奥数：第5讲 最大与最小问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

【人教版】六年级下册奥数 第5讲 最大与最小问题 一、问题引入 先看生活经典统筹问题： 爸爸让小红给客人烧水沏茶：已知洗开水壶需 1 分钟，烧开水需 15 分钟，洗茶壶 1 分钟，洗茶杯 1 分钟，拿茶叶 2 分钟。 小红原估算全部做完要 20 分钟。请合理安排工序，最少多少分钟能沏好茶？ 思路分析 洗开水壶是烧开水的前置条件；没有开水、茶叶、洗净壶杯就无法泡茶。 最优安排： 先用 1 分钟洗开水壶，接着烧开水 15 分钟；在烧水等待的同时，完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。 总用时： 分钟。 像这样，在一定条件下，研究某个量或多个量取得最大值、最小值的数学问题，统称为最大与最小问题。 生活、生产、运输、工程安排中随处可见： 怎样运输路程最短、运费最省；怎样安排工序工期最短、效率最高；怎样选址距离总和最短…… 核心思想是最优化原则：在节省人力、物力、时间的前提下，取得最佳方案。 二、知识点总结 本讲主要涵盖四大类最值问题，核心思想是最优化原则（在节省资源的前提下取得最佳方案）： 1. 数与代数中的最值 · 拆分自然数求积最大：规律是“尽量多拆3，少拆2，不拆1”。 · 质数参数最值：利用质数中唯一的偶数“2”进行分析。 · 方程最小解：根据自然数取值范围筛选。 2. 统筹安排中的最值 · 排队打水：用时短的优先，可减少后面所有人的等待时间总和。 · 货物集中：遵循“小往大处靠”原则（即重量小的仓库向重量大的仓库靠拢）。 · 进出水管问题：通过列方程求解进/排水效率。 3. 几何最短路线 · 同侧建站：利用轴对称原理，转化为“两点之间线段最短”。 · 多次转折路线（如牧马人问题）：利用双对称法确定最优路径。 三、经典例题（数与代数中的最大最小问题） 例 1 拆分自然数求最大乘积 题目：把 21 拆成若干个自然数的和，使这些自然数的乘积最大，该怎样拆分？ 解析：想要把 21 拆成若干个自然数，并且让它们的乘积最大，有一个非常经典的数学规律：我们要尽量多拆出 3。 最终方案：把 21 拆成 7 个 3，也就是 。这时候它们的乘积最大，最大值为 2187。 💡 为什么要这样拆？ 这背后其实有几个很直观的小规律： ①不能出现 1 因为任何数乘以 1 都等于它本身，把 1 加给旁边的数（比如把 变成 ），乘积肯定会变大。 ②尽量不要出现大于等于 5 的数 比如你拆出了一个 5，把它继续拆成 ，你会发现 ，比 5 还要大。所以大的数继续拆分会更有利。 ③ 4 可以看作两个 2 因为 ，拆不拆对乘积没影响，为了统一规律，我们通常把 4 看作两个 2。 ④核心对决：2 和 3 谁更好？ 经过上面的筛选，剩下的自然数只可能是 2 和 3。那我们要尽量多用谁呢？ 我们可以对比一下：如果有三个 2（ ），它们的乘积是 ；但如果我们把这 6 拆成两个 3（ ），乘积就是 。 显然 9 > 8，所以 3 的“产出效率”比 2 更高，我们要尽可能多地使用 3。 📝 具体的拆分原则 根据上面的规律，我们在拆分任意自然数 时，只需要看它除以 3 的余数： · 如果余数是 0：全部拆成 3。 · 如果余数是 1：拆成若干个 3 和一个 1（但 1 不划算），所以我们要拿出一个 3 和这个 1 凑成 4（也就是两个 2）。即：拆成若干个 3 和两个 2。 · 如果余数是 2：拆成若干个 3 和一个 2。 🔢 回到你的题目 我们要拆分的数字是 21： 刚好整除，没有余数！所以最完美的拆分方案就是全部由 3 组成。 · 拆分方式： · 最大乘积： 例 2 质数参数最值问题 题目：已知 为质数且都小于1000，满足关系式 ，其中是奇数，求 的最大整数值。 解析 由，其中是奇数，得： 是偶数，可知 中必有一个是偶质数 2。 不妨设 ，要使 最大，则 取最大三位质数 997。 答：最大整数值为1993. 例 3 含自然数参数方程最小解 题目：已知含参数自然数 的方程， 根也为自然数，求最小的自然数 。 解： ①解方程，用 表示 先把含 的项移到左边，常数项移到右边： 通分计算左边： 整理得： ②分析 为自然数的条件 因为 是自然数，所以 必须是整数。 又因为 8 和 15 互质，所以 必须是 15 的倍数。 设： 则： ③求最小的自然数 因为 是自然数，所以 ，即： 必须是整数，所以 的最小取值为 。 代入计算： 验证 当 时： 是自然数，符合条件。 答案：最小自然数 四、进阶例题（统筹安排中的最大最小问题） 例1 排队打水时间最优安排 题目：5 个人在同一水龙头打水，打水时间依次为：1 分钟、2 分钟、3 分钟、4 分钟、5 分钟。 合理安排打水顺序，使所有人排队 + 打水总时间和最小，求最小总和。 解题原理 用时短的优先排队，可减少后面所有人的等待时间。 最优顺序：1 分钟→2 分钟→3 分钟→4 分钟→5 分钟。 解：用逐步调整法可证明：短时间靠前，总时间总和最小。 我们可以来算算这个顺序下的总时间： 第1个人（打水1分钟）： 排队0分钟 + 打水1分钟 = 1分钟 第2个人（打水2分钟）： 排队1分钟 + 打水2分钟 = 3分钟 第3个人（打水3分钟）： 排队(1+2)分钟 + 打水3分钟 = 6分钟 第4个人（打水4分钟）： 排队(1+2+3)分钟 + 打水4分钟 = 10分钟 第5个人（打水5分钟）： 排队(1+2+3+4)分钟 + 打水5分钟 = 15分钟 把这五个人的时间加起来：1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 分钟。 💡 其实还有一个更简单的速算方法： 第一个人的打水时间（1分钟），其实被后面所有人（包括他自己，共5个人）都“消耗”了一次等待；第二个人的打水时间（2分钟），被后面4个人（包括他自己）各等了一次……以此类推。 所以最小总和可以直接这样算： 1×5 + 2×4 + 3×3 + 4×2 + 5×1 = 5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35 分钟。 例 2 水池进出水管最优配置 题目：水池底部有常开排水管，上部有若干相同进水管。 · 开 4 个进水管，5 小时注满； · 开 2 个进水管，15 小时注满。 若要 2 小时内注满水池，至少要打开多少个进水管？ 解析要点 1. 先求出单个进水管、单个排水管每小时流量关系； 2. 设每管每小时进水量为标准量，列方程求水池总量； 3. 按 2 小时时限计算所需进水管数量，小数向上取整，水管个数为整数。 结论：至少打开 9 个 进水管。 解：假设： 1个进水管每小时的进水量为 1 份； 排水管每小时的排水量为 x 份； 水池的总容量为 y 份。 第一步：根据已知条件列方程 开 4 个进水管，5 小时注满： 净进水速度 = 4 - x 总水量 y = (4 - x) × 5 开 2 个进水管，15 小时注满： 净进水速度 = 2 - x 总水量 y = (2 - x) × 15 第二步：解方程求出排水量和总容量 因为总水量 y 是固定的，所以： (4 - x) × 5 = (2 - x) × 15 两边同时除以 5，得到： 4 - x = 3 × (2 - x) 4 - x = 6 - 3x 2x = 2 x = 1 所以，排水管每小时排水 1 份。 把 x = 1 代入第一个公式求总容量 y： y = (4 - 1) × 5 = 3 × 5 = 15 所以，水池的总容量是 15 份。 第三步：计算 2 小时内注满需要多少个进水管 设需要打开 n 个进水管。 要求在 2 小时内注满，即： (n - x) × 2 = y (n - 1) × 2 = 15 解这个方程： 2n - 2 = 15 2n = 17 n = 8.5 结论： 因为进水管的数量必须是整数，而 8 个进水管不够（只能注满 14 份），所以至少要向上取整。 因此，若要 2 小时内注满水池，至少要打开 9 个进水管。 例 3 货物集中仓库最优运费 题目：一条公路依次有 5 个仓库，间距均为 100 千米： 1 号：10 吨 2 号：20 吨 3 号、4 号：空仓 5 号：40 吨 每吨货物运输 1 千米运费 0.8 元，把所有货物集中到一个仓库，求最少运费。 核心原则：小往大处靠 依次计算集中到 1 号、2 号、3 号、4 号、5 号仓库的总运费，对比选出最小值。 解题核心技巧：杠杆原理（或重心法） 在直线上有多个货物点时，最优的集中点通常就在“重心”附近。我们可以通过计算总吨位，找到中间点（中位数）的位置。 第一步：分析数据 · 总货物量 = 10 + 20 + 0 + 0 + 40 = 70 吨。 · 我们要找一个点，使得它左边的货物和右边的货物尽量平衡。总吨位的一半是 35 吨。 第二步：寻找最佳集中点 我们从左往右扫描，看累计货物量何时超过总吨位的一半（35吨）： 到 1 号仓库：累计 10 吨（< 35，说明重心在右边，继续走）。 到 2 号仓库：累计 10 + 20 = 30 吨（< 35，说明重心还在右边，继续走）。 到 3 号仓库：累计 30 + 0 = 30 吨（< 35，继续走）。 到 4 号仓库：累计 30 + 0 = 30 吨（< 35，继续走）。 到 5 号仓库：累计 30 + 40 = 70 吨（> 35，找到重心了！）。 结论： 最佳集中点就在 5 号仓库。 （通俗理解：5号仓库有40吨，比其他所有仓库加起来30吨还要重。如果你把集中点往左移，这40吨货每移动1千米增加的运费，都会超过右边那30吨货节省的运费，所以死守在5号仓库最划算。） 第三步：计算最小运费 既然定在 5 号仓库集中，我们只需要把 1 号和 2 号的货运过去即可。 1 号仓库（10吨）到 5 号仓库的距离：4 个间距 × 100千米 = 400 千米。 2 号仓库（20吨）到 5 号仓库的距离：3 个间距 × 100千米 = 300 千米。 总运费计算： 运费 = (10吨 × 400千米 + 20吨 × 300千米) × 0.8元/吨·千米 = (4000 + 6000) × 0.8 = 10000 × 0.8 = 8000 元 所以，把所有货物集中到 5 号仓库，最少运费为 8000 元。 例 4 整车装箱最少车辆问题 题目：货物总重 19.5 吨，每箱不超过 353 千克；汽车载重 1.5 吨。 求一次运完至少需要多少辆车。 解析：这道题是经典的“装箱问题”，在求最少车辆数时，我们不能只看总重量，必须考虑最坏的情况，也就是每个箱子的重量都尽可能接近上限，导致车辆装不满却装不下下一个箱子的情况。 我们可以分三步来推导： 第一步：每车最多能装几个箱子？ 若每个箱子重量 > 1500 ÷ 5 = 300 千克，则 5 个箱子的总重必然超过 1500 千克，因此每辆车最多只能装 4 个箱子。 （注：如果箱子重量 ≤300 千克，一车可以装 5 个甚至更多，此时车辆数反而更少。最坏情况应让每车装得尽可能少，即每个箱子略大于 300 千克。）。 第二步：在“每车最多装 4 箱”的前提下，如何让箱子数最多？ 总重固定，箱子越轻数量越多。但为保证每车最多装 4 箱，每个箱子的重量必须 大于 300 千克（不能等于，否则 5 个 300 千克刚好 1500 千克，可以装 5 箱）。取略大于 300 千克的数值，同时要能整除总重以便构造。 取每个箱子重 304.6875 千克（= 19500 ÷ 64），则： · 重量 ≤ 353 千克（符合条件）； · 重量 > 300 千克，所以 5 箱总重 > 1500 千克，每车最多装 4 箱； · 箱子总数恰好为 64 个（这是可能的箱子数上限吗？实际上可以更多，但若每个箱子再轻一点就会 ≤300 千克，此时每车可装 5 箱，车辆数反而减少。因此 64 个箱子是构造出的最坏情况。） 第三步：计算所需的最少车辆数 64 个箱子，每辆车最多装 4 个箱子至少需要16辆。 验证是否可能用更少车辆应对其他分布： 题目要求“一次运完”，必须保证 任何符合条件 的装箱情况都能被满足。我们构造出的 64 个箱子（每个 304.6875 千克）就是一种符合条件的情况，它需要 16 辆车。因此至少需要 16 辆车。 答：为了保证在任何情况下都能一次运完，至少需要 16 辆 汽车。 关键易错点 不能直接用 辆，因为不能拆箱，受每箱重量限制，车辆不能全部满载。 通过极限装箱分析：至少需要 16辆 才能一次性全部运完。 五、拓展例题（几何最短路线最大最小问题） 例 1 公路同侧两点建车站最短距离 直线 为公路，A、B 在公路同一侧，在公路上选一点建站，使 A、B 到车站距离之和最短。 解法：对称法 1. 作点 A 关于直线 的对称点 ； 2. 连接 ，与公路 交点即为最佳建站点； 依据：两点之间线段最短。 例 2 牧马人最短放牧路线 牧马营地在 M，先到河边饮水，再到草地吃草，最后返回营地，求最短行进路线。 解法：双对称法 分别作营地 M 关于河岸、草地边线的对称点，连接对称点连线，与河岸、草地边线交点即为最优转折点，连线路线路程最短。 六、基础习题 1. 在前 个自然数中任取 9 个数，必有两数之比不大于 2，则 的最大值是多少？ 2. 加工 5 个零件耗时：A=5 分、B=3 分、C=7 分、D=4 分、E=6 分。合理安排加工顺序，使总等候时间最少，求顺序与最少总时间。 七、拓展练习 1. 小明从甲村去乙村，中途先在北山坡打草、南山坡砍柴，设计最短行走路线。 2. 某车场每天有 4 辆汽车经过 六个点组织循环运输（如图）。 在 点装货，需 6 个工人； 在 点卸货，需 4 个工人； 在 点装货，需 8 个工人； 在 点卸货，需 5 个工人； 在 点装货，需 3 个工人； 在 点卸货，需 4 个工人。 若每个点固定工人太多，会造成人力浪费，我们可以让装卸工人跟车走。这样有人跟车，有人固定，问最少要安排多少名装卸工人？ 八、基础习题参考答案 1. 最大值：510 2. 加工顺序：B、D、A、E、C；最少总时间：65 分钟 答案：最少要安排 23 名装卸工人。 八、拓展练习参考答案 1. 用对称法分别对甲村、乙村作对称点，连线交北山坡、南山坡于两点，即为最优中转路线。 i. 2. 解题核心思路（“跟车 + 定点” 装卸工最优配置法） 先把各点所需人数从大到小排序：。 取前 4 个（对应车辆数），第 4 个数值为 4。 跟车人数设为 4 人 / 车，计算： 每辆车跟车 4 人，共 人。 各点固定人数： ： ： ： 其余点人数≤4，无需固定工人。 固定工人总数： 人。 最少总人数： 人。 泡茶 烧开水 洗水壶 洗茶杯 取茶叶 洗茶壶 学科网（北京）股份有限公司 $