命题大赛 四川省2025-2026学年高三下学期数学学科素养练习

**基本信息** 高三数学期末素养评价卷，涵盖复数、数列等核心知识，解答题融合解三角形、立体几何及概率应用，注重数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、三角函数|基础概念辨析，如纯虚数定义| |多选题|3/18|函数极值、概率统计|多项选择区分思维层次，如函数单调区间判断| |填空题|3/15|不等式最值、二项式定理|情境化设计，如抽卡游戏概率| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率应用、圆锥曲线、导数|综合探究，如流行病检测误诊率计算（数学语言）、导数极值点证明（数学思维）|

高三数学学科素养练习细目表 考试范围：复数,等式与不等式,集合与常用逻辑用语,函数与导数,三角函数与解三角形,平面向量,数列,平面解析几何,计数原理与概率统计,空间向量与立体几何 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 容易 6 适中 8 困难 5 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.99 已知复数的类型求参数 2 0.86 解不含参数的一元二次不等式；交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式 3 0.88 余弦定理解三角形 4 0.85 数量积的坐标表示；由向量共线（平行）求参数 5 0.85 等比数列前n项和的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算 6 0.62 由图象确定正（余）弦型函数解析式 7 0.4 根据抛物线方程求焦点或准线；利用定义求双曲线中线段和、差的最值 8 0.4 由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题 二、多选题 9 0.94 由导数求函数的最值（不含参）；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数的单调区间（不含参）；求已知函数的极值 10 0.65 计算条件概率；正态曲线的性质；指定区间的概率；独立重复试验的概率问题 11 0.65 轨迹问题——圆；椭圆定义及辨析；定点到圆上点的最值（范围）；与复数模相关的轨迹（图形）问题 三、填空题 12 0.75 基本不等式“1”的妙用求最值 13 0.65 求指定项的系数；组合数的计算 14 0.4 全排列问题；有放回与无放回问题的概率 四、解答题 15 0.65 已知向量共线（平行）求参数；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 16 0.49 台体体积的有关计算；线面角的向量求法；证明线面垂直；点到平面距离的向量求法 17 0.48 求离散型随机变量的均值；计算条件概率；利用全概率公式求概率 18 0.65 求平面轨迹方程；抛物线中的三角形或四边形面积问题；抛物线中的直线过定点问题；基本不等式求和的最小值 19 0.65 利用导数证明不等式；利用导数研究函数的零点；用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值点 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 复数 1,11 2 等式与不等式 2,12,18 3 集合与常用逻辑用语 2 4 函数与导数 2,8,9,19 5 三角函数与解三角形 3,6,15 6 平面向量 4,15 7 数列 5 8 平面解析几何 7,11,18 9 计数原理与概率统计 10,13,14,17 10 空间向量与立体几何 16 难度分布 容易 适中 困难 31.58 42.11 26.32 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科素养评价练习 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A C C D A ACD ABD 题号 11 答案 ACD 一、单选题（每小题5分） 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 【答案】A 【难度】0.99 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念列式可得结果. 【详解】由是纯虚数，可得，解得. 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.86 【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【详解】，， 故. 3．在中，若，，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】余弦定理解三角形 【详解】由余弦定理， . 4．已知，，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 5．记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列通项公式和求和公式求解即可. 【详解】若公比，则，此时，， 显然，因此. 由等比数列前项和公式， 代入得： 则，整理得， 所以. 6．如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据题意得到，再由，求解. 【详解】由题意知：，则， ，， 则，， 所以，解得， 故选：C 7．设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标及渐近线方程，可判断直线与双曲线第一象限部分无交点，即可判断A、C，再由双曲线的定义判断B、D. 【详解】如图，由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知 ，则，故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线第一象限部分无交点，故，故A，C错误； 由双曲线的定义，， 所以 ， 即点运动到线段与双曲线的交点时，有最小值，故B错误，D正确． 故选：D． 8．不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 二、多选题（每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分.） 9．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 10．某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（   ） A． B． C．（其中） D．当，时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、正态曲线的性质、独立重复试验的概率问题、指定区间的概率 【分析】本题结合正态分布的对称性判断选项A，B，根据二项分布的概率公式判断选项C，再通过条件概率公式计算验证选项D，从而得出正确答案． 【详解】对于A，正态分布的密度曲线关于直线对称， 所以，A正确； 对于B，由正态分布的对称性， ， 所以，B正确； 对于C，二项分布满足，， 当且仅当时两者相等，一般情况不成立，C错误； 对于D，当时，， ， 条件概率 ，D正确． 11．设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（    ） A．若，则的最大值为6 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为椭圆 D．若，则点轨迹的长度为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆、椭圆定义及辨析、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数的几何意义，结合各选项中的条件逐项分析判断. 【详解】在复平面内，设点，复数所对应点， 对于A，两点的距离表示两点的距离，又， 则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，表示两点的距离， 则的最大值为，A正确； 对于B，表示两点的距离，表示两点的距离， 由，则点的轨迹为线段，B错误； 对于C，，则点的轨迹是以为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确； 对于D，，即或，由表示以为圆心，1为半径的圆， 同理表示以为圆心，2为半径的圆，点轨迹的长度为，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（每小题5分） 12．已知均为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1的代换”构造乘积形式，化简后运用均值不等式求最小值. 【详解】由均为正数，且， 则， 当且仅当，解得时等号成立. 13．在的展开式中，的系数为______. 【答案】80 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、组合数的计算 【分析】根据二项式展开式通项公式计算得出，再代入计算求解. 【详解】的展开式中的通项公式为， 所以当时，， 的系数为. 故答案为：80. 14．甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】有放回与无放回问题的概率、全排列问题 【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12； 总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况； 当甲抽取的数字为；；；时， 乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为时， 若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 而基本事件的总数为 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. 四、解答题-问答题 15．的内角的对边分别为，已知，，． (1)求角和边长； (2)设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知向量共线（平行）求参数、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件得到，利用特殊角的三角函数值，即可求解，再利用余弦定理，即可求解； （2）利用角平线的性质，结合条件，即可求解； （3）利用向量共线，进而求得，即可求解. 【详解】（1）由，得到，（1分） 又，所以，（3分） 在中，由余弦定理得，即 解得或（舍）.（6分） （2）由角分线性质知：，所以（7分） 过做垂直于点，则，（8分） 所以.（9分） （3）由题意可知：，得到，（10分） 即，得到（12分） 所以，．（13分） 16．如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为和，四边形为下底面圆O的内接正方形，且，，为上底面圆上两点，为的中点，且满足平面平面，. (1)求证：； (2)求圆台的体积； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.49 【知识点】台体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连交于，证明，再根据面面垂直性质定理和线面垂直的定义证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明即可； （2）结合（1）证明，结合圆台体积公式求结论； （3）建立空间直角坐标系，设，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，列方程求的坐标，再利用向量方法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取的中点，连交于． 在正方形中，由于为的中点， 因为，，， 可得≌，则，（1分） 因为，所以， 得到，即． 因为，所以，（3分） 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，（4分） 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以．（5分） （2）由（1）得平面，又平面， 所以， 因为圆圆，所以，所以四边形为矩形， 所以圆的半径，（7分） 又圆的半径， 所以圆台的体积，（10分） （3）以为坐标原点，过点作平行的直线分别为轴，轴，以所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系． 则， 由于圆半径，为上底面圆上一点设， 故．（11分） 设平面的法向量为，由，得 取，故，（12分） 设与平面所成角为，则 平方后整理方程得 解得或（舍）（13分） 所以，． 所以点到平面的距离.（15分） 17．每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【难度】0.48 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，，（1分） 所以，（2分） 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． …………………………（4分） （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，．（5分） 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9，（6分） 则（7分） ，（8分） ，（9分） 所以 ．（10分） 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9，（11分） 同理得， ，（13分） 则有 ，（14分） 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短.（15分） 18．在平面内，动点M 到点的距离和它到直线的距离相等，记动点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并判断其形状； (2)若点在曲线C上，且 （i）证明：直线AB过定点： （ii）记（i）中的直线AB过的定点为P，且过P作垂直于AB的直线l交曲线C于D、E两点，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1)，抛物线开口向右； (2)；32. 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、基本不等式求和的最小值、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据抛物线的定义可得得方程； （2）设，联立方程组得到，结合已知列出方程求得，进而得到答案；再设直线得出弦长，进而得出面积结合基本不等式得出最小值. 【详解】（1）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等 所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.（1分） 设的方程为，则，即.（2分） 所以的轨迹方程为，抛物线开口向右，（3分）. （2）（i）设， 联立方程组，整理得，（5分） 可得，（6分） 因为，所以，得，（7分） 因此直线，故直线AB上经过定点，（8分） （ii）由（i）可知，（9分） 同理设,（10分） 联立方程组，整理得，（12分） 可得， 可知，（13分） 所以，（15分） 当且仅当，即时，四边形的面积的最小值为32.（17分） 【点睛】关键点点睛：关键点是应用基本不等式计算求出面积的最小值. 19．已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求已知函数的极值点 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设，（2分） 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令，（3分） 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点，（4分） 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.（6分） （2）（i）由（1）知，则，， ，（7分） 则 ，（10分） ， ， 即在上单调递减.（13分） （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又，（14分） 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以.（17分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：周测/月考/期中/期末/高考模拟 高三数学学科素养评价练习（数学） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。建议用时120分钟。 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，若，，，则（   ） A．0 B． C． D． 4．已知，，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 5．记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．16 B．18 C．24 D．32 6．如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 8．不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分. 9．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 10．某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（   ） A． B． C．（其中） D．当，时， 11．设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（    ） A．若，则的最大值为6 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为椭圆 D．若，则点轨迹的长度为 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知均为正数，且，则的最小值为______. 13．在的展开式中，的系数为______. 14．甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．的内角的对边分别为，已知，，． (1)求角和边长； (2)设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值． 16．如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为和，四边形为下底面圆O的内接正方形，且，，为上底面圆上两点，为的中点，且满足平面平面，. (1)求证：； (2)求圆台的体积； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 17．每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 18．在平面内，动点M 到点的距离和它到直线的距离相等，记动点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并判断其形状； (2)若点在曲线C上，且 （i）证明：直线AB过定点： （ii）记（i）中的直线AB过的定点为P，且过P作垂直于AB的直线l交曲线C于D、E两点，求四边形的面积的最小值. 19．已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $