期末易错压轴题型（29易错+10压轴）（专项训练）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦期末高频易错点与综合压轴题，通过29类易错题型+10类压轴题型构建从基础到综合的递进训练体系，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|29类（含选择/填空/解答）|针对多边形、四边形、坐标系、函数等核心知识的典型错误点设计，如多边形对角线公式应用、特殊四边形判定定理混淆、函数图像性质误判|遵循"概念理解→性质应用→计算技巧"递进逻辑，从单一知识点到简单综合，强化抽象能力与推理意识| |压轴题型|10类（综合解答题）|以特殊四边形证明、坐标系存在性问题、函数动态综合为核心，融合几何直观与代数运算，如动点问题中的分类讨论、函数与几何图形面积结合|体现"知识整合→模型构建→复杂问题解决"逻辑链条，培养空间观念与模型意识，契合中考命题趋势|

期末易错压轴题型（29易错+10压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、多边形对角线的条数问题 易错题型二、多边形内角和问题 易错题型三、多边形内角和与外角和综合 易错题型四、平行四边形证明 易错题型五、矩形判定证明 易错题型六、菱形判定证明 易错题型七、正方形判定证明 易错题型八、四边形周长、面积计算 易错题型九、四边形折叠题型计算 易错题型十、线段最值计算 易错题型十一、中位线计算 易错题型十二、用有序数对表示位置与路线 易错题型十三、已知点所在的象限求参数 易错题型十四、写出直角坐标系中点的坐标 易错题型十五、已知两点坐标求两点距离 易错题型十六、已知图形的平移，求点的坐标 易错题型十七、已知两点关于原点对称求参数 易错题型十八、函数图象识别 易错题型十九、正比例函数的性质 易错题型二十、根据一次函数的定义求参数 易错题型二十一、根据一次函数增减性求参数 易错题型二十二、一次函数图象与坐标轴的交点问题 易错题型二十三、一次函数与不等式和方程组问题 易错题型二十四、一次函数的综合应用 易错题型二十五、根据反比例函数的定义求参数 易错题型二十六、已知反比例函数的增减性求参数 易错题型二十七、系数k 的几何意义 易错题型二十八、反比例函数的图像对称性 易错题型二十九、一次函数与反比例函数的交点问题 压轴题型一、特殊四边形中证明综合应用 压轴题型二、根据四边形的性质求面积、周长、边长 压轴题型三、平面直角坐标系中存在性问题 压轴题型四、坐标系中的动点问题 压轴题型五、求一次函数解析式与交点坐标 压轴题型六、结合一次函数图像解不等式、求三角形面积 压轴题型七、一次函数动点存在性问题 压轴题型八、 反比例函数 k 的几何意义综合压轴 压轴题型九、求线段长、面积的函数关系式 压轴题型十、一次函数与反比例函数综合问题 易错题型一、多边形对角线的条数问题 1．（25-26八年级下·上海宝山·期中）一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期中）从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 易错题型二、多边形内角和问题 4．（2026·上海宝山·模拟预测）下列多边形中，内角和为的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，图形中的值为_________． 6．（24-25八年级上·云南红河·期末）求出图形中x的值． 易错题型三、多边形内角和与外角和综合 7．（2026·甘肃定西·一模）在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为__________． 9．（24-25八年级上·福建莆田·月考）如图，，是五边形的三个外角，若，求的度数． 易错题型四、平行四边形证明 10．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，小明将两根木条，的中点重合钉起来，然后将木条端点首尾相接即可得到平行四边形，他这样做的数学原理是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 11．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 12．（25-26九年级上·广东中山·期末）已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 易错题型五、矩形判定证明 13．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．求证：四边形为矩形； 易错题型六、菱形判定证明 16．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 18．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 易错题型七、正方形判定证明 19．（24-25九年级上·甘肃酒泉·月考）四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 20．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形________正方形（填“是”或“不是”）． 21．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 易错题型八、四边形周长、面积计算 22．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 23．（24-25八年级下·上海静安·阶段检测）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 24．（2025·浙江温州·三模）如图，在8×7的方格纸中有一格点三角形ABC（顶点在格点上），请按要求找出格点画图形． (1)在图甲中，找一格点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积． (2)在图乙种，找两个格点E，F，使得它们与△ABC的其中两个顶点构成平行四边形，且面积等于△ABC的面积． 易错题型九、四边形折叠题型计算 25．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法不正确的是（　　） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定全等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 26．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为__________． 27．（24-25八年级上·北京·期中）ABCD为一张长方形纸片，AB//CD，AD//BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，观察折叠后的结果，并回答问题． （1）如图1，沿DE折叠长方形纸片，使点C落在AD上点C'处，CD恰好与AD在同一直线上，则∠C'ED＝ °，△C'ED为 三角形． （2）如图2，沿EF折叠长方形纸片，使EF＝PE，折叠后点C，D分别落在点C'，D'处，C'E与AD相交于点P．求证：△PEF为等边三角形． 易错题型十、线段最值计算 28．（24-25九年级上·四川巴中·月考）如图，中，＝，、 分别是线段和线段上的动点，且，是线段上一点，且，则的最小值为（　 　） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在菱形中，对角线交于点O，，点E为线段上一动点，且，连接，则线段的最小值为________． 30．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上． (1)在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______； (2)在图中以线段为一腰的等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个； (3)在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？ 易错题型十一、中位线计算 31．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（     ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 32．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点C，D分别是，的中点．若，则该工件内槽宽的长为_______． 33．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 易错题型十二、用有序数对表示位置与路线 34．（2025八年级下·上海松江·专题练习）电影院里，A，B，C，D四位同学的位置如图（横为排，竖为列），A的座位在第2排第2列，B在第5排第3列，C在第4排第4列，D在第6排第5列，撤去第一列，仍按原方法确定位置（　　） A．A的座位在第2排第1列 B．B的座位在第4排第3列 C．C的座位在第3排第4列 D．D的座位在第6排第6列 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 易错题型十三、已知点所在的象限求参数 37．（25-26八年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·上海松江·期中）点在轴上，则点的坐标为_____ 39．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (3)若点在第二、第四象限的角平分线上，直接写出点的坐标． 易错题型十四、写出直角坐标系中点的坐标 40．（24-25八年级上·山东·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级下·上海松江·期中）在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 42．（25-26八年级下·上海长宁·期中）为更好的开展古树名木的保护工作，某公园对园内的棵百年古树利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)请你在如图所示的正方形（每个小正方形的边长都是）网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中， ①古树的位置对应的点的坐标为_______； ②标出另外三棵古树，，的位置． 易错题型十五、已知两点坐标求两点距离 43．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 44．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 45．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为，，．将平移后得到，且点的对应点是，点、的对应点分别是、． (1)点、之间的距离是______ (2)请在图中画出． 易错题型十六、已知图形的平移，求点的坐标 46．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 47．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 48．（24-25八年级下·上海虹口·期末）三角形经过平移得到三角形，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：A________，________，B________； (2)连接和，写出线段和的关系； (3)若点是三角形内部一点，则平移前三角形ABC内部的对应点P的坐标为________． 易错题型十七、已知两点关于原点对称求参数 49．（25-26八年级下·全国·课后作业）若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 50．（25-26九年级上·广东惠州·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 51．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 易错题型十八、函数图象识别 52．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 54．（24-25八年级下·上海静安·期中）下列各情境分别可以用右边哪幅图来近似的刻画？横线上填相应的字母序号． (1)一面冉冉上升的旗子________ (2)匀速行驶的汽车________ (3)足球守门员大脚开出去的球________ (4)一杯越晾越凉的水________ 易错题型十九、正比例函数的性质 55．（2026·广西玉林·二模）若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 56．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在串联电路中，电流处处相等，且满足欧姆定律，现有两个定值电阻，阻值之比，若将它们串联接入同一电路中，则它们两端的电压之比______． 57．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 易错题型二十、根据一次函数的定义求参数 58．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）已知y关于x的一次函数，若图象经过原点，则______． 60．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 易错题型二十一、根据一次函数增减性求参数 61．（2026·甘肃白银·二模）一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 62．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知一次函数的y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的k的值为______． 63．（24-25八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 易错题型二十二、一次函数图象与坐标轴的交点问题 64．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 65．（2025八年级上·全国·专题练习）直线与轴交点的横坐标是_______，与轴交点的纵坐标是_______． 66．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 易错题型二十三、一次函数与不等式和方程组问题 67．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 68．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 69．（25-26八年级下·上海崇明·月考）如图，直线与直线相交于点． (1)求p的值； (2)直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (3)若直线与x轴交于点，求m和n的值． 易错题型二十四、一次函数的综合应用 70．（25-26八年级上·河南周口·期中）某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 71．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： (1)写出总费用y与x的函数关系式； (2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 72．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 易错题型二十五、一次函数的综合应用 73．（25-26八年级下·全国·课后作业）若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 74．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________． 75．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 易错题型二十六、已知反比例函数的增减性求参数 76．（2026·河北唐山·二模）函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 77．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）某反比例函数满足当自变量时，函数值随的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式：____________． 78．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 易错题型二十七、系数k 的几何意义 79．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 80．（25-26八年级下·上海普陀·月考）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 81．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，且的面积为1．求和的值． 易错题型二十八、反比例函数的图像对称性 82．（25-26九年级上·上海嘉定·月考）在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 83．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 84．（2025·上海嘉定·模拟预测）小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究． （1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是______； ①列表：如下表． … －6 －2 1 0 3 4 6 10 … … 0 －3 －1 －7 9 5 3 2 … ②描点：点已描出，如图所示． ③连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象． （2）探究性质：根据反比例函数的图象和性质，结合画出的函数图象，回答下列问题： ①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是______； ②该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为______； ③结合函数图象，请直接写出时的取值范围______． 易错题型二十九、一次函数与反比例函数的交点问题 85．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 86．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 87．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 压轴题型一、特殊四边形中证明综合应用 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接AF，F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系，并说明理由． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点E为对角线延长线上的一点，连接，．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ①________， ，， ②________， 在和中， ， ， ③________，， ④________， ∴四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）解答： (1)【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ (2)【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 压轴题型二、据四边形的性质求面积、周长、边长 6．（2026·四川广安·二模）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 7．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，则在点E的运动过程中， ①当为何值时，四边形是矩形； ②当为何值时，四边形是菱形． 8．（24-25八年级下·河南新乡·期末）在中，，，点在射线上（与、两点不重合），以为边作正方形，使点与点在直线的异侧，射线与直线相交于点． (1)若点在线段上，如图1，判断：线段与线段的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)如图2， ①若点在线段的延长线上，判断（1）中线段与线段的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由； ②当为中点，时，求线段的长． 9．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 10．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要手段．数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” (1)【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板沿方向平移至图②的位置．此时点与点不重合，且． 操作三：测量图②中与的长度． 根据以上操作，填空： 图②中与的数量关系是________．四边形的形状是_______． (2)【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个的直角三角板继续探究（如图③），已知三角板的直角边的长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形的形状是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的长． (3)【拓展探究】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 压轴题型三、平面直角坐标系中存在性问题 11．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标，并求出的面积 (2)在y轴上是否存在点P，使得以A，C，P为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在y轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标． 12．（24-25八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为． (1)请求出； (2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标． 13．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 14．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·上海闵行·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 压轴题型四、坐标系中的动点问题 16．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 17．（24-25八年级下·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 18．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 19．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 20．（25-26八年级下·上海松江·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 压轴题型五、求一次函数解析式与交点坐标 21．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 22．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 23．（25-26八年级下·河南南阳·期中）实践探究：三角形的面积平分直线探究 三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．已知直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，我们来开展以下探究活动． (1)求出、两点的坐标，并计算的面积； (2)请你画出，并尝试画出一条能将分成面积相等两部分的直线，写出这条直线的函数表达式，并说明你这样画的理由； (3)除了（2）中你画出的直线外，是否还存在其他过顶点且能平分其面积的直线？如果存在，请找出所有符合条件的直线并写出它们的函数表达式：如果不存在，请说明理由； (4)结合上述探究，你能总结出“过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规律吗？请用文字描述出来． 24．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 25．（25-26八年级下·北京·期中）【课本原型】人教版八年级下册数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】小厉同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： (1)a的值为________； (2)在图中画出该函数的图象； (3)【数学思考】结合图象，下列说法正确的是：________； A．函数图象关于轴对称 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．函数图象与轴围成图形的面积为4 (4)【深入探究】函数图象上有两点和，当时，直接写出的取值范围． 压轴题型六、结合一次函数图像解不等式、求三角形面积 26．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)观察图象，当时，的取值范围为________； (2)求的面积． 27．（2025·湖北襄阳·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 28．（25-26八年级下·上海崇明·月考）如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 29．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．    (1)填空： ______， ______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若，请直接写出的取值范围______． 30．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)求的面积； (4)通过图象直接写出直线自变量的取值范围； (5)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 压轴题型七、一次函数动点存在性问题 31．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线．设运动的时间为t秒，是否存在t，使是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 32．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，的长分别为的两个根，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，过点作，交于点，连接，，当点运动到点时，点也同时停止运动，当两动点运动了秒时，记的面积为． (1)求直线的解析式； (2)求关于的函数关系式； (3)点在运动过程中，在轴右侧是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与之间的关系式． 34．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图1，直线与x轴交于A，与y轴交于B．点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点P是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，已知的面积为4，求点P的坐标； (3)如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，连接，在点M的运动过程中是否存在的情况？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25八年级上·江西吉安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． (1)求直线的解析式． (2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 压轴题型八、反比例函数 k 的几何意义综合压轴 36．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，双曲线上的一点，其中，过点M作轴于点N，连接． (1)已知的面积是4，求k的值； (2)将绕点M逆时针旋转得到，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求的值． 37．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12． (1)求k的值； (2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，已知点、点都在反比例函数图象上．过点作轴的垂线，垂足为，的面积为，一次函数的图象过点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式，并求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 39．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 40．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标； (3)在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 压轴题型九、反比例函数 k 的几何意义综合压轴 41．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 42．（2025·河南平顶山·二模）如图1，线段的长度一定，现将线段首尾相连，围成正边形（，且为整数），已知正边形的面积S（单位：）与边数（单位：条）之间的关系如图2所示．    (1)根据图中的信息，线段__________，当时，__________． (2)发现：观察图像，写出正边形的面积随边数的变化趋势为__________． (3)猜想：把线段围成什么图形时面积最大，并求出最大面积． 43．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，四边形是矩形，点A、C的坐标分别为，，点D是线段上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线于点E． (1)当点E恰为中点时，求m的值； (2)当点E在线段上，记的面积为y，求y与m的函数关系式并写出定义域； (3)当点E在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试判断四边形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于m的函数关系式． 44．（2025·四川成都·三模）如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 45．（25-26八年级下·上海静安·期末）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点的坐标． (2)如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点、． ①过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； ②当的取值变化时，点随之在轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，请直接写出长的最小值． 压轴题型十、一次函数与反比例函数综合问题 46．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． (1)求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 47．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； (3)若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 48．（2026·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形的两个顶点，反比例函数（）的图象经过点． (1)求出反比例函数的表达式； (2)将平行四边形沿轴翻折，点落在点处， ①判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由； ②连接，作与轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐标． 49．（24-25九年级上·浙江温州·期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 50．（2025·广西南宁·模拟预测）生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究： 【问题探究】 （1）设矩形的长和宽分别为，，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由． （2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为： ，将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 ，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的． （3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 ． 【拓展应用】 （4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数的图象G经过点，直线l：与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 ． $期末易错压轴题型（29易错+10压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、多边形对角线的条数问题 易错题型二、多边形内角和问题 易错题型三、多边形内角和与外角和综合 易错题型四、平行四边形证明 易错题型五、矩形判定证明 易错题型六、菱形判定证明 易错题型七、正方形判定证明 易错题型八、四边形周长、面积计算 易错题型九、四边形折叠题型计算 易错题型十、线段最值计算 易错题型十一、中位线计算 易错题型十二、用有序数对表示位置与路线 易错题型十三、已知点所在的象限求参数 易错题型十四、写出直角坐标系中点的坐标 易错题型十五、已知两点坐标求两点距离 易错题型十六、已知图形的平移，求点的坐标 易错题型十七、已知两点关于原点对称求参数 易错题型十八、函数图象识别 易错题型十九、正比例函数的性质 易错题型二十、根据一次函数的定义求参数 易错题型二十一、根据一次函数增减性求参数 易错题型二十二、一次函数图象与坐标轴的交点问题 易错题型二十三、一次函数与不等式和方程组问题 易错题型二十四、一次函数的综合应用 易错题型二十五、根据反比例函数的定义求参数 易错题型二十六、已知反比例函数的增减性求参数 易错题型二十七、系数k 的几何意义 易错题型二十八、反比例函数的图像对称性 易错题型二十九、一次函数与反比例函数的交点问题 压轴题型一、特殊四边形中证明综合应用 压轴题型二、根据四边形的性质求面积、周长、边长 压轴题型三、平面直角坐标系中存在性问题 压轴题型四、坐标系中的动点问题 压轴题型五、求一次函数解析式与交点坐标 压轴题型六、结合一次函数图像解不等式、求三角形面积 压轴题型七、一次函数动点存在性问题 压轴题型八、 反比例函数 k 的几何意义综合压轴 压轴题型九、求线段长、面积的函数关系式 压轴题型十、一次函数与反比例函数综合问题 易错题型一、多边形对角线的条数问题 1．（25-26八年级下·上海宝山·期中）一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对角线定义，从多边形一个顶点出发，不能与自身和相邻顶点连接形成对角线，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵该多边形为六边形，边数， 从多边形一个顶点出发，不能与自身以及相邻的个顶点连接成对角线， ∴可画出的对角线条数为， 将代入得， ∴一个六边形从一个顶点出发能画出条对角线． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期中）从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键． （1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可； （2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可； （3）把代入，计算得出答案即可． 【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线， ∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为， 故答案为：； （2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次， ∴n边形所有对角线的条数为； （3）解：把代入，得， ∴一个十边形的对角线的条数为． 易错题型二、多边形内角和问题 4．（2026·上海宝山·模拟预测）下列多边形中，内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设多边形的边数为n，列方程式即可得出答案． 【详解】解：设多边形的边数为n，则： 解得：． 即该多边形是八边形，故选项C符合题意． 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，图形中的值为_________． 【答案】95 【分析】根据多边形内角和及平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， ， ∵， 解得：． 6．（24-25八年级上·云南红河·期末）求出图形中x的值． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，利用多边形的内角和公式建立方程求解即可． 【详解】解：由图可知， 解得． 易错题型三、多边形内角和与外角和综合 7．（2026·甘肃定西·一模）在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为__________． 【答案】8 【分析】此题考查了正多边形外角和内角综合，如图所示，首先求出，得到，然后利用多边形内角和得到，求出，然后求出一个外角的度数为，然后根据正多边形外角和为360度求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵多边形是正n边形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴与相邻的一个外角的度数为， ∵正n边形的外角和为， ∴， 故答案为：8． 9．（24-25八年级上·福建莆田·月考）如图，，是五边形的三个外角，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为先求出与的外角和，再根据外角和进行求解 【详解】解：，， 易错题型四、平行四边形证明 10．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，小明将两根木条，的中点重合钉起来，然后将木条端点首尾相接即可得到平行四边形，他这样做的数学原理是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】已知和是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即，）的四边形是平行四边形． 【详解】解：由已知可得，， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 11．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 12．（25-26九年级上·广东中山·期末）已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，结合，得到，即可得证． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形． 易错题型五、矩形判定证明 13．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理对各选项逐一判断即可得到结论． 【详解】解： A ：四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），不符合题意； B ：四边形是平行四边形，得， 平行四边形是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形），不符合题意； C ：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），不符合题意； D ：平行四边形本身就满足对角相等，即本来就有，这个条件不能判定平行四边形为矩形，符合题意． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【答案】平行四边，矩 【分析】根据两组对边分别平行得到四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．求证：四边形为矩形； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质及矩形的判定，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质及矩形的判定定理是解题的关键；根据三个角是直角的四边形是矩形即可证明 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴． ∴， ∵是外角的平分线， ∴． 又∵, ∴， ∵， ∴． ∴四边形为矩形． 易错题型六、菱形判定证明 16．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 【答案】菱 【分析】利用勾股定理求出，再根据菱形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：由于每个小正方形的边长均为1， 则， 因此，四边形是菱形． 18．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形性质和角平分线的性质证明； （2）证明，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 易错题型七、正方形判定证明 19．（24-25九年级上·甘肃酒泉·月考）四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方式： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、不能判定为特殊的四边形； B、只能判定为矩形； C、只能判定为菱形； D、能判定为正方形； 故选：D． 20．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形________正方形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查的是正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定定理解答． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形是正方形， 故答案为：是． 21．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 根据有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可． 【详解】证明：四边形为矩形， ． ． 为的平分线， ． ． ． 矩形为正方形． 易错题型八、四边形周长、面积计算 22．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得到边角关系，再由全等三角形的判定方法解题，求得的长，证明即可解题． 【详解】解：四边形是平行四边形，周长为10， 在与中 ， 则的周长 ． 23．（24-25八年级下·上海静安·阶段检测）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 24．（2025·浙江温州·三模）如图，在8×7的方格纸中有一格点三角形ABC（顶点在格点上），请按要求找出格点画图形． (1)在图甲中，找一格点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积． (2)在图乙种，找两个格点E，F，使得它们与△ABC的其中两个顶点构成平行四边形，且面积等于△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等高模型解决问题即可． （2）先得出△ABC的面积为5，利用数形结合的思想，作出面积为5的平行四边形AEBF即可． 【详解】（1）如图，点D1，D2，D3，D4即为所求． （2）如图，点E，F即为所求． △ABC的面积=3×4-（1×4+2×2+2×3）÷2=5， ∵AF=BE=5，AF//BE， ∴四边形AEBF是平行四边形，且AF边的高为1， ∴平行四边形AEBF的面积=△ABC的面积=5，点E、F即为所求， 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用等高模型解决面积问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 易错题型九、四边形折叠题型计算 25．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法不正确的是（　　） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定全等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系；借助矩形的性质、全等三角形的判定等几何知识来分析、判断、推理或解答，根据题意结合图形可以证明，进而证明；此时可以判断选项A、B、D是成立的，问题即可解决． 【详解】解：由题意得：， ∴；； 又∵四边形为矩形， ∴； ∴； ∴， ∴为等腰三角形； 在与中， ， ∴； 又∵为等腰三角形， ∴折叠后得到的图形是轴对称图形； 综上所述，选项A、C、D成立， ∴下列说法错误的是B， 故选：B． 26．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为__________． 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，属于轴对称，解决本题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，由此解方程可得到的度数． 【详解】解：∵， 设， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴，解得， 即的度数为． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·北京·期中）ABCD为一张长方形纸片，AB//CD，AD//BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，观察折叠后的结果，并回答问题． （1）如图1，沿DE折叠长方形纸片，使点C落在AD上点C'处，CD恰好与AD在同一直线上，则∠C'ED＝ °，△C'ED为 三角形． （2）如图2，沿EF折叠长方形纸片，使EF＝PE，折叠后点C，D分别落在点C'，D'处，C'E与AD相交于点P．求证：△PEF为等边三角形． 【答案】（1）45，等腰直角；（2）见解析． 【分析】（1）根据翻折图形的性质可得：△DCE△DC’E，根据全等三角形的性质可得：DC=DC’，CE=C’E，∠DCE=∠DC’E=90°，再根据∠CDC’=90°，可证四边形CDC’E是正方形，根据正方形的性质即可求解； （2）根据翻折图形的性质可得：∠CEF=∠C’EF,根据矩形性质可得：AD//BC，由平行的性质可得∠CEF=∠EFP，等量代换可得∠C’EF =∠EFP，继而可得PE=PF，根据EF＝PE可得PE=PF=EF可证△PEF为等边三角形． 【详解】（1）解：根据翻折图形的性质可得：△DCE△DC’E， 所以 DC=DC’，CE=C’E，∠DCE=∠DC’E=90°， 因为∠CDC’=90°， 所以四边形CDC’E是正方形， 所以∠C’ED=45°，△C'ED为等腰直角三角形； （2）解：根据翻折图形的性质可得：∠CEF=∠C’EF, 因为矩形ABCD， 所以AD//BC， 所以∠CEF=∠EFP， 所以∠C’EF =∠EFP， 所以PE=PF， 又因为EF＝PE， 所以PE=PF=EF， 所以△PEF为等边三角形． 【点睛】本题主要考查翻折图形的性质，矩形的性质，正方形的判定，等边三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握翻折图形的性质，矩形的性质，正方形的判定. 易错题型十、线段最值计算 28．（24-25九年级上·四川巴中·月考）如图，中，＝，、 分别是线段和线段上的动点，且，是线段上一点，且，则的最小值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，过点作于点，过点作于点，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图： ，， ，， 当时，取得最小值， 此时，四边形为矩形， ． 故选：D． 29．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在菱形中，对角线交于点O，，点E为线段上一动点，且，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短；由题意知，当时，线段的值最小，此时点E与点O重合，即；由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：在菱形中，； 由题意知，当时，线段的值最小， 此时点E与点O重合，即； 在中，由勾股定理得：， 即， ， 即线段的最小值为； 故答案为：． 30．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上． (1)在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______； (2)在图中以线段为一腰的等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个； (3)在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？ 【答案】(1)10 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握正方形和等腰三角形的判定与性质及轴对称最短路线问题． （1）根据正方形的判定与性质作图即可； （2）分点为顶点和点为顶点两种情况分别确定点即可； （3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1） 解：如图所示，正方形即为所求， ， 正方形面积为10， 故答案为：10； （2） 解：如图，满足条件的点有6个， 故答案为：6； （3） 解：作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求． 此时的周长最小， ∴， ∴的周长最小，且为． 易错题型十一、中位线计算 31．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（     ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 【答案】D 【分析】先确定D、E分别是、的中点，判断是的中位线，依据三角形中位线定理，可得到和的数量关系．结合已知的长度，根据所得数量关系即可计算的长度． 【详解】由题意可知：是的中点，是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵米， ∴米，即、间距为32米． 32．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点C，D分别是，的中点．若，则该工件内槽宽的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，利用三角形中位线定理“斜边中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴（）． 33．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图； （2）根据三角形的中位线得出线段之间的数量关系和位置关系，判定四边形是平行四边形，然后根据邻边相等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 易错题型十二、用有序数对表示位置与路线 34．（2025八年级下·上海松江·专题练习）电影院里，A，B，C，D四位同学的位置如图（横为排，竖为列），A的座位在第2排第2列，B在第5排第3列，C在第4排第4列，D在第6排第5列，撤去第一列，仍按原方法确定位置（　　） A．A的座位在第2排第1列 B．B的座位在第4排第3列 C．C的座位在第3排第4列 D．D的座位在第6排第6列 【答案】A 【分析】本题考查了有序数对确定位置． 根据坐标确定位置，从有序数对的两个数的实际意义考虑解答． 【详解】解：如图，撤去第一列，画图如下： 此时A的座位在第2排第1列； B的座位在第5排第2列； C的座位在第4排第3列； D的座位在第6排第4列； 只有A正确， 故选：A． 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【答案】(1)光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区 (2)见解析 【分析】本题考查了区域定位法在生活中的运用； （1）根据题意找到位置即可； （2）利用区域定位法描出公交路线. 【详解】（1）解：光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区． （2）如图所示，图中黑粗线即为所求． 易错题型十三、已知点所在的象限求参数 37．（25-26八年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用x轴上点的坐标特征求解，x轴上点的纵坐标为0，据此先求出参数的值，再计算得到点的横坐标即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， 解得， 把代入横坐标得：， ∴点的坐标为． 38．（25-26八年级下·上海松江·期中）点在轴上，则点的坐标为_____ 【答案】 【分析】在x轴上的点的纵坐标为0，据此求出a的值，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 39．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (3)若点在第二、第四象限的角平分线上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，进行求解即可； （3）根据第二、第四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴即：， ∴， 即：； （2）解：∵点的坐标为，且轴， ∴，解得：， ∴， 即：； （3）解：∵点在第二、第四象限的角平分线上， ∴解得：， ∴， 即：. 易错题型十四、写出直角坐标系中点的坐标 40．（24-25八年级上·山东·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为， 选项符合题意． 41．（25-26八年级下·上海松江·期中）在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 【答案】 【详解】解：根据、的坐标建立平面直角坐标系如下： 则点的坐标为． 42．（25-26八年级下·上海长宁·期中）为更好的开展古树名木的保护工作，某公园对园内的棵百年古树利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)请你在如图所示的正方形（每个小正方形的边长都是）网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中， ①古树的位置对应的点的坐标为_______； ②标出另外三棵古树，，的位置． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）根据，建立坐标系即可； （2）①根据（1）中坐标系，结合点位置解答即可； ②根据坐标系，结合三点坐标，标出各点位置即可． 【详解】（1）解：如图所示，坐标系即为所求． （2）解：①由（1）中坐标系可知，点的坐标为． ②点，，的位置如（1）中图所示． 易错题型十五、已知两点坐标求两点距离 43．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：点到原点的距离为． 44．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 【答案】 【分析】先由、坐标求得，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为和， ，， ． 45．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为，，．将平移后得到，且点的对应点是，点、的对应点分别是、． (1)点、之间的距离是______ (2)请在图中画出． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查的是勾股定理及坐标系内图形的平移， （1）根据，，直接求出距离即可； （2）根据，确定平移方式，即可作出图形． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）即为所求作． 易错题型十六、已知图形的平移，求点的坐标 46．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 47．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点B和其对应点D的坐标，计算出平移的横坐标变化量和纵坐标变化量．利用上述计算出的变化量，结合点A的坐标求出点C的坐标． 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵， ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 48．（24-25八年级下·上海虹口·期末）三角形经过平移得到三角形，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：A________，________，B________； (2)连接和，写出线段和的关系； (3)若点是三角形内部一点，则平移前三角形ABC内部的对应点P的坐标为________． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】本题考查了平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；掌握坐标的平移规律是解题关键． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）根据平移性质可得结论； （3）根据坐标的平移规律：横坐标向左平移减，向右平移加；纵坐标向上平移加，向下平移减；可得结论； （4）根据图形可得结论． 【详解】（1）解：由图可知：，，； （2）解：如图所示，连接和， 由平移得：，； （3）解：三角形经过平移得到三角形， 平移方式是先向左平移4个单位，再向下平移2个单位， ∴若点是三角形内部一点，则平移前三角形内部的对应点P的坐标为． 易错题型十七、已知两点关于原点对称求参数 49．（25-26八年级下·全国·课后作业）若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可求解． 【详解】解：∵ 点 与点 关于原点对称， ∴，， ∴，． 50．（25-26九年级上·广东惠州·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【答案】 2026 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握“两点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数”这一性质． 根据关于原点对称的坐标性质，得到与互为相反数，与互为相反数；求出、的值后，计算mn的乘积． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称， ∴ ． ∴ ． 故答案为：2026． 51．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 【答案】(1)，；，． (2) 【分析】（1）根据各个点在平面直角坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据（1）得出的结论可知点P和点Q的横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可． 本题主要考查了在平面直角坐标系中点的变化规律、二元一次方程组的应用等知识，熟练的掌握平面直角坐标中点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1），；，． （2）由（1）可知对应点的横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数． 根据题意得：， 解得 易错题型十八、函数图象识别 52．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，据此进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项C中对于的每一个值，有两个值与其对应，不符合函数的定义，不是函数，其余选项中，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，是函数. 53．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 【答案】（2） 【分析】本题考查函数图象的识别，根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，图象（2）适合表示与的对应关系． 故答案为：（2）． 54．（24-25八年级下·上海静安·期中）下列各情境分别可以用右边哪幅图来近似的刻画？横线上填相应的字母序号． (1)一面冉冉上升的旗子________ (2)匀速行驶的汽车________ (3)足球守门员大脚开出去的球________ (4)一杯越晾越凉的水________ 【答案】(1)D (2)B (3)A (4)C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】（1）解：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C； 易错题型十九、正比例函数的性质 55．（2026·广西玉林·二模）若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 56．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在串联电路中，电流处处相等，且满足欧姆定律，现有两个定值电阻，阻值之比，若将它们串联接入同一电路中，则它们两端的电压之比______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∵有两个定值电阻串联接入同一电路中， ∴ ∵， ∴ 57．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在函数图像上 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 易错题型二十、根据一次函数的定义求参数 58．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 59．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）已知y关于x的一次函数，若图象经过原点，则______． 【答案】 【分析】首先根据一次函数的定义求出，然后将代入求解． 【详解】解：∵y关于x的一次函数， ∴ ∴ ∵图象经过原点， ∴， ∴或（舍去）． 60．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 易错题型二十一、根据一次函数增减性求参数 61．（2026·甘肃白银·二模）一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】先根据一次函数增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，即可选出符合的选项． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 当时，， ∵， ∴， 即， 选项中只有，符合要求． 62．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知一次函数的y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的k的值为______． 【答案】3（答案不唯一） 【详解】解： 一次函数 中随的增大而增大， ， 解得， 故可取． 63．（24-25八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）根据此一次函数的图象经过第一、二、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． （2）解：此一次函数的图象经过第一、二、四象限， 解得， 即的取值范围为． 易错题型二十二、一次函数图象与坐标轴的交点问题 64．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与x轴交点坐标的求法，掌握x轴上点的纵坐标为0是解题关键，只需将代入函数解析式求解x即可得到交点坐标． 【详解】解：∵x轴上的点纵坐标为0 ∴将代入中，得， 解得：， ∴该一次函数图象与x轴的交点坐标是． 故选：A． 65．（2025八年级上·全国·专题练习）直线与轴交点的横坐标是_______，与轴交点的纵坐标是_______． 【答案】 6 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，通过令，求x轴交点横坐标，令， 求y轴交点纵坐标． 【详解】解：令，得， 解得， 所以与x轴交点的横坐标是； 令，得， 所以与y轴交点的纵坐标是6． 故答案为：①；②6． 66．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 易错题型二十三、一次函数与不等式和方程组问题 67．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 68．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集是． 69．（25-26八年级下·上海崇明·月考）如图，直线与直线相交于点． (1)求p的值； (2)直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (3)若直线与x轴交于点，求m和n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点M代入，解出p即可； （2）根据图象即可知方程组的解为M点的坐标； （3）将M点和B点代入直线，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； （3）解：∵，， ∴， 解得． 易错题型二十四、一次函数的综合应用 70．（25-26八年级上·河南周口·期中）某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 【答案】(1)（为整数） (2)总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元 【分析】本题一次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意列出不等式，解出的范围即可； （2）设总租金为元，则列方程为，根据一次函数的图象性质可知，当时，最小，最小值为14400元，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 由于，且为整数， 则的取值范围是（ x为整数）； （2）解：设总租金为元，则， 由于， 所以随的增大而增大， 当时，最小，最小值为14400元， 此时租车方案为：载重量20吨的货车0辆，15吨的货车12辆， 因此，总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元． 71．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： (1)写出总费用y与x的函数关系式； (2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）求出购买电子元件套装的数量为件，根据单价计算即可； （2）先根据题意求出，再根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵购买机器人模型的数量为件，购买两种物品共60件， ∴购买电子元件套装的数量为件， ∵机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件， ∴； （2）解：∵机器人模型数量不少于电子元件套装的倍，且电子元件套装至少购买10件， ∴，解得 ，， 总费用随的增大而增大， 当时，（件）， 此时（元）． 购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元． 72．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 【答案】(1) (2)两个机器人还应继续向前走． 【分析】（1）设函数解析式为：，根据待定系数法，即可； （2）由表格可得，走了的距离为，要使它们的距离再增加，得到两个机器人的距离，求出总的时间，用总时间减去，即可． 【详解】（1）解：设两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式为： 把，；，代入， ∴， 解得：， ∴函数表达式为：． （2）解：由表格可得，当时，两个机器人的距离为：，要使它们的距离再增加， ∴两个机器人的距离为：； ∴当时，， 解得：， ∴还应继续向前走：． 答：两个机器人还应继续向前走． 易错题型二十五、一次函数的综合应用 73．（25-26八年级下·全国·课后作业）若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 74．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________． 【答案】7（答案不唯一，k大于6即可） 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，求出，与点比较后得到，即可得到的取值范围，据此得到答案． 【详解】解：过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点， ∵点，当时，，即， 由图可知，， ∴， 则的值可能是7， 故答案为：7（答案不唯一，k大于6即可） 75．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义列式计算即可． 【详解】解：因为是关于x的反比例函数， 所以， 所以， 所以． 易错题型二十六、已知反比例函数的增减性求参数 76．（2026·河北唐山·二模）函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】根据函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，得到，求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 所以， 故符合要求的是0， 故选：D 77．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）某反比例函数满足当自变量时，函数值随的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，由题意可知，当时，随的增大而减小，根据反比例函数的性质可得，取，可得满足条件的函数表达式为，答案不唯一． 78．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 易错题型二十七、系数k 的几何意义 79．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 80．（25-26八年级下·上海普陀·月考）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【答案】4 【分析】由于点A是反比例函数上一点，矩形的面积． 【详解】解：由题意得：． 81．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，且的面积为1．求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了反比例中的几何意义，解题的关键是利用的面积为1，求出，再将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：点的坐标为轴， ， 的面积为1， ， 解：， 点的坐标为． 把代， 得， ． 易错题型二十八、反比例函数的图像对称性 82．（25-26九年级上·上海嘉定·月考）在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质可知，两个反比例函数的比例系数互为相反数，即可列方程求解． 【详解】解：反比例函数的图象与反比例函数的图象既关于x轴，又关于y轴成轴对称， ， ． 故选：C． 83．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 84．（2025·上海嘉定·模拟预测）小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究． （1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是______； ①列表：如下表． … －6 －2 1 0 3 4 6 10 … … 0 －3 －1 －7 9 5 3 2 … ②描点：点已描出，如图所示． ③连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象． （2）探究性质：根据反比例函数的图象和性质，结合画出的函数图象，回答下列问题： ①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是______； ②该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为______； ③结合函数图象，请直接写出时的取值范围______． 【答案】（1），函数图像见详解；（2）①（2，1），②右移2个单位，上移1个单位，③或． 【分析】（1）根据分母不能为零得到自变量的取值范围，根据图表，描点，连线画出函数图像即可；（2）根据函数的关系式和函数图像的形状和性质，可得出对称中心的坐标和平移方式，根据图像可得出时的取值范围． 【详解】解：（1）根据分母不能为0，可得函数的自变量的取值范围是； ③函数图像如下图所示， （2）①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，函数的对称中心的坐标是（2，1）； ②根据平移的性质可得，函数的图像由的图象往右移2个单位，上移1个单位； ③根据函数图像，可知当时的取值范围是：或 ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 易错题型二十九、一次函数与反比例函数的交点问题 85．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在直线上，先求出，再代入反比例解析式求即可. 【详解】解：∵反比例函数与直线交于点， ∴，即： ∴． 86．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值小于正比例函数值时x的范围，根据正比例函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点， ∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， ∴若，则的取值范围是或． 87．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 压轴题型一、特殊四边形中证明综合应用 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接AF，F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据平移的性质得出，，则，再根据平行四边形的性质得出，则，即可证明． （2）过点B作交延长线于点F，证明四边形为平行四边形，结合已知条件得出，，证明是等边三角形，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：根据平移的性质，，， ， 在中，， ， 在和中， ， ． （2）解：． 过点B作交延长线于点F ，， 四边形为平行四边形， ，， 又， 是等边三角形， ． 故． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确做出辅助线是解本题的关键． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）甲方案：如图，连接，根据平行四边形的性质得，，再根据中点的定义得，即可得出四边形为平行四边形； 乙方案：根据平行四边形的性质得，，即可得，再根据“角角边”证明，可得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，，可得，再说明 ，，然后根据 ，可得 ，进而根据得出答案． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点E为对角线延长线上的一点，连接，．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ①________， ，， ②________， 在和中， ， ， ③________，， ④________， ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）解答： (1)【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ (2)【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 【分析】（1）连接，根据平行线的性质即可判断； （2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形． 【详解】（1）解：连接，交于点， ①由图可得，平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 同理可得，， ∴平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的； （2）证明：过点作平行且等于，连接， ∴平行四边形是平行四边形， ，， ∵在平行六边形中， ∴； ∵在平行六边形中，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ∵ ∴ 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． 压轴题型二、据四边形的性质求面积、周长、边长 6．（2026·四川广安·二模）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点． （1）通过证明，得到，得证四边形是平行四边形，根据，得证结论． （2）根据矩形的性质得到，继而根据勾股定理得到， 根据平行四边形的性质得到，根据割补法计算四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 7．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，则在点E的运动过程中， ①当为何值时，四边形是矩形； ②当为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质得出相等的角，利用全等三角形的判定和性质得出相等的边，即可得出结论； （2）①利用矩形的性质以及含角的直角三角形的性质求解； ②根据菱形的性质以及等边三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，. ∵F是的中点， ∴. 在和中， ， ∴ ∴. 又，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当四边形是矩形时，， ∵， ∴． ∴． ∴； ∴当时，四边形是矩形； ②当四边形是菱形时，． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴当时，四边形是菱形． 8．（24-25八年级下·河南新乡·期末）在中，，，点在射线上（与、两点不重合），以为边作正方形，使点与点在直线的异侧，射线与直线相交于点． (1)若点在线段上，如图1，判断：线段与线段的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)如图2， ①若点在线段的延长线上，判断（1）中线段与线段的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由； ②当为中点，时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①成立，理由见解析；② 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，由正方形的性质得到，，由角的和差关系得到，即可证明，得到，，可得，，根据等角对等边即可得到； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，由正方形的性质得到，，由角的和差得到，可证明推出，得出，可得，，，根据等角对等边即可得到，即可得出（1）中结论依然成立； ②过点作于，根据等腰直角三角形的性质得出，，根据①中结论，结合为中点，得出，根据勾股定理可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， （2）解：①（1）中结论仍然成立，理由如下， ∵在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图，过点作于， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由①可知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 9．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要手段．数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” (1)【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板沿方向平移至图②的位置．此时点与点不重合，且． 操作三：测量图②中与的长度． 根据以上操作，填空： 图②中与的数量关系是________．四边形的形状是_______． (2)【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个的直角三角板继续探究（如图③），已知三角板的直角边的长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形的形状是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的长． (3)【拓展探究】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)，平行四边形 (2) (3)的长为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，平移的性质，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． （1）由平移的性质可得，可得结论； （2）先证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形； （2）能．连接， ∵， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是菱形， ∵， ∴此时是等边三角形． ∴， ∴； （3）当时，为等腰三角形，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， 如图，过点B作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不合题意舍去， 综上所述：的长为或． 压轴题型三、平面直角坐标系中存在性问题 11．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标，并求出的面积 (2)在y轴上是否存在点P，使得以A，C，P为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在y轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为或，的面积为8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据，点B在x轴上，且，可知点B的横坐标与点A的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B的坐标，从而可以求得的面积． （2）根据题意可知点P在点C的上方或者下方，从而可以求得点P的坐标． （3）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，利用勾股定理列式计算从而可以得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，点B在x轴上，且， ∴设点B的坐标为，． 解得，或． ∴点B的坐标为或． 在平面直角坐标系中画出，如下图所示： ∴，． 即的面积为8； （2）解：在y轴上存在点P，使得以A、C、P三点为顶点的三角形的面积为9． 设点P的坐标为， 由题意可知点P可能在点C的上方或下方． 当点P在点C上方时，， 解得，． 当点P在C点下方时，， 解得，． 由上可得，点P的坐标为或； （3）解：在y轴上存在点Q，使得是等腰三角形． 如下图所示： ∵， ∴， 当时，点Q的坐标为：或； 当时，点Q与点C关于x轴对称，点Q的坐标为：； 当时，设点Q的坐标为， 则， 解得， ∴点Q的坐标为， 综上，使得是等腰三角形，点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积． 12．（24-25八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为． (1)请求出； (2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标． 【答案】(1)6.5 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下： ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 13．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)存在，点D的坐标为或或 (2) 【分析】（1）设，然后根据题意分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：存在，设 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图 ∴平行四边形的面积． 14．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)存在，点E坐标为或 【分析】（1）利用平移方式求出点、的坐标，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解面积即可； （2）根据的面积是面积的3倍求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为即，点的坐标为即， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：由题知， ，． 因为的面积是面积的3倍， 所以， 则． 因为点B坐标为， 则， 所以点E坐标为或． 15．（24-25八年级下·上海闵行·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)选择①，不存在．理由见解析；选择②，不存在．理由见解析 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，理解“坐标相合”的点的定义是解题的关键； （1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可； （2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可； （3）选择①，利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的； 选择②，利用假设法证明不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 【详解】（1）解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点； 故答案为：①②③； （2）解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的， ∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上， ∴ 解得； （3）解：选择①，不存在．理由如下： 假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的， 所以，，，和，，，均是“坐标相合”的， 同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， 所以在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾． 所以不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 选择②，不存在．理由如下： 假设存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．设这五点为，根据“坐标相合”的定义可知：中的最小数和最大数不等，不妨设最小数为，最大数为，且． （i）考察．若中至少有一点在某长方形的水平边上，不妨设为，因为是“坐标相合”的，所以位于该长方形左侧竖直边的点的横坐标小于，与是最小数矛盾．类似的，若在某长方形的水平边上，则位于该长方形右侧竖直边的点的横坐标大于，与是最大数矛盾．所以分别在长方形的左、右侧竖直边上，在两条水平边上，不妨设在下水平边上，在上水平边上，如图所示，即； （ii）考察．同（i）可知： ； （iii）考察．同（i）可知： ，与矛盾． 综上所述，不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 压轴题型四、坐标系中的动点问题 16．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题中“系联动点”定义直接求解即可； （2）先由题中“系联动点”定义求出点的坐标，再由点在轴上，列方程求出参数即可得到答案． 【详解】（1）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即； （2）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即， ∵点在轴上， ， ∴， 则， ∴点的坐标为． 17．（24-25八年级下·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 【答案】(1)， (2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为 (3)时，P坐标为，Q坐标为 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据路程之和等于矩形的周长构建方程即可解决问题； （3）根据题意得到两点的位置关于原点O对称，进而求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的非负数的性质，相遇问题等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）由题意可得：点P运动路程为t，点Q运动路程为，长方形的周长为， 根据题意得， ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）由题意：、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 ∴两点的位置关于原点O对称， 当时，此时点P所走的路程4，坐标为 此时Q坐标为，满足条件， 所以此时P坐标为，Q坐标为． 18．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 【答案】(1)，平行 (2)，理由见解析 (3)； 【分析】（1）利用非负数的性质求出，即可得到，再根据坐标的特点即可得到和的位置关系； （2）过点作，利用平行线的性质可得 ，结合 ，即可说明； （3）由题意得， ，求出，得到 ， ，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵点，点的纵坐标相等，点，点的纵坐标相等， ∴和的位置关系是平行； （2）解：，理由如下： 过点作， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得， ， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得； 此时点的横坐标：， 点的坐标为． 19．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①点的坐标为或；②2；③ (2) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． （1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形周长为32计算即可； （2）由题意，分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为2； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上， ∴， ∴； （2）解：∵点，点， ∵有动点，使得， ∴分类讨论， ①当时，，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，的取值范围为． 20．（25-26八年级下·上海松江·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）求出点D坐标，分别讨论当点P在x轴或y轴的情况，以为未知量，以面积为等式构造方程，求出点P坐标即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 平移到向下平移了单位，向右平移5个单位， 到向下平移了单位， ； （2）解：由（1）， 当点P在y轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标或； 当点P在x轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标为或； 故点P的坐标或或或． （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 压轴题型五、求一次函数解析式与交点坐标 21．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：令， 解得， ， ， ， ． 22．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 23．（25-26八年级下·河南南阳·期中）实践探究：三角形的面积平分直线探究 三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．已知直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，我们来开展以下探究活动． (1)求出、两点的坐标，并计算的面积； (2)请你画出，并尝试画出一条能将分成面积相等两部分的直线，写出这条直线的函数表达式，并说明你这样画的理由； (3)除了（2）中你画出的直线外，是否还存在其他过顶点且能平分其面积的直线？如果存在，请找出所有符合条件的直线并写出它们的函数表达式：如果不存在，请说明理由； (4)结合上述探究，你能总结出“过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规律吗？请用文字描述出来． 【答案】(1) ，， (2) ，理由见解析. (3) 存在，符合条件的直线为和 (4) 过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标，根据坐标可得和的长度，利用三角形的面积公式求出结果； （2）根据点、的坐标，求出线段的中点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，直线即为所求； （3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，的另外两条中线所在的直线也过顶点且能平分其面积，利用待定系数法求出另外两条中线所在直线的解析式即可； （4）过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， ， ； （2）解：如下图所示，过原点和边的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是； （3）解：如下图所示，过点和边的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 如下图所示，过点和的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和代入， 可得：， 解得： 直线的解析式为； 综上所述，直线和过顶点且能平分其面积； （4）解：过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线． 24．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入得出，然后再代入进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得， 设点，进而建立方程进行求解即可； （3）根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 25．（25-26八年级下·北京·期中）【课本原型】人教版八年级下册数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】小厉同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： (1)a的值为________； (2)在图中画出该函数的图象； (3)【数学思考】结合图象，下列说法正确的是：________； A．函数图象关于轴对称 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．函数图象与轴围成图形的面积为4 (4)【深入探究】函数图象上有两点和，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)BD (4) 【分析】（1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，即可求得k、b的值，求得函数解析式，再求出时函数值即可求得a的值； （2）根据表中的数据，描点、连线即可； （3）根据所画函数图象，逐项分析解答即可； （4）根据和在上得出，，结合，得出． 【详解】（1）解：由表知，当时，；当时，， 把它们代入函数式中，得：， 解得：， 故函数解析式为； 当时，； （2）根据表中的数据，描点、连线，画图如下； （3）解：根据所画函数图象关于直线对称，不是关于y轴对称，故A说法错误； 当时，函数图象是上升的，即y随x的增大而增大，故B说法正确； 当时，根据函数图象得：或，故C说法错误； 由表知，函数图象与x轴相交于、， 则函数图象与x轴围成图形的面积为，故D正确； （4）解： 和在上 ∴， ∴ ∴ ∵     ∴ ∴ ∴ ∴ 压轴题型六、结合一次函数图像解不等式、求三角形面积 26．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)观察图象，当时，的取值范围为________； (2)求的面积． 【答案】(1)或 (2)8 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，包括：一次函数解析式的求解、利用函数图象解不等式、三角形面积的割补法计算．关键是先通过反比例函数求出交点坐标，再结合图象和坐标进行后续分析与计算． （1）利用反比例函数解析式求出交点、的坐标，再将不等式转化为“一次函数值小于反比例函数值”的图象问题，结合图象观察一次函数图象在反比例函数图象下方的取值范围，即可得到不等式的解集． （2）通过、两点坐标求出一次函数的解析式，再找到一次函数与轴的交点；将的面积转化为与的面积差，利用三角形面积公式代入坐标计算即可． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数上， ∴将代入得，解得； 将代入得， ∴，． 不等式即一次函数值小于反比例函数值，结合图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方； 故答案为：或； （2）解：将、代入得：， 解得， ∴一次函数为． 令，得，解得，即一次函数与轴交点为， 则． 故的面积为8． 27．（2025·湖北襄阳·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)8 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形面积、反比例函数与不等式等知识点．掌握用待定系数法确定一次函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可； （2）先求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用进行计算即可； （3）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）解：把的坐标代入，得， ∴反比例函数的解析式为． 把的坐标代入得：， ∴． 把和的坐标代入，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：在中，令，则， ∴直线与x轴交于点． ∴． （3）解：由图可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即； ∴不等式的解集为或． 28．（25-26八年级下·上海崇明·月考）如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的交点问题，一次函数与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入，得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 29．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．    (1)填空： ______， ______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， (4) 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点的坐标； （4）根据图象即可求解． 【详解】（1）是一次函数与的图象的交点， ，解得， ，解得， 故答案为：3，6； （2）一次函数中，当时，；当时，， ，， 一次函数中，当时，， ， ， ， 的面积为50； （3）如图：    在线段上存在一点，使得的面积与四边形的面积比为， 的面积与四边形的面积比为， ， ，即， ， 点在线段上， 点的坐标为； （4）， 时，， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)求的面积； (4)通过图象直接写出直线自变量的取值范围； (5)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，二元一次方程组，以及三角形面积的计算等有关知识，难度中等．掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键． （）直线与轴交点的纵坐标为，令，解方程即可得； （）设直线的解析式为，将已知点和代入，得到关于的方程组，解方程组即可； （）联立和的解析式，求出交点 ,由，则，以为底，到轴的距离(即纵坐标绝对值 )为高，根据三角形面积公式求解即可； （）通过图象写出直线自变量的取值范围，即当时自变量的取值范围，观察图象即可得； （）两三角形面积相等且共底边，故到 轴的距离与相等(为)，在上， 代入，求解即可； 【详解】（1）∵一次函数与轴交于点， 令，得， 解得：， ∴点的坐标是； （2）设直线的解析式为， ∵直线经过点，， 由图象知，，， ∴把，，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）∵直线，交于点， 解方程组， 得， ∴点的坐标是， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ； （4）∵直线，交于点， 点的坐标是， 当时，由图可知时， 即：直线自变量； （5）∵点在轴的下方， ∴由题意知直线上的点在轴的上方， ∴点的纵坐标是正数， ∵和的面积相等，， ， ∵， ∴点的纵坐标是：， 把代入得： ， 解得：， ∴点的坐标是； 压轴题型七、一次函数动点存在性问题 31．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线．设运动的时间为t秒，是否存在t，使是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或或 【分析】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，运动的时间是t，则，，利用勾股定理把，和用t表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可． 【详解】解：运动的时间是t，则，． 在直角中，， 过C作轴于点D，则D的坐标是． 在直角中，， ， 当是斜边时，，则， 解得：． 此时，，，此时不是等腰三角形，故不符合条件； 当是斜边时，，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当是斜边时，，则， 解得：（舍去），或1． 当时，，，此时． 总之，当时，是等腰直角三角形． 32．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，的长分别为的两个根，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，过点作，交于点，连接，，当点运动到点时，点也同时停止运动，当两动点运动了秒时，记的面积为． (1)求直线的解析式； (2)求关于的函数关系式； (3)点在运动过程中，在轴右侧是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)Q的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的性质及应用，解题的关键是分类思想的应用． （1）解得或，故，用待定系数法可得直线解析式为； （2）根据题意，，，可得，，分三种情况，由三角形面积公式可得答案； （3）设，而，①当为对角线时，中点重合，且，，②当为对角线时，的中点重合，且，，③当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案． 【详解】（1）解：解得或， ∵的长分别为的两个根， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：根据题意，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当，即时，N，P，M共线，， 当时，； 当时，； ∴； （3）解：设，而， ①当为对角线时，中点重合，且， ∴， 解得：（此时N不在边上，舍去）或， ∴Q的坐标为； ②当为对角线时，的中点重合，且， ∴， 解得：（Q与P重合，舍去）或， ∴Q的坐标为； ③当为对角线时，的中点重合，且， ∴， 解得， ∴Q的坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或． 33．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出t即可； （2）分两种情形：或分别求解即可． （3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，交于点，求出和，分别求出三角形和三角形的面积，则可得出答案． 【详解】（1）若点在线段的垂直平分线上，则， ，， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； （2）①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ， ②若， 则是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴当或时，是直角三角形； （3）过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：与之间的关系式为． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键． 34．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图1，直线与x轴交于A，与y轴交于B．点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点P是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，已知的面积为4，求点P的坐标； (3)如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，连接，在点M的运动过程中是否存在的情况？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． （1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）设，则，表示出，用三角形面积公式即可得出结论； （3）设，分点在轴左侧和右侧，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于A， ∴在中，令，得到；令，得到． ∴，． ∵点C与点A关于y轴对称， ∴．     设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：，     ∴直线的表达式． （2）解：∵点P在线段上，点Q在直线上， ∴设，则， ， ， ∵， ∴， 得：，     ∴．     （3）解：存在； 设， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．     如图，当M点在y轴右侧时， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 即：， 解得：， 则． 如图2，当M点在y轴左侧时， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 即：， 解得：， 则．     综上所述，点M的坐标为或． 35．（24-25八年级上·江西吉安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． (1)求直线的解析式． (2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质可得，再表示出，然后利用直角三角形的面积公式解答即可； （3）由题意可以确定t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、，再分别求出，最后分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴点 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：∵v， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，时间为t， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由： ∵轴，， ∴也为等腰直角三角形， ∴， t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、， 则：，， 当时，即：，（负值已舍去）， 当时，同理可得：（负值已舍去）， 当时，同理可得：（舍去）， 故：当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的定义，两点之间距离公式，利用平方根解方程，解题的关键在于（3）对的三边情况分情况讨论． 压轴题型八、反比例函数 k 的几何意义综合压轴 36．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，双曲线上的一点，其中，过点M作轴于点N，连接． (1)已知的面积是4，求k的值； (2)将绕点M逆时针旋转得到，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）依据的面积是4，即可得到，进而得出的值； （2）延长交轴于，依据四边形是矩形，即可得到，，，进而得到，根据点，都在双曲线上，即可得到，进而得出的值． 【详解】（1）解：双曲线上的一点，过点作轴于点， ，， 又的面积是4， ， ， 点在双曲线上， ； （2）如图，延长交轴于， 由旋转可得，， ，，， 轴， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， 点，都在双曲线上， ， 即， 方程两边同时除以，得 ， 解得， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 37．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12． (1)求k的值； (2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设点，结合轴，得出，根据面积公式以及的面积为12，进行列式计算，即可作答． （2）先得出，再代入反比例函数求出，假设存在点使得四边形为平行四边形， 结合平行四边形以为对角线，列式计算得，因为，即不在反比例函数的图象上． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上， 设点， ∵轴， 则点， ∴ ∵ 点， 的面积为12， ， 解得， ∴k的值为． （2）解：不存在． 理由如下： ，， ∴， 由（1）得k的值为． 把代入 得， ， 由（1）得k的值为． 把代入，得， 得， 假设存在点使得四边形为平行四边形， 根据题意得，平行四边形以为对角线， ，， ， ∵ 即不在反比例函数的图象上． 38．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，已知点、点都在反比例函数图象上．过点作轴的垂线，垂足为，的面积为，一次函数的图象过点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式，并求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)一次函数表达式为，的面积为 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用数形结合的方法确定不等式的解集是解本题的关键． （1）利用反比例函数中的几何意义求出进而得到反比例函数表达式； （2）先将点代入反比例函数求出、坐标，再代入一次函数表达式，用待定系数法求出一次函数表达式；求面积，可通过将其转化为几个容易计算面积的三角形组合来求解； （3）根据反比例函数与一次函数图象位置关系，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：已知，过点作轴垂线，垂足为，如图所示： ， ， 反比例函数图象在一、三象限， ， ， 反比例函数表达式； （2）把点、点代入上， ，， 、的坐标为，， 一次函数过点、， 将两点代入可得， 解得， 一次函数表达式为， 设直线与轴交点，令，则， ， ， ， ； （3）不等式即一次函数值小于反比例函数值， 从图象看，一次函数图象在反比例函数图象下方时： 当或满足条件， 的解集是或． 39．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由 结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果； （2）由题意可得的纵坐标为，再利用待定系数法解答即可； （3）先求出的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点N的坐标；②若，根据等腰三角形的性质解答；③若，根据两点间的距离解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ， ， ∴，解得， ∵， ∴； （2）∵，， ∴的纵坐标为 ∵在（）的图象上， ∴，解得： ∴ （3）∵， ∴ 是等腰三角形， ①当时，或 ②当时，则为对称轴，则， ③当时，设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 40．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标； (3)在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，P点的坐标为或． 【分析】（1）把代入解方程即可得到结论； （2）把代入得到，解方程组即可得到结论； （3）根据的面积为10，可得，解得； 或，解得；即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得：，解得， ∴， ∴， ∴或， ∴点A的坐标为； （3）解：存在． 理由：假设存在，设P点坐标为， 设直线与x轴交于点M 当时，，解得：， ∴点M ∵， ∴，解得； 或，解得； ∴P点的坐标为或 故存在P点使得的面积为10． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，三角形的面积是． 压轴题型九、反比例函数 k 的几何意义综合压轴 41．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 【答案】(1)， (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据点在正比例函数的图像上求出的值，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）利用基本作图作的垂直平分线即可； （3）如图，过点作轴于点，连接，设点，根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可得，继而得到关于的方程，求解可得点的坐标，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：如图1，直线即为所求． （3）解：如图，过点A作轴于点E，连接，设点． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵点， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴点， ∴． 【点睛】本题考查作图-基本作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，待定系数法求反比例函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理等知识点．熟练掌握种基本作图是解题的关键． 42．（2025·河南平顶山·二模）如图1，线段的长度一定，现将线段首尾相连，围成正边形（，且为整数），已知正边形的面积S（单位：）与边数（单位：条）之间的关系如图2所示．    (1)根据图中的信息，线段__________，当时，__________． (2)发现：观察图像，写出正边形的面积随边数的变化趋势为__________． (3)猜想：把线段围成什么图形时面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)12， (2)随的增大而增大 (3)围成圆形时面积最大，最大面积 【分析】本题考考查多边形的面积和周长，圆的面积和周长； （1）根据正方形的面积，求出周长即可得到，再求出正六边形的周长和面积即可； （2）根据函数图像直接得到答案； （3）根据题意，线段围成圆形时面积最大，进而即可求解 【详解】（1）解：当时，图形为正方形，此时面积为， ∴正方形的边长为，周长为，即， 当时，图形为正六边形，边长为，面积= 故答案为：12，； （2）由函数图像可知：随的增大而增大； （3）线段围成圆形时面积最大． 由得圆的半径， 所以圆的面积． 43．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，四边形是矩形，点A、C的坐标分别为，，点D是线段上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线于点E． (1)当点E恰为中点时，求m的值； (2)当点E在线段上，记的面积为y，求y与m的函数关系式并写出定义域； (3)当点E在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试判断四边形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于m的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，得出点B的坐标，再根据中点得出点E的坐标，最后将点E的坐标代入即可求解； （2）先求出点E的坐标，得出，再根据点C的坐标得出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意作出图形，易证重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点A、C的坐标分别为，， ∴． 当点E恰为中点时，则， ∵点E在直线上， ∴代入E点坐标，，解得：； （2）解：当点E在线段上， 将代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设与相交于点M，与相交于点N，则四边形与矩形的重叠部分的面积为四边形的面积． ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过D作，垂足为H，设菱形的边长为a， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，即， 解得：， ∴菱形的面积为：． 【点睛】考查了一次函数综合题，本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理，以及矩形和菱形的性质． 44．（2025·四川成都·三模）如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点E的坐标为 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）首先利用的面积求出的面积为4，然后得到的面积为8，然后根据题意分两种情况：点D在x轴负半轴和点D在x轴正半轴，然后利用求解即可． （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， ∴ 将，点代入， ，解得， ∴； （2）解：设一次函数与x轴交于点E， 令，则，令，则， ∴， ∴的面积 ∵的面积是面积的2倍， ∴的面积为8 设，如图所示，当点D在x轴正半轴时，连接，， 则， ∴ ∴ 解得 ∴； 如图所示，当点D在x轴负半轴时，连接，， 则， ∴ ∴ 解得 ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 45．（25-26八年级下·上海静安·期末）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点的坐标． (2)如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点、． ①过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； ②当的取值变化时，点随之在轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，请直接写出长的最小值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①2；②2 【分析】（1）过点作于，则，由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）①过点作于，则．由全等三角形的性质得，即可求解； ②由三角形的三边关系得，则当、、共线时，，的长最小，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 过点作于， ， 将线段绕点逆时针旋转得线段， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：①如图3，过点作于， 一次函数的图象与坐标轴分别交于点、， ， ， 同（1）得， ， ， ②如图4，连接， ， 当、、共线时，，的长最小，如图， ，， ， 长的最小值是 2． 压轴题型十、一次函数与反比例函数综合问题 46．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． (1)求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入得到，进而求得反比例函数的解析式； （2）先求得，设点的坐标为，根据得出，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴将代入中得，， ∴点的坐标为， ∴将代入中得，， ∴该反比例函数的表达式为， 点的坐标为； （2）∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∴ ∵， ∴，解得，或， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）∵，， 根据函数图象可得的解集为：或． 47．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； (3)若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分别求解，，再进一步求解即可； （3）根据中心对称的性质可得，再进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴代入得：， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵， ∴， 设，的面积为6， ∴， 解得：， ∴或． 48．（2026·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形的两个顶点，反比例函数（）的图象经过点． (1)求出反比例函数的表达式； (2)将平行四边形沿轴翻折，点落在点处， ①判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由； ②连接，作与轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)①在反比例函数的图象上，理由见解析；②或 【分析】（1）先求得点，再待定系数求解析式，即可求解； （2）①先求得，然后将代入反比例函数表达式，即可求解； ②过点作轴交与轴正半轴夹角的角平分线于点，为与的交点，设为轴正半轴上的一点，根据角平分线的定义以及平行线的性质求得的坐标，进而得出直线的解析式，联立反比例函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，是平行四边形的两个顶点， ∴， ∴ ∵反比例函数（）的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：①在反比例函数的图象上，理由如下： ∵将平行四边形沿轴翻折，点落在点处， ∴ 当时， ∴在反比例函数的图象上， ②如图，过点作轴交与轴正半轴夹角的角平分线于点，为与的交点，设为轴正半轴上的一点， ∵ ∴ 依题意， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：或 ∴所在直线与反比例函数的交点坐标为或． 49．（24-25九年级上·浙江温州·期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）根据图象确定分段函数的解析式，将点代入函数解析式进行求解即可； （2）图象法确定自变量的值即可； （3）分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，把代入，得：， ∴； 当时，同法可得：， 当时，设，把，代入得：， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）由图象和表格可知，当时，； 故答案为：； （3）由图象可知：当或时，方程有1个解； 当时，方程有3个解； 当时，方程有2个解， 当时，方程无解． 50．（2025·广西南宁·模拟预测）生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究： 【问题探究】 （1）设矩形的长和宽分别为，，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由． （2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为： ，将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 ，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的． （3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 ． 【拓展应用】 （4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数的图象G经过点，直线l：与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 ． 【答案】（1）存在，矩形的长为4，宽为1；（2），或；（3）；（4） 【分析】本题是一次函数与反比例函数图象综合题，考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键． （1）根据矩形的周长和面积可得，解方程即可求得答案； （2）根据矩形的周长公式可得，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即可得出答案； （3）由题意得：函数和有交点，即方程有实数根，利用根的判别式即可求得答案； （4）画出图象，结合图象即可得出答案． 【详解】解：（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；理由如下： 当矩形周长时，， ∴ 矩形面积， ， ∴， 解得：或（舍，不符合题意）， ∴， 矩形的长为4，宽为1； （2）由矩形的周长为10，得：， ， 在同一坐标系中画出函数和的图象，如图1， 观察图象可知：函数和的图象有2个交点或，故这样的矩形存在． 故答案为：，或； （3）当矩形的面积为4，周长为时，函数和有交点， 即有实数根， ， ∴，解得： 或，解得： 或（不符合题意，舍去）， 故答案为：； （4）如图2， 当直线经过时，区域内部有3个整数点、、， 此时，， 当直线经过时，区域内部有4个整数点、、，， 此时，， ， 当区域内恰好有4个整点时，； 故答案为：． $