精品解析：四川省成都市某中学2024-2025学年高三下学期数学基础训练（五）

成都航天中学高22级高三上期数学基础训练（五） 一、单选： 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数，数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 二、多选： 6. 给出下列说法，其中正确的是（　　） A. 若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一 B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6 C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等 D. 经验回归直线恒过样本点的中心（），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好 7. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，的图像关于y轴对称 B. 当时，的图像关于点中心对称 C. ，使得为上的增函数 D. 当时，若在上单调递增，则的最小值为 三、填空： 8. 在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 9. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答： 10. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 11. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 12. 现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； （3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都航天中学高22级高三上期数学基础训练（五） 一、单选： 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合B，再根据集合间关系判断. 【详解】由，得，则，所以. 故选：A. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 设函数，数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先求出和的通项公式，然后令等于的值可求解出结果. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 令，解得， 故选：B. 4. 已知函数关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：与有三个交点，结合图象分析，并把代入检验． 【详解】由题意可得：与有三个交点 如图，当时，符合题意 当时，与只有一个交点 令，则或 ∴，符合题意 综上所述： 故选：B． 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得的周长为，内切圆的半径为，再结合等面积法得，再平方整理得，再求离心率即可； 【详解】解：由题知为上一点， 所以，， 所以的周长为， 因为的内心为 所以，内切圆的半径为， 所以，由三角形内切圆的性质知，，即， 两边平方并整理得，即， 所以，离心率为 故选：C 二、多选： 6. 给出下列说法，其中正确的是（　　） A. 若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一 B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6 C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等 D. 经验回归直线恒过样本点的中心（），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好 【答案】AC 【解析】 【分析】依据方差定义及众数定义去判断选项A；求得第40百分位数去判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；依据回归直线拟合效果判断标准去判断选项D. 【详解】对于选项A：由方差 可得，即此组数据众数唯一，A正确； 对于选项B：数据2，3，5，7，8，9，9，11.共有8个数，由可知，该组数据的第40百分位数为第4个数7，B错误； 对于选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，C正确； 对于选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是回归直线上的样本点多，拟合效果就越好，D错误. 故选：AC 7. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，的图像关于y轴对称 B. 当时，的图像关于点中心对称 C. ，使得为上的增函数 D. 当时，若在上单调递增，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断奇偶性后可判断A，由计算可判断B，利用可判断C，求出，由得的表达式，求得最小值判断D． 【详解】时，，，是奇函数，A错； 时，，， 所以的图象关于点对称，B正确； ，， 当时，恒成立，在上递增，C正确； ，， ，所以有两个不等的实根，设，在或时，，时，，即在上单调递增， ，， ， 所以时，取得最小值，即取得最小值，D正确． 故选：BCD． 三、填空： 8. 在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】如图所示，由题意知， 因为是的平分线且，， 可得， 即，即，且，， 则， 当且仅当，即也即时，等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 9. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答： 10. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【小问1详解】 当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令， 则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 11. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】（1）证明如下： 因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为，且平面，所以平面， 由分别是的中点，所以， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明平面，再证明，即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即， 所以，即. 12. 现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； （3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 P （3）【解析】 【分析】(1)由古典概率模型进行求解； (2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可； (3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解. 【小问1详解】 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； 【小问2详解】 由题可知可取， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为 1 2 3 P 【小问3详解】记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且， 化解得， 得， 而则数列为等比数列,首项为，公比为， 所以， 又由求得： 因此． 【点睛】关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $