命题大赛 广东广州市2025-2026学年下学期高一数学期末模拟试卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 2025-2026学年广州高一期末模拟卷，满分150分，通过原创题（如圆台体积、多面体问题）与实际情境（宿舍满意度调查、法治知识比赛），考查数学眼光（空间观念）、思维（推理运算）、语言（数据意识），梯度覆盖基础与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、解三角形、分层抽样|基础概念辨析，如第5题分层抽样结合实际人数| |多选题|3/18|复数性质、三角形判定|多角度辨析，如第10题三角形存在性与形状判断| |填空题|3/15|向量投影、三角形面积、概率|原创情境，如第13题三角形面积计算| |解答题|5/77|统计直方图、立体几何翻折|综合应用，第19题翻折问题融合体积、线面角、二面角，层次递进|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的除法运算  求复数的实部与虚部 0.85 2 单选题 5 平面向量的混合运算  向量加法的法则  用基底表示向量  向量减法的法则 0.85 3 单选题 5 台体体积的有关计算 0.85 4 单选题 5 正弦定理解三角形 0.94 5 单选题 5 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 0.85 6 单选题 5 概率的基本性质  利用对立事件的概率公式求概率 0.85 7 单选题 5 线面关系有关命题的判断  面面关系有关命题的判断  充分条件 0.85 8 单选题 5 二倍角的正弦公式  数量积的坐标表示 0.65 9 多选题 6 共轭复数的概念及计算  求复数的模  求复数的实部与虚部  复数的乘方 0.82 10 多选题 6 正弦定理解三角形  正弦定理判定三角形解的个数  余弦定理解三角形 0.65 11 多选题 6 几何体表面积体积的有关计算  外接球问题 线面垂直的判定定理及性质定理 0.4 12 填空题 5 数量积的坐标表示  求投影向量 0.82 13 填空题 5 已知正（余）弦求余（正）弦  三角形面积公式及其应用  余弦定理解三角形 0.85 14 填空题 5 独立事件的乘法公式  互斥事件的概率加法公式 0.65 15 解答题 13 复数的除法运算  共轭复数的概念及计算  求复数的模 0.84 16 解答题 15 平面向量线性运算的坐标表示  数量积的坐标表示  坐标计算向量的模  由向量共线（平行）求参数 0.85 17 解答题 15 计算几个数的平均数  总体百分位数的估计  计算几个数据的极差、方差、标准差 0.65 18 解答题 17 正弦定理边角互化的应用  三角形面积公式及其应用  余弦定理解三角形 0.56 19 解答题 17 锥体体积的有关计算  求线面角  求二面角 0.44 $ 2025-2026学年第二学期广州高一期末考试模拟试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．复数的虚部是（   ） A． B．i C． D．1 2．在中，若，则（ ） A． B． C． D． 3．（原创）已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为，母线长为，则这个圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（    ） A．30° B． C．或 D．60°或120° 5．某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高一年级学生人数为（    ） A．18 B．20 C．22 D．30 6．已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知平面和平面不重合，直线m和n不重合，则的一个充分条件是（    ）. A．且 B．且 C．且 D．且 8．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．复数的实部和虚部之和为3 B．复数的共轭复数为 C． D．复数为纯虚数 10．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C．若，则是钝角三角形 D．若，则为等腰的三角形 11．（原创）如图所示的多面体中，底面为菱形，，平面，，.则下面选项中正确的是（ ） 直线与平面所成夹角的余弦值为 该多面体表面积为 该多面体外接球半径为 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 13．（原创）在中，在中，，，，则的面积为______. 14．甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为_____，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为_____. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 15．（本小题满分13分） 已知， 求 (1)； (2). 16．（本小题满分15分） 已知. (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的坐标. 17．（本小题满分15分） 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 18．（本小题满分17分） 记中的内角所对的边分别为，且 (1)求; (2)设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 19．（本小题满分17分） 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 第6页，共9页 第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期广州高一期末考试模拟试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C C A D A BCD AC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】将给出的复数化为标准形式，根据虚部的定义可求解. 【详解】，根据虚部的定义可知复数的虚部为， 2．A 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算计算即可. 【详解】由，得. . 3．A 解：设圆台上底面的半径为，下底面半径为，则有， 解得. 圆台的体积为 故选：A. 4．C 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为，，，由正弦定理得， 所以，所以或， 则或. 故选：C. 5．C 【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比，然后可得答案. 【详解】该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比为 所以抽取的高一年级学生人数为 故选：C 6．A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及概率的基本性质求解. 【详解】由，得， 又，则，而， 所以. 故选：A 7．D 【分析】根据空间中直线、平面的平行关系进行逐项判断即可. 【详解】A．若且，此时和可以相交或平行，故错误； B．若且，此时和可以相交或平行，故错误； C．若且，此时和可以相交或平行，故错误； D．若且，则有，两个不同平面和同一直线垂直，则两平面平行，所以，故正确； 故选：D. 8．A 【分析】设，分别求出点的坐标，再根据题意即可得出不等式，解出即可. 【详解】设，所以点，，所以 ，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1. 故选：A. 9．BCD 【详解】由题知，所以复数的实部与虚部之和为1+1=2，A错误； 复数的共轭复数，B正确； ，C正确； ，为纯虚数，D正确. 10．AC 【详解】若，则，由正弦定理得，故A正确； 因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确； 若，而为三角形内角， 则或 ，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，D错误． 11．BCD 解析：由题知，为等边三角形，易知，，连接与交于点，由菱形知.因为平面，平面，即，又因，可得到平面，则与平面所成夹角为. 平面，平面，即，，同理可知，，，.A选项正确 该多面体由一个菱形，四个全等的直角三角形和两个全等的等腰三角形组成。因为且，知四边形是平行四边形，. 在等腰三角形中，边上的高为，故表面积 ，故B选项错误. 取中点为，中点为，易知平行四边形中，可知四边形为正方形，故，是菱形的中心，，即平面，故，可知就是该多面体外接球球心，半径为.C选项正确. .D选项正确. 12． 【详解】解：因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 13． 【详解】因为，，可知，由正弦定理可知,，得或，又因为，可知，即. ，. 14． /0.6 /0.6075 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，是甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分两个互斥事件的和事件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率加法公式解方程可求的值；事件“梦队在比赛中得分不低于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“梦队在比赛中得分不低于6分”，“甲在自主投篮环节得k分”（），“乙在自主投篮环节得分”，由题意可知相互独立， 则， 且事件，，，，两两互斥，则 . 故答案为：；. 15．(1) (2) 【分析】（1）通过复数除法计算，再根据共轭复数的定义得到. （2）利用复数模的性质，分别计算分子和分母的模后再相除. 【详解】（1）由已知，可得， 则 5分 因此. 6分 （2）根据复数模的性质，代入已知得： ， 9分 因此： 13分 16．(1) (2)或 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解； （2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可. 【详解】（1）已知，解得，. 3分 由，代入坐标得：， 5分 则，解得：； 7分 （2）设（为实数）， 8分 由，可得： 10分 解得，即或， 13分 所以或. 15分 17．(1) (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 2分 解得， 3分 前三个矩形的面积之和为， 5分 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. 7分 （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 8分 成绩落在的频率为， 9分 所以，， 12分 . 15分 18．(1) (2) 【分析】（1）利用两角差公式和三角形内角和，将等式左边进行化简，再利用正弦定理，即可得角； （2）利用中线向量公式表示，两边平方进行化简，再结合面积公式和余弦定理，即可求得，从而计算面积. 【详解】（1）依题意，， 1分 所以， 3分 又因为， 4分 由正弦定理可得，所以， 6分 因为，，所以， 7分 又因为，所以． 8分 （2）依题意，，所以， 10分 又由的面积，依题意，，所以， 11分 由余弦定理可得，，所以， 13分 所以，即，所以， 解得或（舍）． 15分 所以的面积． 17分 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 1分 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 2分 ，，， 3分 4分 （2），，,平面， 平面， 5分 由平面， ， ， 6分 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 7分 在等腰三角形中，， 所以， 8分 则， 9分 所以， 10分 设直线与平面所成角为，故. 11分 （3）设， 则， 即① 令② 得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 13分 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， 15分 ，， 16分 所以． 17分 答案第6页，共9页 答案第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $