精品解析：河南南阳市九师联盟2026届高三考前自测数学试题

数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 2. 已知复数满足为纯虚数，则（ ） A. 13 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数运算法则化简，再结合复数的模求解. 【详解】因为， 又为纯虚数，所以且，解得， 所以． 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线方程计算即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 所以，即． 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 135 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 5. 已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为， 则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且， 所以，所以， 所以． 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 7. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】 由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 8. 已知函数，，，，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，，， 所以有4个实数解，即有根1，2，3，4， 设， 当时，，解得，所以，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将的图象向右平移个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D. 的图象与的图象在内有4个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，对A和B，利用正弦函数的性质，代入检验，即可求解；对C，利用图象的平移变换，即可求解；对D，在同坐标系中作出两函数的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于A，由题意知， 因为，故不是的对称轴，所以A错误， 对于B，因为，故的图象关于点对称，所以B正确， 对于C，将的图象向右平移个单位长度后，得到， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，故C错误， 对于D，在同坐标系中，作出与在内的图象， 由图可知的图象与的图象在内有4个交点，故D正确． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（ ） A. C的短轴长为 B. 四边形的周长为8 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，椭圆短轴长为，直接排除；选项B，利用椭圆定义和中心对称，四边形周长为；选项C，由，用均值不等式可求最小值为；选项D，利用椭圆对称性设点，通过斜率关系结合椭圆方程推导的值，再由推出，从而证. 【详解】选项A，由题意知椭圆的短轴长为，A错误； 选项B，根据椭圆定义，，因为Q是P关于原点的对称点，所以， 则四边形的周长为，B正确； 选项C，由选项B，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，C正确； 选项D，设，则，，， 所以，， 又， 所以，故，D正确． 11. 定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用条件①②求出等特殊值，验证选项A、B；再通过迭代递推与条件①推导的表达式，验证选项C；最后利用条件②求出与，结合单调性得到的值，验证选项D． 【详解】对于A，因为，所以，即， 因为，所以， A正确； 对于B，因为，所以，解得， 因为，所以，解得，B错误； 对于C，因为， 所以，C正确； 对于D，因为， 且， 所以， 因为当时，，且， 所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为 ，且 ， 则 _______ 【答案】 【解析】 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为，所以，， 由得， 即，解得或－1（舍）， 所以． 13. 已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由轴截面为等边三角形求出圆锥底面半径与圆锥高的关系，求出圆锥的体积、球的体积即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为， 因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为，球的体积， 所以，解得． 14. 在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，化简得到，令，利用导数求得函数单调性和最小值，进而得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，即， 又因为的面积，故， 所以，其中， 令，所以， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增， 所以，即，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为1． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． 【小问2详解】 由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 16. 甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲． （1）求第3次射箭的人是甲的概率； （2）甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 记“第3次射箭的人是甲”为事件A，所以，即第3次射箭的人是甲的概率为． 【小问2详解】 由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）． （1）若平面ABC，求证：； （2）若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行性质推得线线平行，结合向量线段比例关系，借助相似三角形比例证得线段倍数关系； （2）依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角公式列方程求解参数，再利用等体积转化与线段比例，算出几何体体积． 【小问1详解】 在中，点是棱的中点，点满足，所以是的重心， 连接，并延长交于点，连接，如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面PEF， 所以，所以，即． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 又，，所以， 所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 设平面BCD的法向量为， 又，， 所以，令，得， 设， 所以， 所以， 解得，所以， 所以三棱锥的体积． 18. 已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． （1）若C的焦点恰好是的垂心，求； （2）若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得； （2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证； （ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，所以 ，，， 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点． （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，由，得，解得或， 即，或，， 故，又，点到直线MN的距离为， 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为． 19. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）若，设是在区间内的根，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出，进而求出的图象在处的切线方程； （2）根据，分离常数得到，再根据导数分析函数的单调性，进而得到a的取值范围 （3）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用零点存在定理可知存在唯一，求得，证明出，结合函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 若，则 ，所以 ， ，所以 ， 所以的图象在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 当时，则有恒成立，此时； 当时，，则， 令，， 则， 故在上单调递增， 则，所以，即a的取值范围是． 【小问3详解】 若，则 ，则 . 因为是的根，所以. 因为，则，所以， 所以在上单调递减， 因为 ， ， 所以存在唯一的，使得， 所以，则， 所以 ，， ，， 且函数在上单调递减，故，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足为纯虚数，则（ ） A. 13 B. 5 C. D. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 135 B. 15 C. D. 5. 已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为， 则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 12 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，，，则（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将的图象向右平移个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D. 的图象与的图象在内有4个交点 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（ ） A. C的短轴长为 B. 四边形的周长为8 C. 的最小值为 D. 11. 定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为 ，且 ， 则 _______ 13. 已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 14. 在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 16. 甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲． （1）求第3次射箭的人是甲的概率； （2）甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）． （1）若平面ABC，求证：； （2）若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 18. 已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． （1）若C的焦点恰好是的垂心，求； （2）若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 19. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）若，设是在区间内的根，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $