精品解析：2026年北京市东北师范大学附属中学朝阳学校初三（下）数学学情自测

数学统练7 一、单选题（共16分） 1. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 6. 一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（ ） A. B. 点C是的中点 C. 四边形是平行四边形 D. k的值是2 二、填空题（共16分） 9. 若有意义，则x的取值范围为_______． 10. 方程的解为___________. 11. 为了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是___________． 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 12. 如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为________． 13. 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 14. 如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点．若的面积为2，则k的值为______． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 16. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，： ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵16首，最少背诵5首． （1）若，则的所有可能取值为___________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为___________首． 三、解答题（共68分） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点．若，，，求的长． 21. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 （1）用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； （2）某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 23. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 、甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图： ．丙运动员次测试成绩： ．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 （1）表中______（填“”“”或“”）； （2）求表中和的值； （3）根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_____． 24. 如图，已知，为的直径，连接，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，． （1）求证：． （2）若，．求． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 26. 已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接交直线于点F，点E为中点，连接． （1）如图1，若，求证：： （2）如图2，若D为线段上一点，且，连接，延长至M，使．延长至N，使，连接，若，求证：． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． （1）如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学统练7 一、单选题（共16分） 1. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，八边形的每个外角都是， ∴， 即． 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5． 故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0． 6. 一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb， 所以颜色搭配正确的概率是. 故选B． 考点：列表法与树状图法． 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（ ） A. B. 点C是的中点 C. 四边形是平行四边形 D. k的值是2 【答案】B 【解析】 【分析】运用即可证明 ，即可判断A，进一步证得 ，再结合等边对等角和内错角相等两直线平行，则，可证得四边形是平行四边形，即可判断C；延长 交轴于一点，过点作 轴，先证明四边形是矩形，因为点在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是，故矩形的面积是，因为反比例函数的图象过点，则，即可判断D；若点是的中点，则为等边三角形，由于无法求得，即可判断B． 【详解】解：在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， 在和中，， ，故A正确； ∴四边形是平行四边形，故C正确； 延长 交轴于一点，过点作 轴，如图： 轴， ∴四边形是矩形， 同理，可证四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴矩形的面积是， ∴， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点， ，故D正确； 若点是的中点，则， 由于，则为等边三角形， ∵无法求得， ∴故B不正确，符合题意． 二、填空题（共16分） 9. 若有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是关键； 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，由此列出不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数必须满足，解得 ， 故答案为：． 10. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 11. 为了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是___________． 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 【答案】7200名 【解析】 【分析】求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘12000即可求出结论． 【详解】解：12000×=7200名 故答案为：7200名． 【点睛】此题考查的是统计表，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键． 12. 如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点．若的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义及其基本模型计算即可． 【详解】∵反比例函数和， ∴，， ∴， ， 反比例函数图象位于第二象限， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，，则，，由勾股定理求得，可证明，得，则，再证明，，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵点E是的中点，交对角线于点F， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 16. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，： ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵16首，最少背诵5首． （1）若，则的所有可能取值为___________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为___________首． 【答案】 ①. 5或6 ②. 26 【解析】 【分析】（1）根据每天最少背诵5首得出，，，根据每天最多背诵16首结合表格中第4天和第5天的信息列出不等式，则可求，即可求解； （2）根据每天最多背诵16首得出，，，，根据不等式的性质求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵每天最多背诵16首，最少背诵5首，， ∴第1天，满足； 第2天，满足； 第3天，满足； 第4天，解得， 又， ∴； 第5天，得， 又， ∴； 第6天，满足； 第7天， ∴。 ∵为整数， ∴的可能取值为5或6； （2）∵每天最多背诵16首，最少背诵5首， ∴①，②，③，④， ∴，得，即⑤， 由③得⑥， ∴，， ∴， 即， ∴7天后，小云背诵的诗词最多为26首． 三、解答题（共68分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先进行负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂和绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ① ， ， 解得， ②， ， 解得， ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 20. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点．若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，证明四边形为平行四边形，根据平分，以及，得，即，进行作答即可． （2）结合菱形的性质得，，因为，所以，得，代入数值得，，运用，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，点E在上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：依题意，如图所示： 由（1）得四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴在中，． 21. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，函数的图象由函数的图象平移得到， ． 函数为． 又函数过， ． ； 【小问2详解】 解：由题意，结合（1）可得为，为， 在同一坐标系中画出，的图象如下． 当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得，． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 （1）用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； （2）某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】（1）250； （2）该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据开水放出的热量等于温水吸收的热量，列出方程，求出温水和开水的体积，然后求出接温水的时间和接开水的时间即可． 【小问1详解】 解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得：， 即：接完后杯中水温为； 【小问2详解】 解：设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据题意得： ， 解得， 则接温水的时间为， 接开水的时间为：， 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 23. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 、甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图： ．丙运动员次测试成绩： ．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 （1）表中______（填“”“”或“”）； （2）求表中和的值； （3）根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_____． 【答案】（1） （2）， （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、求方差、求中位数及平均数，熟练从折线统计图上获取信息是解题的关键． （1）根据方差的定义求出，再进行比较即可； （2）根据中位数、平均数的定义计算即可得答案； （3）先比较平均数得出丙最弱，再比较方差得出乙最强，最后根据比较测试成绩小于平均数的次数得出结论即可． 【小问1详解】 解：甲的次测试成绩从小到大排列为： ， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：乙的次测试成绩从小到大排列为： ， ∵第个和第个数据分别为，， ∴乙的次测试成绩的中位数， ∵丙运动员次测试成绩： ， ∴丙运动员次测试成绩的平均数， 【小问3详解】 解：∵甲、乙、丙、丁的测试成绩的平均数分别为、、、， ∴由平均数比较甲、乙、丁的实力较强，丙的实力较弱， ∵甲、乙、丁的方差分别为、、， ∴乙的实力较强，甲、丁的实力较弱， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次、第次成绩总和为， ∴则前次测试的成绩小于平均数， ∵甲的成绩小于平均数的次数为次， ∴丁的实力较强，甲的实力较弱， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙． 故答案为：乙、丁、甲、丙 24. 如图，已知，为的直径，连接，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，． （1）求证：． （2）若，．求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角等于，可证明，即可得证； （2）设，则，，得到，如图，连接，，证明，可表示出，，得到，证明，表示出，进而用勾股定理，证明，可求得的长，最后在中，利用勾股定理列式计算即可求得的长． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为的直径， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 设，则，， ， ，， 如图，连接，， ，， ， 为的直径， ，即， ， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 解得． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②18 （3）①60；②20；80 【解析】 【分析】（1）根据题意描点并连线即可； （2）①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； ②即当添加剂A浓度为时，保质期为8天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； （3）①分别求出保质期至少为8天时，添加剂A和添加剂B的浓度，求差即可解答； ②结合表格中添加剂A的浓度，求出相应保质期下添加剂B的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 【小问1详解】 解：描点并连线为： 【小问2详解】 解：①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则 ， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过天，增加浓度是有利的． ②由题意可得，当时，， 即当添加剂A浓度为时，保质期为8天， 此时总成本为：（元）． 【小问3详解】 解：①由表格可知，若选择添加剂A，当时，， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要； 若选择添加剂B，当时，，解得， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为； ②当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， ∴当浓度在范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 26. 已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）2； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求抛物线解析式，二次函数与线段综合； （1）把和代入抛物线解析式计算即可； （2）①当，时，，，计算即可； ②由题意可得，，，，则，，， 再根据和分情况讨论，根据的值始终随的增大而增大，求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：2；； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②由题意可得，，，， ∴，，， ∵点从点沿着直线运动到点， ∴点在上，即在上， ∴， 解得， 当时，此时， 函数图象大致如下： ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且的值始终随的增大而增大， ∴，即恒成立， ∴， 解得； 当时，此时， 函数图象大致如下： 则，点P从点A沿直线向左上方运动， 此时抛物线，开口向下， ∵对称轴为， ∴在y轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于直线、，y随x的增大而减小， ∴、的值始终随的增大而增大， ∴时始终满足条件， 综上所述，的值始终随的增大而增大，的取值范围为或． 27. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接交直线于点F，点E为中点，连接． （1）如图1，若，求证：： （2）如图2，若D为线段上一点，且，连接，延长至M，使．延长至N，使，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明： （2）过点作，交的延长线于点，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质，证明即可． 【小问1详解】 证明：，， 线段绕点A逆时针旋转得到线段， ， ， ， ，点E为中点， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：过点作，交的延长线于点， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． （1）如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，45；② （2）或 【解析】 【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解； ②取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求，故点的横坐标的最大值为； （2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，则点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），可求，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，由，故当最大，时，此时为等边三角形，此时，故当，的最大值为2，设，则，解得：，可求直线与交于点，，故t的取值范围是或． 【小问1详解】 解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， ∵点，， ∴， 而， ∴, 由对称得：， ∴为等腰直角三角形， ∴, 设半径为， 则,故在外，不符合题意； ，故在上，符合题意； ，故在外，不符合题意， ∴点是弦的“可及点”， 可知三点共线， ∵， ∴， 故答案为：，45； ②取中点为H，连接， ∵， ∴， ∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点D横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点的横坐标的最大值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， 故点P需要在的圆内或圆上， 作出的外接圆，连接， ∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N）， ∴， ∴， 由对称得点在的垂直平分线上， ∵的外接圆为， ∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q， ∴， ∴， 随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，， 连接， ∵， ∴当最大,时，此时为等边三角形， 由上述过程知 ∴， ∴当，的最大值为2， 设，则， 解得：， 而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴， 当，当时，， 解得， ∴与x轴交于点， ∴，而 ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $