中找出最小的整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因此不等式的最小整数解为． 84．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 易错题型二十九、不等式含参数计算 85．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， 两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ， ． 86．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果，那么不等式组的解集是， ②如果不等式组的解集是，那么， ③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么， ④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________． 【答案】①②/②① 【分析】先求出不等式组中各不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的判定方法，逐一分析每个说法即可． 【详解】解：解不等式组得， ①如果，不等式组的解集是，故本说法正确； ②如果不等式组的解集是，可得，故本说法正确； ③如果不等式组的整数解只有，，，，可得，故本说法错误； ④如果不等式组无解，可得，故本说法错误； ∴所有正确说法的序号是①②． 87．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，则a的值为______； (2)若该不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】先分别求解原不等式组中两个不等式得到各自解集， （1）根据已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值； （2）根据不等式组无解的条件， 得到关于的一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得 解不等式 ，得 已知不等式组的解集为， 因此 解得； （2）解：若不等式组无解，可得 解得． 易错题型三十、总体、个体、样本、样本容量 88．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）为了解某市八年级学生每天体育运动时间，从该市八年级学生中抽取100名学生进行调查．下列叙述错误的是（     ） A．被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本 B．该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体 C．该市每个八年级学生每天体育运动的时间是个体 D．样本容量是100名 【答案】D 【详解】解：A、被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本，正确； B、该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体，正确； C、每个八年级学生每天体育运动的时间是个体，正确； D、样本容量是样本中个体的数目，是纯数值，不带单位，“样本容量是100名”的叙述错误． 89．（25-26七年级下·江苏南京·期中）为了解某市90000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为______． 【答案】 2000 【详解】解：∵本次调查中，抽查的样本是2000名学生的体重，样本容量为样本中个体的数目， ∴样本容量为2000． 90．（25-26八年级上·河南周口·期末）某校八年级学生参加“汉字听写大赛”，成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，随机抽取部分学生的成绩统计如下表： 等级 优秀 良好 合格 不合格 人数 15 25 10 5 (1)求本次抽取的学生人数； (2)求“良好”等级的人数所占的百分比，精确到． 【答案】(1)55； (2)． 【分析】（1）根据样本容量等于各频数之和计算即可； （2）用“良好”等级的人数除以样本容量即可． 【详解】（1）解：总人数（人）． （2）解：“良好”等级的百分比． 易错题型三十一、求扇形统计图的圆心角 91．（24-25七年级下·浙江温州·期末）学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（．科普，．文学，．体育，．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（    ） A．样本容量为 B．类型所占百分比为 C．类型的人数为人 D．类型所对应扇形的圆心角度数为 【答案】B 【分析】根据，即可判断样本容量；通过，则可判断类型所占百分比；利用则可判断类型的人数；利用，则可判断类型所对应扇形的圆心角度数． 【详解】解：、，则样本容量为，故该选项正确，不符合题意； 、，则类型所占百分比为，故该选项错误，符合题意； 、（人），则类型的人数为人，故该选项正确，不符合题意； 、，则类型所对应扇形的圆心角度数为，故该选项正确，不符合题意． 92．（25-26七年级下·江苏常州·期中）小明平均每天用于学习、睡眠、参加班级的各类活动、用餐及其他的时间如下： 项目 学习 睡眠 活动 用餐 其他 合计 时间/h 8 9 4 1 2 24 小明根据上述数据制作扇形统计图，表示学习项目的扇形的圆心角度数为________． 【答案】120 【分析】先计算学习时间占一天总时间的比例，再根据扇形统计图圆心角的计算规则，用乘以该比例，即可得到所求圆心角度数． 【详解】解：由题意得，一天总时间为，学习时间为， ∴表示学习项目的扇形圆心角度数为：． 93．（2026·江苏宿迁·一模）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了________名学生，________； (2)补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________； (3)若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图见详解， (3) 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联求解即可； （2）求出级人数即可补全条形统计图，再由级人数占比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角； （3）由级学生人数占比估计该校4000名学生中级学生人数即可． 【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图中级人数及占比可得在这次调查中一共抽取学生数为； 由条形统计图中级人数可得其占比为，则； （2）解：由（1）知这次调查中一共抽取名学生， 则级人数为， 补全条形统计图如下： 扇形统计图中级对应的圆心角为； （3）解：（名）， 答：该校4000名学生中级学生有名． 易错题型三十二、选择合适的统计图 94．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）要考查一个学生一年级到六年级的学习成绩进步变化情况，采用（    ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 【答案】C 【分析】根据不同统计图的特点判断，题目需要体现成绩的进步变化趋势，选择对应特点的统计图即可． 【详解】解：∵条形统计图只能体现具体数量的多少，扇形统计图只能体现各部分占总体的比例，折线统计图可以清晰反映数据的变化趋势与变化情况， ∴要观察学生一年级到六年级的学习成绩进步变化情况，折线统计图最合适． 95．（25-26七年级下·江苏南京·期中）八年级个班开展“学雷锋做好人好事”活动，为了清楚表明四月份各班做好人好事的件数，最好选用______统计图． 【答案】 条形 【详解】解：三种常见统计图的特点为： 条形统计图能清楚表示出每个项目的具体数目； 折线统计图能清楚反映事物的变化趋势； 扇形统计图能清楚表示出各部分占总体的百分比； 本题要求清楚表示出各班做好人好事的具体件数，符合条形统计图的特点，因此选用条形统计图． 96．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面数据分别用哪种统计图表示比较合适？ (1)某城市家庭人口数情况如下表所示．选用（    ）统计图比较合适． 家庭 两口之家 三口之家 四口之家 五口之家 六口之家 其他 百分比 (2)我国七次人口普查全国人口数变化情况如下表所示．选用（    ）统计图比较合适． 年份 1953 1964 1982 1990 2000 2010 2020 人口 5.83亿 6.95亿 10.08亿 11.34亿 12.66亿 13.40亿 14.12亿 (3)世界四大洋的面积如下表所示．选用（    ）统计图比较合适． 海洋名称 太平洋 大西洋 北冰洋 印度洋 面积/万平方千米 18134.4 7676.2 1475 7144.8 【答案】(1)扇形 (2)折线 (3)条形 【分析】本题考查了统计图的选择，解题的关键是明确不同统计图的特点． （1）需体现部分与整体的比例关系； （2）需体现数据随时间的变化趋势； （3）需体现不同类别数量的对比． 【详解】（1）解：该数据展示的是不同家庭类型占总体的百分比，扇形统计图能清晰呈现部分与整体的比例关系，扇形统计图表示各部分数量与总数之间的关系， 因此选用扇形统计图， 故答案为：扇形； （2）解：该数据展示的是人口数随年份的变化情况，折线统计图能直观反映数据的增减变化趋势，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况， 因此选用折线统计图， 故答案为：折线； （3）解：该数据展示的是不同大洋的面积数量，条形统计图能清晰对比不同类别的数量多少，条形统计图可以清楚地看出数量的多少， 因此选用条形统计图， 故答案为：条形． 压轴题型一、平行线中多拐点角度推理 1．（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图①，，为与之间一点，连接，过点作，与相交于点． (1)试说明：； (2)如图②，若点在的上方，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出正确的结论并说明理由； (3)如图③，若点在的下方，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由：如果不成立，请直接写出正确的结论． 【答案】(1)见解析； (2)不成立，，理由见解析； (3)不成立，，理由见解析． 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质可得，进而，即可证得结论； （2）过点作，利用平行线的性质可得，进而，即可证得结论； （3）过点作，利用平行线的性质可得，进而，即可证得结论． 【详解】（1）解：证明：如图， 过点作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：结论不成立，． 证明：如图， 过点作，则． 又∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：结论不成立，． 证明：如图， 过点作，则． 又∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·河南郑州·月考）【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． (1)如图1，若入射光线与最终的反射光线平行，两块平面镜应如何摆放？ (2)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数； (3)如图2，当光线经过处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，并调整平面镜的位置，最终使．则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)两块平面镜应平行摆放，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由得到，然后结合，即可得到，进而得到； （2）根据题意得到，，推出，然后结合求解即可； （3）首先得到，如图，过点作，求出，得到，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即， 又，， ， ，故两块平面镜应平行摆放； （2）解：光线与直管壁平行，与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直， ，， ， ， ； （3）解：与入射镜筒壁平行，， ， ， 如图，过点作， ， 与直管壁垂直， ， 由题干的反射定律可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得． 3．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）解：当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）问题探究：如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点作， ___________， ，， （___________）， ___________（___________）， ， 即； (2)请按李思同学的思路，在图③中补全图形并写出证明过程； 证明：过点作，交的延长线于点， …… (3)问题迁移：如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】(1)，平行于同一直线的两直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．（1）如图②中，过点作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可；（2）如图③中，过点作交的延长线于，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可；（3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即； （2）证明：如图③，过点作，交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·上海闵行·月考）我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 【答案】(1)，，，平行于同一直线的两直线互相平行，剩余证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，则，而，则得到，再由结合反射光线的规律求解即可； （2）可得，设，由，得到，则，由题意得，，再由建立方程求解； （3）延长交于点，先根据平行线的性质得到，而，则，那么，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：数量关系：， ，（已知） （平行于同一直线的两直线互相平行）， ∴ 由题意得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴数量关系为； （2）解：如图， 由（1）结合已知可得， 设， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴反射角为； （3）解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，而 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得． 压轴题型二、坐标系几何综合应用 6．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，绝对值和算术平方根的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，分类讨论的思想求解． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，的值，即可求解； （2）根据题意，求得，利用三角形面积求解即可； （3）分两种情况，当在轴上和当在轴上，设点的坐标，表示出的面积，求解即可． 【详解】（1）解：由可得，， 解得，， ∴，； （2）解：由题意可得，，， ∴； （3）解：∵， ∴， 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 综上，，，，． 7．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______； (2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式． 【答案】(1)三角形如图所示． (2)将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一） 【分析】（1）根据点P平移前后的坐标得出平移的方式，然后画出，然后写出直角坐标系中的坐标即可． （2）由（1）可写出答案（答案不唯一） 【详解】（1）解：任意一点平移后的对应点为． 则平移方式为：向右平移7个单位，向下平移4个单位． 则如下图所示： ∴ （2）解：如（1）将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一） 8．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中，，． (1)将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，直接写出平移后三个点的坐标是（_______），（_______），（_______）． (2)若将三角形进行平移后，使点平移到位置，得到三角形，请在图中画出三角形． 【答案】(1)1，7；，2；3，4 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的规律得出平移后的点的坐标规律：横坐标，纵坐标即可得出答案； （2）根据题中图形的平移，将三角形三个顶点按照向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三点的位置，顺次连接各点即可得到三角形． 【详解】（1）解：三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、 即、、 故答案为：1，7，，2，3，4； （2）解：即为所求： 9．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知点，点，点，且． (1)求、两点的坐标： (2)将线段平移到线段，点对应点，点对应点． ①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积； ②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，点在直线上，设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①6；②或10 【分析】（1）利用非负数的性质求得a、c的值即可； （2）①先根据平移的性质可得，如图1中，过D作轴于H，设，再根据列方程求得x，最后根据计算即可； ②由题意可得，再说明，进而得到；再证明，最后根据构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：①由平移的性质，可得． 过D作轴于H，设， 由得：， 解得：， ∴． ∴． ②依题意，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得或10(舍去)． 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点A，B的坐标分别为，． (1)直接写出点C的坐标为________； (2)平移三角形，将点C移动到点，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E，在平面直角坐标系中画出三角形； (3)连接，，直接写出三角形的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3)5 【分析】（1）在平面直角坐标系结合图形即可求解； （2）根据点的平移的性质得出平移方式，再画图即可； （3）利用割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：根据图可得，; （2）解：∵点，移动到点， ∴点到点的平移方式是：向右平移4个单位长度，向下平移4个单位， 则点,, 则如图所示： （3）解：根据题意可得 三角形的面积为：． 压轴题型三、二元一次方程组实际应用 11．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个 【分析】（1）利用公式“总费用购买A品牌足球共花的费用购买B品牌足球共花的费用”列出两个等量关系式，组成二元一次方程组求解； （2）根据题意列出二元一次方程，利用二元一次方程的整数解求得答案． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元． （2）解：根据题意得：， 即且． ∵105的个位数是5，m、n均为正整数，个位数为或， ∴的个位数得为或， ∵偶数，且是正整数， ∴的个位数只能为0， ∴是5的倍数， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，与题意不符； ∴． 答：学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个． 12．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹 (2)，甲、乙工作时间分别为5小时，4小时 【分析】（1）设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，根据表格中的等量关系列出方程组并解方程组即可； （2）设甲、乙工作时间为a、小时，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； （2）解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 14．（25-26七年级下·广东广州·期末）综合与实践 项目主题 均衡膳食  科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 (1)若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； (2)维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 【答案】(1)这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份 (2)共有2种运动方案，方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼；方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼 【分析】（1）设这份早餐中蛋清x份，燕麦y份，列方程组解答即可； （2）设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼，根据题意列方程，然后写出所有符合题意的结果即可． 【详解】（1）解：设这份早餐需要蛋清x份，燕麦y份． 根据题意，得 解得： 答：这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份． （2）解：设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼， 根据题意，得 ． ， a，b均为正整数， 或， 共有2种运动方案， 方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼； 方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼． 15．（25-26七年级下·山东淄博·期中）解答下列题目 (1)甲、乙两人从相距的两地相向而行．若甲先走，则他们在乙出发时相遇；若乙先走，则他们在甲出发相遇．甲、乙两人的速度各是多少？ 设甲、乙两人的速度分别是 ，，请完成下列表格： 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况（甲先走） 第二种情况（乙先走） (2)如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，，且，．    ①找出图中相互平行的线，并说明理由； ②证明：． (3)如图，，分别表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，此时，；光线经镜面反射后的反射光线为，此时，．试判断与的位置关系，并证明．    【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意可知第一种情况乙走了，甲比乙先走 ，相遇时甲共走了 ；第二种情况甲走了，乙比甲先走，相遇时乙共走了 ，然后根据路程等于速度乘以时间，求出甲和乙所走的路程，填表即可． （2）①由，，进而由平行线的性质证明，由此即可证明； ②由①得，则． （3），要证明，即要证明，即要证明，由已知条件证明＋＋，即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两人的速度分别是 ，，则由题意得： 甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和 第一种情况 （甲先走） 第二种情况 （乙先走） 根据题意列方程组得： ， 解得：， 所以甲、乙两人的速度分别为：、； （2）解：①，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②：由①得， ∴． （3），证明如下： ， ， ，，， ＋＋， ＋＋，＋＋， ， ． 压轴题型四、不等式组实际综合应用 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知甲种货物和乙种货物可装满一节A型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节B型货箱． (1)据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节A型货箱的运费是万元，每节B型货箱的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)共有3种方案 (2)安排A型货箱30节，B型货箱20节运费最少 【分析】（1）设安排A种货箱x节，则安排B种货箱节，根据题意列出不等式组，解不等式组即可； （2）分别求出三种方案的运费，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设安排A型货箱x节，则安排B型货箱节，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴，29，30， ∴共3种方案：安排A型货箱28节，B型货箱22节；安排A型货箱29节，B型货箱21节；安排A型货箱30节，B型货箱20节； （2）解：当安排A型货箱28节，B型货箱22节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱29节，B型货箱21节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱30节，B型货箱20节时，需要的运费为： （万元）； ∵， ∴安排A型货箱30节，B型货箱20节运费最少． 17．（2026·安徽芜湖·二模）年某春晚舞台采用了一种新型的“智能光阵”背景墙，由若干个发光单元按一定规律排列组成．这些发光单元分为两种：型（圆形）和型（星形）．设计师按照如下方式排列：第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；……即第奇数行全为型，数量等于行数；第偶数行全为型，数量等于行数． 一、基础探究 (1)按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为_______个，型发光单元的总数为_______个； (2)若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为_______个； 二、数量与成本计算 导演组调整规则：摆放共行，将前行（）全部设置为型，剩余第行到第行全部设置为型（每行发光单元数量仍等于行数）． (3)用含，的代数式表示：型发光单元总数为_______个，型发光单元总数为_______个； (4)已知型每个20元，型每个30元，则购买所有发光单元的总成本为_______元（用含，的代数式表示）； 三、优化设计 调整规则后，当摆放总行数时，结合预算和视觉效果要求，现要求满足条件：型发光单元的总数不少于型发光单元的总数且不超过型发光单元总数的2倍． (5)此时的值为_______； (6)此时的总成本为_______元． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) (6) 【分析】（1）根据题意，分别列出摆放至第行时，奇数行和偶数行的发光单元的排列方法，即可求解； （2）根据题意，分别列出摆放至第行时，奇数行和偶数行的发光单元的排列方法，即可求解； （3）结合调整后，每行发光单元数量仍等于行数，求出前行发光单元的总数和前行发光单元的总数，即可求解； （4）根据总价单价数量，列出代数式，即可求解； （5）先求出摆放总行数时，发光单元的总数为个，设型发光单元的总数为（个），则型发光单元的总数为（个），根据题意列出不等式，得出，通过检验可知，当时，，不满足；当时，，满足；当时，，不满足，因此； （6）求出时，，代入（4）中购买所有发光单元的总成本的代数式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：奇数行：第行个型；第行个型；第行个型； 故按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为（个）， 偶数行：第行个型；第行个型；第行个型； 故按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为（个）． （2）解：奇数行：第行个型；第行个型；第行个型；第行个型； 偶数行：第行个型；第行个型；第行个型；第行个型； 若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为（个）． （3）解：∵前行（）全部设置为型，每行发光单元数量等于行数， 则型发光单元总数为（个）． ∵摆放共行，每行发光单元数量等于行数， 则型和型发光单元总数为（个）， ∴型发光单元总数为（个）． （4）解：购买型发光单元的成本为（元）， 购买型发光单元的成本为（元）， 则购买所有发光单元的总成本为（元）． （5）解：调整规则后，当摆放总行数时，发光单元总数为（个）， 设型发光单元的总数为（个），则型发光单元的总数为（个）， 根据题意可得， 即， 整理得， 即，为整数，且满足． ∴， ∵，， ∴当时，，不满足，故舍去； 当时，，满足； 当时，，不满足，故舍去； 综上，． （6）解：由（5）可得：时，， 故总成本为（元）． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数 ______ a ______ (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了______元；C景点门票花费了______元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 【答案】(1)； (2)； (3)①；②元 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，根据“票价=人数单价”正确列出代数式是解题的关键． 利用题干中的数量关系即可表示出去A景点的人数，用总数A、B组的人数即可得到C的人数； 利用票价=人数单价分别列出代数式，再将代入计算即可得出结论； 求出b的代数式，利用已知条件求得a值，再将a值代入中的代数式b，计算即可得出结论． 【详解】（1）根据题意，可知A组人数：， C组人数：， 故答案为：； （2）当时，A景点门票花费：元， C景点门票花费：元， 故答案为：；；①用含有a的代数式表示b是：， （3）②已知购买B景点门票时付了元，且有一些零钱找回， ， 解得， 是整数 或14， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，， ， 元． 19．（25-26七年级下·福建泉州·期中） 项目 内   容 主 题 校园“碳中和”——班级绿色出行方案探究 背 景 出行方式：步行、骑自行车、乘公交车（三种方式均有人选择）； 碳排放量：步行（0kg /人）、骑自行车（0.2kg /人）、乘公交车（0.8kg/人）； 每班人数：45 人（每人每天恰好选择一种方式） 案例 条    件 案例一： （1班） ①乘公交车人数为5人；碳排放总量为 10kg． 案例二： （2班） ①骑自行车人数比乘公交车人数多10人； ②步行人数至少15人，不超过25人． 案例三： （3班） ①骑自行车人数是乘公交车人数的2倍； ②骑自行车人数至少12人； ③碳排放总量不超过10kg． 任务： (1)案例一中：求1班步行人数和骑自行车人数分别是多少人？ (2)案例二中：求2班碳排放总量的取值范围是多少？ (3)案例三中：求3班步行人数可能有多少人？ 【答案】(1)1班步行人数为10人，骑自行车人数为30人． (2)2班碳排放总量的取值范围是． (3)3班步行人数可能是21人，24人或27人． 【分析】根据总人数固定，结合不同出行方式的碳排放量规则，利用一元一次方程和一元一次不等式组一一求解． 【详解】（1）解：设1班步行人数为人， 则骑自行车人数为人． 由题意得， 解得， 骑自行车人数为（人）， 答：1班步行人数为10人，骑自行车人数为30人． （2）解：设2班乘公交车人数为人，碳排放总量为， 则骑自行车人数为人，步行人数为人． 由题意得， 解得， 碳排放总量 化简整理得， ∵， ∴， 答：2班碳排放总量的取值范围是． （3）解：设3班乘公交车人数为人， 则骑自行车人数为人，步行人数为人． 由题意得， 化简整理得， ∴， 又∵只能取正整数， ∴可取6，7，8， 当时，步行人数为（人）， 当时，步行人数为（人）， 当时，步行人数为（人）， 答：3班步行人数可能是21人，24人或27人． 20．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【答案】游戏分析：；；给出结论：或；游戏拓展：纸片上的数可能是或 【分析】本题考查的是不等式组的应用， 游戏分析：根据题意分析计算求和进而写出结论； 给出结论：根据分析内容汇总得出结论； 游戏拓展：结合上面的分析及结论，类别写出即可． 【详解】解：游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8， ，， ，解得：， 正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 故答案为：；；或； 游戏拓展：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为m、n、e、f，其中． 最小的两个数的和为6，最大的两个数的和为9， ，， ，解得：， 正整数，2，3． 当时，，则不满足最大的两个数的和为9这一条件，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，但它们的和出现的数6，9，不符合题意； 当时，，若，，它们的和出现的数； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 压轴题型五、方程组与不等式结合含参数问题 21．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 22．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 【答案】(1)集外点 (2) 【分析】本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法． 【详解】（1）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不在的解集内， 方程的解是集外点． （2）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 两边同乘2得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 方程的解是“集内点”， 满足，即， 的取值范围是． 23．（24-25七年级下·山西朔州·月考）综合与实践 已知关于的方程组， (1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． (2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． (3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小整数值为3 (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式． （1）利用加减消元法求得的解，再代入，求解即可； （2）将代入，利用加减消元法求得，再根据，解不等式，即可求解； （3）根据题意原方程组可化为，解得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程组， 将得③， ②得④， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴方程组的解为， 将代入得 ∴； （2）解：∵， ∴原方程组可化为， 得． ∵方程组的解满足， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3； （3）解：当时，原方程组可化为， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 24．（24-25七年级下·广西南宁·期末）阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）先求得方程的解，再计算不等式或不等式组的解，根据定义判定解答即可． （2）根据方程组得，根据定义，得，解不等式求a的取值范围即可； （3）解方程组得 不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【详解】（1）解： 解得； ①解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ②解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ③解不等式组，得，不是不等式组的解，不符合题意； 故答案为：①②． （2）解：根据方程组得， 根据定义，得， 解得． （3）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 由，得， 解得， 又x，y均为正数， 故， 解得， 故b的取值范围是． 【点睛】本题考查了解方程，解方程组，解不等式，解不等式组，熟练掌握定义，解方程，解不等式是解题的关键． 25．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案； （2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式组，解之可得答案；②根据子集方程的概念可得答案． 【详解】（1）解：①的解为， ②的解为， ③的解为， 由得， 由得：， 所以不等式组的解集为， 其中是不等式组的解的有，， 所以为不等式组的子集方程的是②③， 故答案为：②③； （2）①由得：， 由得：， 解方程得， 由题意知，， 解得； ②方程，都不是该不等式组的子集方程， 或，即， 故答案为：或． 压轴题型六、与立方根、平方根有关的规律探索 26．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解：，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 27．（2025·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 28．（24-25七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 29．（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 【答案】(1)15.6；158；； (2)；15； (3)这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 【分析】（1）根据表中数据结合算术平方根的特点求解即可； （2）求解，，再进一步求解即可； （3）设长方形宣传栏的宽是，则长是，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由表格可知，， ； ， ∴, ； ， ∴， ． （2）解：∵， 的平方根是； ∵， ∴与最接近的整数是； （3）解：设长方形宣传栏的宽是，则长是， ∴， ∴， 结合表中数据可得：， ∴， ∴这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 30．（24-25八年级上·福建漳州·月考）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 压轴题型七、实数运算的实际应用 31．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 32．（2025·四川攀枝花·模拟预测）卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 33．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·月考）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可； （2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可； （3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：；1； （2）解：∵，，，，…， ∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：， ∵， ∴ ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 34．（24-25七年级下·全国·期末）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 35．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 压轴题型八、图表数据分析压轴题 36．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________； (2)此调查的样本容量为_________； (3)若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 【答案】(1)5 (2)20 (3)200人 【分析】本题考查了频数分布表以及用样本估计总体，理解题意是解答本题的关键． （1）根据收集的数据求解即可求出的值； （2）根据收集的数据求解即可求解； （3）用总人数乘数学文化知识为“优秀” 的学生所占百分比即可． 【详解】（1）解：由收集数据可知，； 故答案为：5； （2）解：由收集数据可知，此调查的样本容量为20， 故答案为：20； （3）解：（人， 答：估计该校数学文化知识为“优秀” 的学生有200人． 37．（24-25七年级上·广东深圳·期末）整理错题是一种非常好的数学学习方法，在对做错的题目进行整理、分析、改正的过程中，有助于加深对知识的理解，实现内容快速查漏补缺，百外数学社团为了解九年级同学整理错题这一习惯的养成情况，随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，设计的问题是：对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是，将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题： (1)“很少”所占的百分比 “有时”对应扇形的圆心角度数为 ． (2)请补全条形统计图： (3)若百外有2000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？ 【答案】(1)、 (2)见解析 (3)720 【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）由“有时”的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用“很少”的人数除以被调查的人数可得a的值，用乘以“有时”对应的百分比即可； （2）总人数乘以“常常”对应的百分比求出其人数，从而补全图形； （3）总人数乘以样本中“总是”对应的百分比可得答案． 【详解】（1）解：本次被抽查的学生有（名）， “很少”所占的百分比， “有时”对应扇形的圆心角为， 故答案为：、； （2）解：“常常”对应的人数为（人）． 补全图形如下： （3）解：（名） 答：估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有720名． 38．（25-26八年级上·福建泉州·期末）为推进“智慧校园”建设，某校引入学习分析系统，用于监测学生每周使用学习平台的时长，以优化教学资源分配．系统随机抽取了该校八年级名学生，对其每周使用学习平台的时长进行了分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图提供的信息，回答下列问题： (1)m的值为___________； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，求学习时长为小时的扇形圆心角的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图，求扇形统计图的圆心角，正确读懂图中所给的数据对应的关系是解题的关键． （1）利用学习时长为3小时以上的人数除以所占百分比即可； （2）利用总人数乘以学习时长为小时的人数所占百分比，再补图即可； （3）利用乘以学习时长为小时的占比即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解： 故学习时长为小时的扇形圆心角的度数为． 39．（25-26七年级上·广东深圳·期末）某校七（1）班开展“周末实践”活动，设置了A．社区服务，B．家庭劳动，C．体育健康，D．社会调查四大实践主题．现对该七（1）班全班学生的周末实践主题进行统计，根据统计结果绘制成如图1和图2所示的两个统计图．请按相关要求解答下列问题： (1)该校七（1）班全班学生的人数是________人； (2)请在图1中补全该调查结果的条形统计图； (3)若该校七年级共有700名学生，请估计选择“D．社会调查”的学生人数是多少？ (4)从统计图中分析，该校七年级学生选择“D．社会调查”的人数明显少于其他三类主题的人数．请你合理分析，并简述出现上述现象的原因． 【答案】(1)40 (2)见解析 (3)70人 (4)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据A的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）计算出B的人数，补充条形统计图即可； （3）根据样本估计总体即可解答； （4）结合实际，合理说明理由即可． 【详解】（1）解：该校七（1）班全班学生的人数是人； 故答案为：； （2）解：B组人数为人， 补全条形统计图如下： （3）（人） 答：选择“D．社会调查”的学生人数为70人； （4）解：因为“D．社会调查”这个主题的实践活动实操难度大、耗时长，不如其他主题的实践活动容易完成，而且缺乏具体的选题方面、调研方法等方面的指导，学生不知如何进行“D．社会调查”这个主题的实践活动，所以选择该主题的学生较少．（答案不唯一） 40．（25-26七年级下·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． 【答案】(1)，，统计图见解析 (2) (3)2020年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长．（合理即可） 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用频数分布表．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息． （1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用乘以D等级人数所占的百分比得出等级D所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图； （3）根据年中国跨境电商出口规模及预测图解答即可． 【详解】（1）解：本次共调查名学生， 故答案为：，． （2）解：扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为， 故答案为：； （3）从年中国跨境电商出口规模及预测图中发现，年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长． 压轴题型九、根据平行线判定与性质证明 41．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，已知，垂足分别为． 求证： 证明： （   ） ∴（   ）（   ） （   ） （   ） （   ） （   ） （   ） 【答案】见解析 【分析】根据题干信息完善推理依据与推理过程即可． 【详解】解：证明： （垂直的定义） ∴（）（同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 42．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）类比内错角的定义，我们定义外错角．如图1，直线，被直线所截，与在直线的外部，并且分别在直线的两侧，具有与这种位置关系的角我们称之为外错角． (1)请在图1中找出另一对外错角； (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图2，若，求证：，并归纳出一个真命题（用文字叙述）． 【答案】(1)与 (2) (3)证明见解析；外错角相等，两直线平行． 【分析】（1）根据外错角的定义写出答案即可； （2）根据平行线的性质得到，再利用对顶角相等即可得到答案； （3）根据已知条件和对顶角相等得到，再根据平行线的判定即可得到结论，再写出真命题即可． 【详解】（1）解：由外错角的定义得到与是外错角， 故答案为：与 （2）解：∵， ∴， ∴ （3）证明：∵， ∴， ∴ 真命题为：外错角相等，两直线平行． 43．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知，E、F分别为直线上的两点，点G、H为直线与之间的两点． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），与的平分线与交于点H，若，求的度数； (3)如图（3），平分，平分，平分，平分，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点G作，根据两直线平行内错角相等可证得结论； （2）由（1）中的结论得，求出，根据分别平分和，得到，同理（1）得，即可求解； （3）由（1）得，，根据平分，平分，平分，平分，分别得到，，结合，于是可求出，，代入，计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点G作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：由（1）中的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴， 同理（1）得， ∴； （3）解：∵平分，平分，平分，平分， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．（25-26七年级下·青海西宁·期中）如图，已知两条射线，动线段的两个端点分别在射线，上，，点在线段上，平分． (1)请在图中找出与相等的角，并说明理由． (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． (3)判断和的数量关系，并说明若平行移动，则和的数量关系是否随着位置的变化而变化？若变化，找出变化规律． 【答案】(1)、，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)和的数量关系不随着位置的变化而变化， 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据，推出，结合平行线的性质，即可解答； （2）根据平行线的性质得出，，根据，得出，即可解答； （3）根据角平分线的定义得出，根据，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上：与相等的角有、； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：和的数量关系不随着位置的变化而变化， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（25-26七年级下·山东泰安·期中）按要求完成下列各题： 问题情景： (1)如图1，已知，． ①请对说明理由； ②请对说明理由． 迁移应用： (2)如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解:①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ，， ， ， ； （2）如图所示，，，的顶点分别为，，， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 压轴题型十、平行线的性质在生活中的应用 46．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45° 【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数； （2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°． 【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H， 则l∥m， 根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°， 又∠HDE=90°， ∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°． （2）如图所示， 设∠DMN=x，∠CDM=y， 由于DE∥FN， ∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x， 又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°， 则x-y=45°， 即∠DMN-∠CDM=45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键． 47．（24-25七年级下·河北保定·阶段检测）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 48．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 49．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 (3)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 分现况情况讨论： 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时的值为9或27； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 50．（24-25七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100° (2)见解析 (3)的值或或． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分三种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当回转时，时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． $期末易错压轴题型（32易错+10压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、对顶角、邻补角、余角补角概念 易错题型二、角度计算 易错题型三、垂直、垂线段最短 易错题型四、三线八角 易错题型五、平行线的判定与性质 易错题型六、点到直线距离 易错题型七、平行线拐点模型中角度计算 易错题型八、图形的平移 易错题型九、求一个数的平方根 易错题型十、求一个数的算术平方根 易错题型十一、求一个数的立方根 易错题型十二、无理数的大小估算 易错题型十三、实数的大小比较 易错题型十四、实数的混合运算 易错题型十五、与实数运算相关的规律题 易错题型十六、已知点所在的象限求参数 易错题型十七、写出直角坐标系中点的坐标 易错题型十八、用坐标表示地理位置 易错题型十九、已知图形的平移，求点的坐标 易错题型二十、坐标系中的平移 易错题型二十一、判断是否是二元一次方程组的解 易错题型二十二、二元一次方程组的解 易错题型二十三、二元一次方程组求参计算 易错题型二十四、二元一次方程组看错系数问题 易错题型二十五、不等式性质 易错题型二十六、不等式的解集 易错题型二十七、在数轴上表示不等式的解集 易错题型二十八、求一元一次不等式的整数解 易错题型二十九、不等式含参数计算 易错题型三十、总体、个体、样本、样本容量 易错题型三十一、求扇形统计图的圆心角 易错题型三十二、选择合适的统计图 压轴题型一、平行线中多拐点角度推理 压轴题型二、坐标系几何综合应用 压轴题型三、二元一次方程组实际应用 压轴题型四、不等式组实际综合应用 压轴题型五、方程组与不等式结合含参数问题 压轴题型六、与立方根、平方根有关的规律探索 压轴题型七、实数运算的实际应用 压轴题型八、图表数据分析压轴题 压轴题型九、根据平行线判定与性质证明 压轴题型十、平行线的性质在生活中的应用 易错题型一、对顶角、邻补角、余角补角概念 1．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，直线，相交于点O，若，则等于______． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 易错题型二、角度计算 4．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，直线a，b相交于点O，已知，则______________°． 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，两条直线相交，．求的度数． 易错题型三、垂直、垂线段最短 7．（2026·陕西安康·二模）如图，直线，交于点O，且于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点O在直线上，点E，F是直线外的点，连接，，，且，过点E作于点M，则点E到的距离是线段_________的长度． 9．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 易错题型四、三线八角 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 11．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，直线b，c被直线a所截，若，则的同位角等于______度． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 易错题型五、平行线的判定与性质 13．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，小明设计了“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图，上述方法是通过作得到，其中判定的依据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 14．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________． 15．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，点，分别在，上，于点，，，求证：．请补全下列解题过程． 证明：（已知）， （___________①） 又（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （___________②）， 又（平角的定义）， （等式的性质）， 又（已知）， （___________③）， （___________④）． 易错题型六、点到直线距离 16．（2026·贵州贵阳·一模）如图，在中，，点在上，于点，则可以表示点到线段的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 17．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，已知三角形中，则表示点到直线的距离是线段_________的长度． 18．（25-26七年级下·北京·期中）如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 易错题型七、平行线拐点模型中角度计算 19．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 21．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）已知一个角的两边分别与另外一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢？小明根据题意设计了如下的试题：已知，，试判断下列两个图中与的数量关系． (1)填空：图①中______；图②中：______． (2)请选择（1）中的一条结论进行证明． 易错题型八、图形的平移 22．（25-26七年级下·陕西延安·期中）被称为“算经之首”的《九章算术》最重要的数学成就之一是建立了算筹的十进位值制记数法．下图表示纵式中的数字9，下列图形中，能由下图通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 24．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 易错题型九、求一个数的平方根 25．（25-26七年级下·吉林·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）4的算术平方根是_______；4的平方根是_______． 27．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求的平方根． 易错题型十、求一个数的算术平方根 28．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）2的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 29．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）计算：________． 30．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知正数m的两个不同的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 易错题型十一、求一个数的立方根 31．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）计算：（     ） A． B．2 C． D．4 32．（24-25七年级下·全国·期末）已知，，则_______． 33．（25-26七年级下·天津北辰·期中）计算： (1)； (2)． 易错题型十二、无理数的大小估算 34．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在数轴上，对应的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 35．（2026·重庆南岸·模拟预测）若为正整数，且满足，则________． 36．（25-26七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 易错题型十三、实数的大小比较 37．（25-26七年级下·山东烟台·期中）在，0，1，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 38．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 39．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某班欲装饰教室黑板旁边的班级事务栏，准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形工件，用于设计班级事务栏的标题． (1)求正方形工料的边长； (2)若要求裁下的长方形工件的长、宽之比为，请问是否能裁出满足要求的长方形工件？ 易错题型十四、实数的混合运算 40．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知a、b为有理数，满足，则的值为（    ） A． B．7 C．15 D． 41．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知A，B，C是数轴上的三个点，A是的中点．若点A表示的数是，点B表示的数是，则点C表示的数是______． 42．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 易错题型十五、与实数运算相关的规律题 43．（24-25七年级下·山东德州·月考）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 45．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 易错题型十六、已知点所在的象限求参数 46．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点到轴的距离是5，则的值为（   ） A． B．2或 C．2 D．5 47．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）若点在y轴上，则m的值为____． 48．（25-26七年级下·天津红桥·期中）已知：点． (1)点轴的距离为1，求点的坐标； (2)点，且轴，求点的坐标． 易错题型十七、写出直角坐标系中点的坐标 49．（24-25八年级上·山东·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级下·北京·期中）在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 51．（25-26七年级下·湖南常德·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱． (1)如图，若在象棋棋盘上建平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出上述平面直角坐标系中“兵”点的坐标． 易错题型十八、用坐标表示地理位置 52．（2026·贵州贵阳·一模）如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（    ） A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 53．（25-26七年级下·陕西安康·期中）为对公园古树进行系统养护，园林部门计划建立相关的地理信息系统，确定古树的位置．工作人员从公园大门出发，向北走到达古树A，再向西走到达古树B，若选取公园大门为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长，则古树B的坐标为___________． 54．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）为让每个农村孩子都能上学，国家实施了“农村中小学寄宿制学校建设工程”，如图是某寄宿制学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系： (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (3)写出食堂、图书馆、宿舍楼的坐标． 易错题型十九、已知图形的平移，求点的坐标 55．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 56．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 57．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，，，，将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出三角形，并写出，，的坐标． 易错题型二十、坐标系中的平移 58．（25-26七年级下·河北雄安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线轴，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．（25-26七年级下·广东佛山·期中）在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 60．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 易错题型二十一、判断是否是二元一次方程组的解 61．（25-26七年级下·山东烟台·期中）实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 62．（25-26七年级下·北京·期中）观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 63．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 易错题型二十二、二元一次方程组的解 64．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（  ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 65．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，则_____________． 66．（25-26七年级下·北京顺义·期中）按要求解方程组： (1)用“代入消元法”解方程组： (2)用"加减消元法"解方程组： 易错题型二十三、二元一次方程组求参计算 67．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 68．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x和y的二元一次方程组的解满足，则__________． 69．（24-25八年级上·广东佛山·月考）已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 易错题型二十四、二元一次方程组看错系数问题 70．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 71．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 72．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组时的运算步骤回答下面的问题． 解：由，得，    …第一步 ，得，        …第二步 得．        …第三步 把代入①，得，    …第四步 所以原方程组的解为 (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误（填一、二、三、四）； (2)请你写出正确的解方程组的过程． 易错题型二十五、不等式性质 73．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 74．（25-26七年级下·贵州毕节·期中）若，，则的取值范围是_____． 75．（25-26七年级下·广东梅州·期中）按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 易错题型二十六、不等式的解集 76．（25-26七年级下·重庆·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 77．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 78．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 易错题型二十七、在数轴上表示不等式的解集 79．（2026·贵州遵义·模拟预测）一元一次不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 80．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，用不等式表示数轴上所示的解集是______． 81．（25-26七年级下·广东深圳·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 易错题型二十八、求一元一次不等式的整数解 82．（25-26七年级下·湖南湘潭·阶段检测）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 83．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式的最小整数解是______． 84．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 易错题型二十九、不等式含参数计算 85．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 86．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果，那么不等式组的解集是， ②如果不等式组的解集是，那么， ③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么， ④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________． 87．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，则a的值为______； (2)若该不等式组无解，求a的取值范围． 易错题型三十、总体、个体、样本、样本容量 88．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）为了解某市八年级学生每天体育运动时间，从该市八年级学生中抽取100名学生进行调查．下列叙述错误的是（     ） A．被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本 B．该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体 C．该市每个八年级学生每天体育运动的时间是个体 D．样本容量是100名 89．（25-26七年级下·江苏南京·期中）为了解某市90000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为______． 90．（25-26八年级上·河南周口·期末）某校八年级学生参加“汉字听写大赛”，成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，随机抽取部分学生的成绩统计如下表： 等级 优秀 良好 合格 不合格 人数 15 25 10 5 (1)求本次抽取的学生人数； (2)求“良好”等级的人数所占的百分比，精确到． 易错题型三十一、求扇形统计图的圆心角 91．（24-25七年级下·浙江温州·期末）学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（．科普，．文学，．体育，．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（    ） A．样本容量为 B．类型所占百分比为 C．类型的人数为人 D．类型所对应扇形的圆心角度数为 92．（25-26七年级下·江苏常州·期中）小明平均每天用于学习、睡眠、参加班级的各类活动、用餐及其他的时间如下： 项目 学习 睡眠 活动 用餐 其他 合计 时间/h 8 9 4 1 2 24 小明根据上述数据制作扇形统计图，表示学习项目的扇形的圆心角度数为________． 93．（2026·江苏宿迁·一模）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了________名学生，________； (2)补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________； (3)若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 易错题型三十二、选择合适的统计图 94．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）要考查一个学生一年级到六年级的学习成绩进步变化情况，采用（    ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 95．（25-26七年级下·江苏南京·期中）八年级个班开展“学雷锋做好人好事”活动，为了清楚表明四月份各班做好人好事的件数，最好选用______统计图． 96．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面数据分别用哪种统计图表示比较合适？ (1)某城市家庭人口数情况如下表所示．选用（    ）统计图比较合适． 家庭 两口之家 三口之家 四口之家 五口之家 六口之家 其他 百分比 (2)我国七次人口普查全国人口数变化情况如下表所示．选用（    ）统计图比较合适． 年份 1953 1964 1982 1990 2000 2010 2020 人口 5.83亿 6.95亿 10.08亿 11.34亿 12.66亿 13.40亿 14.12亿 (3)世界四大洋的面积如下表所示．选用（    ）统计图比较合适． 海洋名称 太平洋 大西洋 北冰洋 印度洋 面积/万平方千米 18134.4 7676.2 1475 7144.8 压轴题型一、平行线中多拐点角度推理 1．（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图①，，为与之间一点，连接，过点作，与相交于点． (1)试说明：； (2)如图②，若点在的上方，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出正确的结论并说明理由； (3)如图③，若点在的下方，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由：如果不成立，请直接写出正确的结论． 2．（25-26七年级下·河南郑州·月考）【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． (1)如图1，若入射光线与最终的反射光线平行，两块平面镜应如何摆放？ (2)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数； (3)如图2，当光线经过处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，并调整平面镜的位置，最终使．则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 3．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）问题探究：如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点作， ___________， ，， （___________）， ___________（___________）， ， 即； (2)请按李思同学的思路，在图③中补全图形并写出证明过程； 证明：过点作，交的延长线于点， …… (3)问题迁移：如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 5．（25-26七年级下·上海闵行·月考）我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 压轴题型二、坐标系几何综合应用 6．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______； (2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式． 8．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中，，． (1)将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，直接写出平移后三个点的坐标是（_______），（_______），（_______）． (2)若将三角形进行平移后，使点平移到位置，得到三角形，请在图中画出三角形． 9．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知点，点，点，且． (1)求、两点的坐标： (2)将线段平移到线段，点对应点，点对应点． ①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积； ②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，点在直线上，设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，直接写出的值． 10．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点A，B的坐标分别为，． (1)直接写出点C的坐标为________； (2)平移三角形，将点C移动到点，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E，在平面直角坐标系中画出三角形； (3)连接，，直接写出三角形的面积． 压轴题型三、二元一次方程组实际应用 11．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 12．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 14．（25-26七年级下·广东广州·期末）综合与实践 项目主题 均衡膳食  科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 (1)若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； (2)维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 15．（25-26七年级下·山东淄博·期中）解答下列题目 (1)甲、乙两人从相距的两地相向而行．若甲先走，则他们在乙出发时相遇；若乙先走，则他们在甲出发相遇．甲、乙两人的速度各是多少？ 设甲、乙两人的速度分别是 ，，请完成下列表格： 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况（甲先走） 第二种情况（乙先走） (2)如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，，且，．    ①找出图中相互平行的线，并说明理由； ②证明：． (3)如图，，分别表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，此时，；光线经镜面反射后的反射光线为，此时，．试判断与的位置关系，并证明．    压轴题型四、不等式组实际综合应用 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知甲种货物和乙种货物可装满一节A型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节B型货箱． (1)据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节A型货箱的运费是万元，每节B型货箱的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 17．（2026·安徽芜湖·二模）年某春晚舞台采用了一种新型的“智能光阵”背景墙，由若干个发光单元按一定规律排列组成．这些发光单元分为两种：型（圆形）和型（星形）．设计师按照如下方式排列：第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；……即第奇数行全为型，数量等于行数；第偶数行全为型，数量等于行数． 一、基础探究 (1)按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为_______个，型发光单元的总数为_______个； (2)若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为_______个； 二、数量与成本计算 导演组调整规则：摆放共行，将前行（）全部设置为型，剩余第行到第行全部设置为型（每行发光单元数量仍等于行数）． (3)用含，的代数式表示：型发光单元总数为_______个，型发光单元总数为_______个； (4)已知型每个20元，型每个30元，则购买所有发光单元的总成本为_______元（用含，的代数式表示）； 三、优化设计 调整规则后，当摆放总行数时，结合预算和视觉效果要求，现要求满足条件：型发光单元的总数不少于型发光单元的总数且不超过型发光单元总数的2倍． (5)此时的值为_______； (6)此时的总成本为_______元． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数 ______ a ______ (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了______元；C景点门票花费了______元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 19．（25-26七年级下·福建泉州·期中） 项目 内   容 主 题 校园“碳中和”——班级绿色出行方案探究 背 景 出行方式：步行、骑自行车、乘公交车（三种方式均有人选择）； 碳排放量：步行（0kg /人）、骑自行车（0.2kg /人）、乘公交车（0.8kg/人）； 每班人数：45 人（每人每天恰好选择一种方式） 案例 条    件 案例一： （1班） ①乘公交车人数为5人；碳排放总量为 10kg． 案例二： （2班） ①骑自行车人数比乘公交车人数多10人； ②步行人数至少15人，不超过25人． 案例三： （3班） ①骑自行车人数是乘公交车人数的2倍； ②骑自行车人数至少12人； ③碳排放总量不超过10kg． 任务： (1)案例一中：求1班步行人数和骑自行车人数分别是多少人？ (2)案例二中：求2班碳排放总量的取值范围是多少？ (3)案例三中：求3班步行人数可能有多少人？ 20．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 压轴题型五、方程组与不等式结合含参数问题 21．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 22．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 23．（24-25七年级下·山西朔州·月考）综合与实践 已知关于的方程组， (1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． (2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． (3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 24．（24-25七年级下·广西南宁·期末）阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 25．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 压轴题型六、与立方根、平方根有关的规律探索 26．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 27．（2025·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 28．（24-25七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 29．（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 30．（24-25八年级上·福建漳州·月考）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 压轴题型七、实数运算的实际应用 31．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 32．（2025·四川攀枝花·模拟预测）卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 33．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·月考）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 34．（24-25七年级下·全国·期末）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 35．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 压轴题型八、图表数据分析压轴题 36．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________； (2)此调查的样本容量为_________； (3)若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 37．（24-25七年级上·广东深圳·期末）整理错题是一种非常好的数学学习方法，在对做错的题目进行整理、分析、改正的过程中，有助于加深对知识的理解，实现内容快速查漏补缺，百外数学社团为了解九年级同学整理错题这一习惯的养成情况，随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，设计的问题是：对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是，将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题： (1)“很少”所占的百分比 “有时”对应扇形的圆心角度数为 ． (2)请补全条形统计图： (3)若百外有2000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？ 38．（25-26八年级上·福建泉州·期末）为推进“智慧校园”建设，某校引入学习分析系统，用于监测学生每周使用学习平台的时长，以优化教学资源分配．系统随机抽取了该校八年级名学生，对其每周使用学习平台的时长进行了分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图提供的信息，回答下列问题： (1)m的值为___________； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，求学习时长为小时的扇形圆心角的度数． 39．（25-26七年级上·广东深圳·期末）某校七（1）班开展“周末实践”活动，设置了A．社区服务，B．家庭劳动，C．体育健康，D．社会调查四大实践主题．现对该七（1）班全班学生的周末实践主题进行统计，根据统计结果绘制成如图1和图2所示的两个统计图．请按相关要求解答下列问题： (1)该校七（1）班全班学生的人数是________人； (2)请在图1中补全该调查结果的条形统计图； (3)若该校七年级共有700名学生，请估计选择“D．社会调查”的学生人数是多少？ (4)从统计图中分析，该校七年级学生选择“D．社会调查”的人数明显少于其他三类主题的人数．请你合理分析，并简述出现上述现象的原因． 40．（25-26七年级下·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． 压轴题型九、根据平行线判定与性质证明 41．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，已知，垂足分别为． 求证： 证明： （   ） ∴（   ）（   ） （   ） （   ） （   ） （   ） （   ） 42．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）类比内错角的定义，我们定义外错角．如图1，直线，被直线所截，与在直线的外部，并且分别在直线的两侧，具有与这种位置关系的角我们称之为外错角． (1)请在图1中找出另一对外错角； (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图2，若，求证：，并归纳出一个真命题（用文字叙述）． 43．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知，E、F分别为直线上的两点，点G、H为直线与之间的两点． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），与的平分线与交于点H，若，求的度数； (3)如图（3），平分，平分，平分，平分，若，求的度数． 44．（25-26七年级下·青海西宁·期中）如图，已知两条射线，动线段的两个端点分别在射线，上，，点在线段上，平分． (1)请在图中找出与相等的角，并说明理由． (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． (3)判断和的数量关系，并说明若平行移动，则和的数量关系是否随着位置的变化而变化？若变化，找出变化规律． 45．（25-26七年级下·山东泰安·期中）按要求完成下列各题： 问题情景： (1)如图1，已知，． ①请对说明理由； ②请对说明理由． 迁移应用： (2)如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 压轴题型十、平行线的性质在生活中的应用 46．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 47．（24-25七年级下·河北保定·阶段检测）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 48．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 49．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 50．（24-25七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． $