专题03平行四边形 专项训练(15大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

**基本信息** 以16类题型系统覆盖平行四边形性质判定及综合应用，通过分层精练构建从基础到压轴的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|题型1-4（4类）|数图形个数、性质直接应用|从定义出发，强化对边、对角、对角线基本性质的理解| |判定证明|题型5-9（5类）|判定方法选择、条件补充、三角形拼接|性质与判定互逆转化，构建“性质应用-判定证明”逻辑闭环| |综合拓展|题型10-15（6类）|坐标系存在性、动点、最值、角平分线综合|结合几何变换与代数运算，体现空间观念与推理能力的综合运用| |分层精练|12道题|选择/填空/解答梯度分明|从基础巩固到中考压轴题，实现知识应用的螺旋式上升|

专题03平行四边形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.数图形中平行四边形的个数 题型2.利用平行四边形的性质求解 题型3.利用平行四边形的性质证明 题型4.平行四边形性质的其他应用 题型5.证明四边形是平行四边形 题型6.判断能否构成平行四边形 题型7.添一个条件成为平行四边形 题型8.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 题型10.利用平行四边形的判定与性质求解 题型11.平行四边形性质和判定的应用 题型12.平行四边形与角平分线综合问题 题型13.平面直角坐标系中平行四边形存在性问题 题型14.平行四边形中的动点问题 题型15.平行四边形中线段最值问题 题型16.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.数图形中平行四边形的个数 1．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 2．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有______个平行四边形．    3．如图所示，的三个顶点的坐标为，，． (1)把向左平移7个单位后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)把绕坐标原点O顺时针旋转后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 题型2.利用平行四边形的性质求解 1．如图，已知平行四边形的周长为，过点D作、边上的高、，且，，则平行四边形的面积为（    ）． A．30 B．36 C．40 D．42 2．如图，在中，，则的度数为_____ 3．在由小正方形组成的方格纸中，每个小方格的边长均为1．A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图．                                                                             (1)如图，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段，连接，得到四边形； (2)四边形的面积为______，点P是四边形外一点，过点P作直线，使直线平分四边形的面积； (3)在图中的格点上找一个点Q，使得的面积为4，满足条件的点Q的个数为______． 题型3.利用平行四边形的性质证明 1．已知平行四边形对角线交于点，下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为______．    3．在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 题型4.平行四边形性质的其他应用 1．如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．如果，，那么可得； B．在中，，； C．如果，，那么可得； D．在中，，； 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 3．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 题型5.证明四边形是平行四边形 1．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值______． 3．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 题型6.判断能否构成平行四边形 1．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C 都是格点． (1)请画出与关于点O中心对称的； (2)依次连结， 猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 题型7.添一个条件成为平行四边形 1．在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件___________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 3．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： (1)通过计算判断的形状； (2)在图中确定一个格点，连接、，使四边形为平行四边形，并求出平行四边形的面积． 题型8.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 3．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 1．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 3．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 题型10.利用平行四边形的判定与性质求解 1．在四边形中，，若，则（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 2．如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 3．如图，中，°，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作点，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求对角线的长． 题型11.平行四边形性质和判定的应用 1．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，，，，，则线段的长为___________．    3．如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 题型12.平行四边形与角平分线综合问题 1．如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，，则平行四边形的周长是（     ） A．28 B．24 C．14 D．12 2．如图，在平行四边形中，，的平分线交的延长线于点E，交于点F，则的值为__________． 3．已知，如图四边形是平行四边形． (1)作的平分线交于点（用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 题型13.平面直角坐标系中平行四边形存在性问题 1．如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在10×10的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是________． 3．在平面直角坐标系中，直线经过点和点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求直线l的解析式； (2)求点C、D的坐标，并计算线段的长度； (3)若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，当点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标； (4)在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型14.平行四边形中的动点问题 1．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位长度，连接，记动点的运动时间为秒，的面积为，如图是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（    ） A．的值 B．的周长为 C．对边和之间的距离是 D．的面积为 2．如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1) ______ ______点B的坐标为______ (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D坐标． (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 题型15.平行四边形中线段最值问题 1．如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．2 2．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 3．如图1，在中，为锐角， , (1)边上的高_____，________； (2)把绕点逆时针旋转，点、的对应点分别为、 ①当点的对应点落在对角线上时，与的交点为，求的长； ②如图2，点在对角线下方时，线段的延长线交线段与点，过点作于点H，求的最大值． 分层精练 一、单选题 1．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 2．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使为矩形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 二、填空题 5．如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形_________个． 6．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 8．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 三、解答题 9．如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求与之间的距离． 10．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 11．如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 12．问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行四边形专项训练 题型梳理归纳 题型1.数图形中平行四边形的个数 题型2.利用平行四边形的性质求解 题型3.利用平行四边形的性质证明 题型4.平行四边形性质的其他应用 题型5.证明四边形是平行四边形 题型6.判断能否构成平行四边形 题型7.添一个条件成为平行四边形 题型8.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 题型10.利用平行四边形的判定与性质求解 题型11.平行四边形性质和判定的应用 题型12.平行四边形与角平分线综合问题 题型13.平面直角坐标系中平行四边形存在性问题 题型14.平行四边形中的动点问题 题型15.平行四边形中线段最值问题 题型16.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.数图形中平行四边形的个数 1．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有______个平行四边形．    【答案】3 【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．如图所示，的三个顶点的坐标为，，． (1)把向左平移7个单位后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)把绕坐标原点O顺时针旋转后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，； (3)或或 【分析】此题考查了平移、旋转的作图，利用平行四边形判定作图，准确作图是解题的关键． （1）根据平移方式作出点A，B，C的对应点，，，顺次连接，并写出点的坐标； （2）根据旋转方式作出点A，B，C的对应点，，，顺次连接，并写出点的坐标； （3）根据平行四边形的判定作出的图形，找出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图所示，即为所求，点的坐标为； （3）如图所示，点、、均满足要求，即点D的坐标为或或 题型2.利用平行四边形的性质求解 1．如图，已知平行四边形的周长为，过点D作、边上的高、，且，，则平行四边形的面积为（    ）． A．30 B．36 C．40 D．42 【答案】C 【分析】设，根据平行四边形周长公式表示出的长，利用等面积法建立关于的方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设． 平行四边形的周长为， ， 即． ，且，， ， 解得， 平行四边形的面积为． 2．如图，在中，，则的度数为_____ 【答案】/45度 【分析】根据平行四边形的性质可得，，再结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．在由小正方形组成的方格纸中，每个小方格的边长均为1．A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图．                                                                             (1)如图，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段，连接，得到四边形； (2)四边形的面积为______，点P是四边形外一点，过点P作直线，使直线平分四边形的面积； (3)在图中的格点上找一个点Q，使得的面积为4，满足条件的点Q的个数为______． 【答案】(1)见解析 (2)12；图见解析 (3)8 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）利用三角形面积公式求解即可；作出直线，使直线经过四边形对角线的交点即可； （3）先求得的长以及边上的高，确定，找出，过作出的平行线，找到对应格点即可判断． 【详解】（1）解：四边形如图所示； （2）解：四边形的面积为； 直线如图所示； （3）解：设边上的高为， ∵， ∴，解得：， 如图所示，满足条件的点Q的个数为8个． 题型3.利用平行四边形的性质证明 1．已知平行四边形对角线交于点，下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质逐一判断各选项，找出不一定成立的结论即可． 【详解】平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角线互相平分，邻角互补． A选项：∵平行四边形对边平行，∴一定成立，不符合题意． B选项：∵平行四边形对角线互相平分，∴一定成立，不符合题意． C选项：平行四边形仅对边相等，邻边不一定相等，只有特殊的平行四边形（菱形）才满足邻边相等，因此不一定成立，符合题意． D选项：∵平行四边形对边平行，两直线平行同旁内角互补，∴一定成立，不符合题意． 2．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为______．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．设与交于点，利用尺规作图得出，，则可得，，利用四边形是平行四边形，结合，得出，则可得，即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点，    ∵以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， ∴， ∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 题型4.平行四边形性质的其他应用 1．如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．如果，，那么可得； B．在中，，； C．如果，，那么可得； D．在中，，； 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质，逐一进行判断即可； 【详解】解：A、，，不能得到，选项错误，符合题意， B、在中，，，选项正确，不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； D、在中，，，选项正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质：对边相等，对角相等，是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 【答案】16 【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形， ∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE， ∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键． 3．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 【答案】(1)图见解析， (2)或或 【分析】（1）先根据点和点的坐标确定平移方式，再描出点、，连接成三角形即可； （2）分类讨论，由平行四边形的性质结合平移方式确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 如图所示： 由图可知，点的坐标为； （2）解：如图， ①当点在点的对面时， 由图可知，，， ∴点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； ③当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 题型5.证明四边形是平行四边形 1．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定得到，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值______． 【答案】2或6 【分析】分两种情况：当点P从点B向点C运动时，当点P从点C向点B运动时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴当时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 当点P从点B向点C运动时，根据题意得： ， 解得：， 当点P从点C向点B运动时，根据题意得： ， 解得：， 综上分析可知：以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为2或6． 3．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明得到，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 题型6.判断能否构成平行四边形 1．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 2．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 【答案】 ③④ 【详解】解：∵只有③④两块的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C 都是格点． (1)请画出与关于点O中心对称的； (2)依次连结， 猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转变换作图、平行四边形的判定定理等知识点，熟练掌握网格结构、准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转得出对应点，然后顺次连接即可得出； （2）如图：，，由（1）可得点B与，点C与分别关于点O成中心对称可得 ，证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图：为所求作的三角形． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点B与，点C与分别关于点O成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型7.添一个条件成为平行四边形 1．在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图， A．，，无法证明四边形为平行四边形； B．，，能够证明四边形为平行四边形； C．，，无法证明四边形为平行四边形； D．由可知，无法证明四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件___________，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： (1)通过计算判断的形状； (2)在图中确定一个格点，连接、，使四边形为平行四边形，并求出平行四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形 (2)作图见解析，平行四边形的面积为10 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定及性质． （1）先由勾股定理结合网格特点求出，，的长，得到，根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）取格点D，使得，即可得到，根据平行四边形的性质即可求出面积． 【详解】（1）解：由图可得，，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：如图，点D为所求． 由作图有，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）有是直角三角形，，， ∴ ∴． 题型8.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 2．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 3．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3)或或 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据图象得：A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据网格得：，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 1．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 2．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 3．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型10.利用平行四边形的判定与性质求解 1．在四边形中，，若，则（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的判定定理判定四边形的形状，再利用平行四边形的性质计算的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形的对边相等， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，则，，结合垂直平分线的性质，得到，，过点作，且，则四边形是平行四边形，进而得出，再根据两点间线段最短求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， ，， ， ， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 过点作，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值． 3．如图，中，°，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作点，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形作图，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，四边形即为所求； （2）由平行四边形的性质得，，，由勾股定理得，，即可求出对角线的长． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求．（作法不唯一，正确即可） （2）解：设与交于点O， 由（1）知四边形是平行四边形， ，． 在中，， ． 题型11.平行四边形性质和判定的应用 1．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，， 即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心，则有： （1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确． （2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确． （3）四边形是中心对称图形，（3）正确． （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确． （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确． 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 2．如图，，，，，则线段的长为___________．    【答案】 【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：过点作，且，连接，，如图：    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的性质，等角对等边，勾股定理等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 3．如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 题型12.平行四边形与角平分线综合问题 1．如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，，则平行四边形的周长是（     ） A．28 B．24 C．14 D．12 【答案】B 【分析】根据题意可得，平分，即，由题意可得，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 2．如图，在平行四边形中，，的平分线交的延长线于点E，交于点F，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．已知，如图四边形是平行四边形． (1)作的平分线交于点（用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照尺规作角平分线的基本方法，作出的平分线，使其与交于点即可． （2）先利用平行四边形的性质得到、，再结合角平分线的定义和平行线的性质推出，进而得到，最后通过等量代换证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13.平面直角坐标系中平行四边形存在性问题 1．如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，以及点的坐标平移方式，进行解答即可． 【详解】解：点B，C两点的坐标分别为，，且，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合． 四边形是平行四边形， ，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合， 点A的坐标为． 2．如图，在10×10的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是________． 【答案】或或 【分析】先根据点C的坐标建立平面直角坐标系，根据网格特点分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D，则可求得答案． 【详解】解：∵， ∴点A为坐标原点， 如图，分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线， ∴满足条件的点D的坐标为或或． 3．在平面直角坐标系中，直线经过点和点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求直线l的解析式； (2)求点C、D的坐标，并计算线段的长度； (3)若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，当点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标； (4)在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)或 (4)存在，、、 【分析】（1）求解直线解析式：因为直线过两个已知点，所以将两点坐标代入得到二元一次方程组，解方程组即可得到和的值． （2）求交点坐标与线段长度：如果求与x轴交点C，那么令代入直线解析式求解x；求与y轴交点D，则令代入求解y；得到C、D坐标后，用勾股定理计算的长度． （3）求点P坐标：因为点P到x轴的距离为2，所以点P的纵坐标的绝对值为2，即，将和分别代入直线解析式求解对应的横坐标t，即可得到P点坐标． （4）A、B、C三个已知点都在直线l上，点Q无论在直线l外还是在直线l上都不能构成四边形．不存在平行四边形． 【详解】（1）解：把、代入， 得方程组 ， 解得，． 直线的解析式为 ． （2）解：C是直线与轴交点，轴上， 代入得， ； 是直线与轴交点，轴上， 代入得， ； 中，由勾股定理：． （3）解：点横坐标为，且在直线上， ． 点到轴距离为2，即， 得： 当时，， 得； 当时，， 得． 点坐标为 或 ． （4）解：不存在满足条件的点，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由： 由题意知，点A、B、C在直线l上， ∴无论点Q在直线l外还是在直线l上都不能构成四个顶点都不在同一条直线上的四边形． 题型14.平行四边形中的动点问题 1．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位长度，连接，记动点的运动时间为秒，的面积为，如图是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（    ） A．的值 B．的周长为 C．对边和之间的距离是 D．的面积为 【答案】C 【分析】根据图知，点从点的运动时间为秒，从点的运动时间为秒，即得 ， ，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图知，点从点的运动时间为秒，从点的运动时间为秒， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点从点到达点的时间为 秒， ∴，故选项正确； ∵，， ∴的周长为，故选项正确； 设点到的距离为， 由图可知，当时，点与点重合，此时的面积为， 即， 解得， ∴对边和之间的距离是，故选项错误； ∴，故选项正确； 2．如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，结合点在射线上运动，则．由题意可知，的对边为，从而得到方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 又∵， ∴的对边为，即， ∴， ∴， 解得或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1) ______ ______点B的坐标为______ (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D坐标． (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)12，8， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得出m和n的值，即可得出点B的坐标； （2）设点D的坐标为，然后确定底和高，根据三角形面积公式列出方程，解绝对值方程即可得出结论； （3）分类讨论：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，根据平行四边形的性质分别求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点B的坐标为； （2）解：设点D的坐标为， 点A的坐标为， ， 由（1）得点B的坐标为， ， ， ， 解得或， 点D的坐标为或； （3）解：点B的坐标为， ， 点Q运动到点C时，， 由题意知， ，，， 当时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 分两种情况： 当点P在线段上时，， 由得， ； 当点P在线段的延长线上时，， 由得， ， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 题型15.平行四边形中线段最值问题 1．如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长，利用勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长， ，，， ， 由平移得，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最小值为． 2．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，． 3．如图1，在中，为锐角， , (1)边上的高_____，________； (2)把绕点逆时针旋转，点、的对应点分别为、 ①当点的对应点落在对角线上时，与的交点为，求的长； ②如图2，点在对角线下方时，线段的延长线交线段与点，过点作于点H，求的最大值． 【答案】(1)3;5 (2)①② 【分析】（1）根据面积公式即可求得高，再根据勾股定理即可求解； （2）①过点作交的延长线于点,根据勾股定理求得，再根据勾股定理构造方程，进而求解即可；②根据面积公式即可求解，即可知，因为三点共线，当时，最小，也最小，根据面积可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：过点作， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，取得最大值， 当时，最小，也最小， ,， ∴， ∴， ∴． 分层精练 一、单选题 1．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 2．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边平行，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使为矩形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从平行四边形的性质和矩形的判定条件入手．因为矩形的判定定理有“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以逐一分析选项是否符合这些判定条件． 【详解】选项A：，平行四边形邻边相等，可判定是菱形，不能判定为矩形，错误； 选项B：，即平行四边形有一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形，正确； 选项C：，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定为矩形，错误； 选项D：平行四边形本身就对边相等，是平行四边形的固有性质，无法判定它是矩形，错误． 4．如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 二、填空题 5．如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形_________个． 【答案】11 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据每一个图案比前一个多2个平行四边形可得，第n幅图中共有个平行四边形，由此可计算此题的结果． 【详解】解：第1幅图中有1个； 第2幅图中有 (个) 第3幅图中有 (个)； …… 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个平行四边形， 所以第n幅图有个平行四边形， 所以第6幅图中有平行四边形有个平行四边形． 故答案为：11． 6．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 8．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 三、解答题 9．如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）作交于点，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到即可； （2）过点作于点，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）证明：作交于点，则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 由（1）可知：四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故与之间的距离为4． 10．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点E， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，点Q在线段上，此时， 当时，点Q在线段的延长线上，此时； （3）解：∵以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：当点Q在上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，当时，点P在上，，不能为钝角，不合题意； 当点Q在线段的延长线上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 综上所述：或时为钝角三角形． 11．如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据题意，利用可证得，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论； （2）根据平行四边形对角线相互平分和勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）证，得，， 再证，即可得出结论； （）由等边三角形的性质得，， 再证， 然后证，即可得出结论； （）过作于，由（）可知，再由等边三角形的性质得，然后用面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，，                            ∵是等边三角形， ∴，，                                             ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，               ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，              ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，过作于，则，    由（）可知，， ∵是等边三角形， ∴，                  ∴， ∴， ∴，                       ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $