奥数：第5讲 最大与最小问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版
【人教版】六年级下册奥数 第5讲 最大与最小问题
先看生活经典统筹问题：
爸爸让小红给客人烧水沏茶：已知洗开水壶需 1 分钟，烧开水需 15 分钟，洗茶壶 1 分钟，洗茶杯 1 分钟，拿茶叶 2 分钟。
小红原估算全部做完要 20 分钟。请合理安排工序，最少多少分钟能沏好茶？
思路分析
洗开水壶是烧开水的前置条件；没有开水、茶叶、洗净壶杯就无法泡茶。
最优安排：
先用 1 分钟洗开水壶，接着烧开水 15 分钟；在烧水等待的同时，完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。
总用时：
分钟。
像这样，在一定条件下，研究某个量或多个量取得最大值、最小值的数学问题，统称为最大与最小问题。
生活、生产、运输、工程安排中随处可见：
怎样运输路程最短、运费最省；怎样安排工序工期最短、效率最高；怎样选址距离总和最短……
核心思想是最优化原则：在节省人力、物力、时间的前提下，取得最佳方案。
二、知识点总结
本讲主要涵盖四大类最值问题，核心思想是最优化原则（在节省资源的前提下取得最佳方案）：
- 数与代数中的最值
- 拆分自然数求积最大：规律是“尽量多拆3，少拆2，不拆1”。
- 质数参数最值：利用质数中唯一的偶数“2”进行分析。
- 方程最小解：根据自然数取值范围筛选。
- 统筹安排中的最值
学科网（北京）股份有限公司
- 排队打水：用时短的优先，可减少后面所有人的等待时间总和。
- 货物集中：遵循“小往大处靠”原则（即重量小的仓库向重量大的仓库靠拢）。
- 进出水管问题：通过列方程求解进/排水效率。
- 几何最短路线
- 同侧建站：利用轴对称原理，转化为“两点之间线段最短”。
- 多次转折路线（如牧马人问题）：利用双对称法确定最优路径。
题目：把 21 拆成若干个自然数的和，使这些自然数的乘积最大，该怎样拆分？
解析：想要把 21 拆成若干个自然数，并且让它们的乘积最大，有一个非常经典的数学规律：我们要尽量多拆出 3。
最终方案：把 21 拆成 7 个 3，也就是 
。这时候它们的乘积最大，最大值为 2187。
💡 为什么要这样拆？
这背后其实有几个很直观的小规律：
①不能出现 1
因为任何数乘以 1 都等于它本身，把 1 加给旁边的数（比如把 
变成 
），乘积肯定会变大。
②尽量不要出现大于等于 5 的数
比如你拆出了一个 5，把它继续拆成 
，你会发现 
，比 5 还要大。所以大的数继续拆分会更有利。
③ 4 可以看作两个 2
因为 
，拆不拆对乘积没影响，为了统一规律，我们通常把 4 看作两个 2。
④核心对决：2 和 3 谁更好？
经过上面的筛选，剩下的自然数只可能是 2 和 3。那我们要尽量多用谁呢？
学科网（北京）股份有限公司
我们可以对比一下：如果有三个 2（ 
），它们的乘积是 
；但如果我们把这 6 拆成两个 3（ 
），乘积就是 
。
显然 9 > 8，所以 3 的“产出效率”比 2 更高，我们要尽可能多地使用 3。
📝 具体的拆分原则
根据上面的规律，我们在拆分任意自然数 
时，只需要看它除以 3 的余数：
• 如果余数是 0：全部拆成 3。
• 如果余数是 1：拆成若干个 3 和一个 1（但 1 不划算），所以我们要拿出一个 3 和这个 1 凑成 4（也就是两个 2）。即：拆成若干个 3 和两个 2。
• 如果余数是 2：拆成若干个 3 和一个 2。
🔢 回到你的题目
我们要拆分的数字是 21：
刚好整除，没有余数！所以最完美的拆分方案就是全部由 3 组成。
• 拆分方式： 
• 最大乘积： 
题目：已知 
为质数且都小于1000，满足关系式 
，其中
是奇数，求 的最大整数值。
解析
由，其中是奇数，得：
是偶数，可知 中必有一个是偶质数 2。
不妨设 
，要使 最大，则 
取最大三位质数 997。
答：最大整数值为1993.
题目：已知含参数自然数 
的方程，
学科网（北京）股份有限公司