命题大赛 广东省罗定市高一数学下学期期末测试2025-2026学年人教A版必修第二册

**基本信息** 广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试，原创题占比高，覆盖复数、向量、立体几何、概率等核心知识，通过圆锥内接圆柱、观景台建造等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高一下学期期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数模、向量夹角、解三角形最值|原创题占比62.5%，如第3题结合余弦定理考查最值| |多选题|3/18|复数性质、空间线面关系|第11题以四棱锥为载体，综合考查面面垂直与线面角| |填空题|3/15|投影向量、球表面积、外心重心|第14题融合几何性质与向量运算，体现空间观念| |解答题|5/77|复数综合、向量应用、圆锥内接圆柱、实际应用|第18题圆锥内接圆柱侧面积最值，考查直观想象与运算能力；第19题观景台问题，通过数学建模解决实际优化问题|

Sheet1 题号 题型 分值 考查核心知识点 核心素养 难度系数 1 单选 5 复数乘方、除法运算、复数模 数学运算 0.7 2 单选 5 向量夹角为锐角的充要条件、参数范围 逻辑推理、数学运算 0.68 3 单选 5 解三角形边角互化、三角最值 逻辑推理、数学运算 0.65 4 单选 5 空间向量的加减运算和几何表示 逻辑推理、数据分析 0.66 5 单选 5 正四棱锥侧面积、高的计算 直观想象、数学运算 0.64 6 单选 5 全概率公式、对立事件概率公式 数学建模、数学运算 0.62 7 单选 5 古典概型有限条件计数、概率计算 数据分析、数学运算 0.6 8 单选 5 锥体体积的有关计算 逻辑推理、数学运算 0.58 9 多选 6 复数纯虚数、象限、模、共轭复数综合 逻辑推理、数学运算 0.6 10 多选 6 空间线线、线面、面面平行垂直判定 直观想象、逻辑推理 0.56 11 多选 6 求线面角、证明面面垂直、线面平行 逻辑推理、数学运算 0.52 12 填空 5 向量夹角、向量投影综合计算 数学运算 0.63 13 填空 5 球的表面积计算、球的截面的性质和计算 直观想象、数学运算 0.59 14 填空 5 数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 数学运算、逻辑推理 0.5 15 解答 13 复数分类、复平面象限、整数限制综合 数学运算、逻辑推理 0.62 16 解答 15 向量夹角、模长、向量垂直参数求解 数学运算 0.6 17 解答 15 正弦定理边角互化、三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 逻辑推理、数学运算 0.58 18 解答 17 圆锥中截面的有关计算、展开图及最短距离问题、圆柱表面积的有关计算 数学建模、逻辑推理 0.55 19 解答 17 解三角形核心定理、三角恒等变换、三角函数的最值问题 直观想象、数据分析、逻辑推理 0.5 平均 0.61 Sheet2 Sheet3 $ 《广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B A D B BD AC 题号 11 答案 ACD 1、C 解析：先展开复数乘方：，由，得，所以 2、B 解析：两非零向量夹角为锐角，需要同时满足：数量积大于0、向量不共线 ①数量积：，所以 ②不共线：，解得 综上所述得 3、A 解析：由正弦定理得：，即,展开得,又因为，设，由基本不等式，可得最大值为 4、D 解析：取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， 5、B 解析：因为该几何体是正四棱锥，底面边长为4，所以底面正方形面积为，所以侧面积，单个侧面积为8，设侧面斜高为，则，底面中心到边距离为2，棱锥高 6、A 解析：第二次命中的概率为, 所以第二次投篮不中的概率为． 7、 D 解析：总抽取情况：，每组差绝对值4的组合，共计14组，所以概率为 8、B 解析：设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为，由题意可得，如图所示，正四面体高， 水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似， 则，即， 所以. 9、BD 解析：A：，由于是纯虚数，所以，解得，错误。 B：由，解得，正确。 C：当时，，所以，错误。 D：当时，即，所以，正确。 10、AC 解析：对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 11、ACD 解析：A，由题，，，所以，则， 如图，设的中点为，由， 易得 且，所以四边形为矩形， 所以 ，可得，. 所以，又， 所以，则. 因为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，又，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面，A正确. B，由A得平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面与平面不垂直，B错误. C，连接交于点， 因为， 所以，可得， 由平面，平面， 所以平面，C正确. D，由平面，可知为直线与平面所成的角， 由A易知，D正确. 12、 解析：由题意可得，向量方向上的投影向量为 13、 解析：因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 14、 解析：已知，因此. 已知 是的重心，满足，且，代入得： . 取中点，是外心，故，即，且， 是中点，故，代入得 . 因此 . 15、 解：（1）当复数为实数时，则，解得............3分 （2） 当复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，..........5分 解此不等式组得....................................................7分 （3） 已知，则它的共轭复数为：，..........................8分 （4） 所以.............................9分 又由题意可知，所以有.......10分 解得，..........................................................11分 又因为，所以只要是实数即可，而时，这个二次式恒为实数，所以两个m值都满足条件，综上，m的取值集合为.................13分 16、 解：（1）由，.......1分 所以，............................................................2分 又因为，所以..............................................4分 （2） 由题意得， ..8分 （3） 与垂直，...........................................9分 ，.............13分 ................................................................15分 17、(1) (2) 解析：（1）依题意，，.........................1分 所以，..............2分 又因为，.......................................3分 由正弦定理可得，所以，.........................4分 因为，，所以，......................................5分 又因为，所以．......................................。........7分 （2） 依题意，，.................................8分 所以，...................................9分 又由的面积，依题意，，所以，..10分 由余弦定理可得，，所以，...............11分 所以，.............................................12分 即，所以，.....................13分 解得或（舍）．.......................................14分 所以的面积．..............................15分 18、(1)① ② (2) 解析：（1） ①记与圆柱的上底面交于点，连接、， 则，则，........................................2分 即，.....................................................3分 整理可得，所以与的关系式为.................4分 ②......................................5分 当且仅当，即时取等号，...........................6分 则，........................................................7分 因此圆柱的侧面积，.............................8分 即时，圆柱的侧面积取最大值.........................9分 （2）由高的长为，底面直径为， 得圆锥母线，..................10分 把圆锥的侧面沿母线剪开展开在平面内，得如图所示的扇形， 显然圆弧的长为，................................12分 因此，........................................13分 在中，，所以，........................14分 ...........................16分 所以蚂蚁爬行的最短距离是................................17分 19、（1） （2） （3） 解析：【小问1详解】 在中，由余弦定理得，.......2分 得；...........................................................3分 【小问2详解】 ，，则，..........................4分 在中，由正弦定理得，..6分 所以，............................8分 所以 ；............................11分 【小问3详解】 由（2）得，又，.................12分 所以，，...........................14分 即，......................................................15分 所以该景区预算需要...........................16分 即该景区预算需要投入万元改造...........................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东罗定市2025-2026高一下学期数学期末测试 学校：___________姓名：____________班级：____________考号：____________ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （原创）1. 已知复数满足则复数的模为（ ） A. B. C. D. （原创）2. 已知向量，若非零向量夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.（原创）3. 在中，内角对边为，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4.如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． （原创）5. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，底面边长为4，则该正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 6.已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 （原创）7. 从区间内随机抽取两个互不相等的整数，则两个数的差的绝对值不小于4的概率为（ ） A. B. C. D. 8.一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（     ）． （参考数据：，） A．0.1 B．0.2 C．0.5 D．0.6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （原创）9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A.若为纯虚数，则 B.若在复平面对应点在第二象限，则 C.当时， D.若，则 10.已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11.如图，在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线与平面所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 （原创）12. 已知则向量方向上的投影向量为__________. 13.已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 14.已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （原创）15. （13分）设复数 。 （1） 若复数为实数，求的值； （2） 若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； （3） 若存在复数，使得（其中的共轭复数），求实数m的取值集合。 （原创）16. （15分）已知平面向量满足，且。 （1） 求与的夹角； （2） 若，求； （3） 若与垂直，求的值。 17.（15分）记中的内角所对的边分别为，且 (1)求; (2)设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 18.（17分）如图，在圆锥中，过高上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱． (1)若底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为，高为的内接圆柱． ①求与的关系式； ②求内接圆柱侧面积的最大值． (2) 若圆锥的高为，底面直径为，一只蚂蚁从底面圆周上的点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 19. （17分）某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元. （1）求M、N的距离； （2）设，用表示； （3）求该景区预算需要投入多少万元改造？（） 学科网（北京）股份有限公司 $