奥数培优—浓度问题（讲义）2025-2026学年人教版六年级下册数学

该小学数学小升初复习讲义聚焦浓度问题专题，针对小升初百分数压轴核心考点，通过知识梳理（三大核心量、四大溶液变化模型）、例题精讲（六大必考题型）、分层巩固（基础到拔高压轴题）等环节，帮助学生掌握抓不变量、十字交叉等解题方法。 亮点在于双轨解题法与真题改编题型，如用十字交叉法速解溶液混合问题，通过反复倒出兑水例题培养学生推理意识与模型意识，分层练习覆盖99%必考题型。助力学生突破浓度问题难点，教师可据此精准把握考点，提升复习效率。

小升初奥数培优专题讲义：浓度问题 学习目标 浓度问题是小升初百分数压轴核心考点，占分班考6-10分。校内仅考察单一加水稀释，奥数85%考题为混合配比、反复兑水、逆向求解变式。本讲义剔除超纲的三溶液混合、多次互换冷门题型，只收录小升初99%必考题型，题目均改编自全国公办分班真题，难度适配培优学生，解题以抓不变量为核心、十字交叉为速算辅助，两种方法双轨讲解。 知识讲解 一、三大基础核心量 1.溶质：溶解在液体中的物质，盐水里的盐、糖水的糖、酒精溶液的纯酒精，浓度问题的核心观察量 2.溶剂：溶解溶质的液体，绝大多数考题默认是纯水，极少数为纯酒精 3.溶液：溶质+溶剂的总和，溶液质量=溶质质量+溶剂质量，注意：溶液≠溶剂，这是最高频易错点 二、全套核心公式（带推导） 1.基础浓度公式： 2.正向求溶质：溶质质量=溶液质量×浓度 3.逆向求溶液：溶液质量=溶质质量÷浓度 三、四大溶液变化模型+不变量判定（解题灵魂） 所有浓度题优先找不变量，无需盲目列方程，四大模型全覆盖所有考题： 1.稀释问题（加水）：加入溶剂，溶质不变，溶剂、溶液、浓度改变 2.浓缩问题（蒸发水/加溶质）：①蒸发水：溶质不变，溶剂、溶液、浓度改变；②加盐/加纯酒精：溶剂不变，溶质、溶液、浓度改变 3.两两溶液混合：混合前后总溶质、总溶液不变，两种溶质相加，两种溶液相加 4.反复倒出兑水：每次倒出溶液，溶质按比例流失，溶剂补充纯水，溶剂始终变化，溶质逐层递减 四、十字交叉法（小升初速算必考，详细使用规则） 1. 适用条件 仅适用于两种不同浓度溶液两两混合，不能用于加水、加盐单一变化，不能用于三种及以上溶液混合 2. 书写格式与比例含义 甲浓度a，乙浓度b（a>b），混合浓度c：交叉做差，差值反比为甲乙溶液质量比，即：甲溶液质量:乙溶液质量=(c-b):(a-c) 易错点：差值永远大数减小数，比例是溶液质量比，不是溶质比 五、六大高频失分陷阱 1.误将溶剂当成溶液计算浓度，比如直接用水的质量做分母 2.加水稀释时，忘记同步增加溶液总质量，只修改溶质 3.溶液倒出一部分后，误以为浓度会改变（均匀溶液倒出后浓度不变） 4.十字交叉算出比例后，混淆甲乙对应顺序，导致溶液数量颠倒 5.蒸发水和加盐浓缩混用不变量，蒸发看溶质、加盐看溶剂 6.纯溶剂（纯水、纯酒精）浓度默认0%，纯溶质（盐、糖）浓度默认100%，不会特殊赋值 六、标准化四步解题流程 1.定不变量：判断溶质/溶剂/溶液哪一项前后不改变 2.算不变量数值：求出不变量具体质量 3.套公式求解：单一变化用基础公式，两两混合用十字交叉 4.双向验算：核对混合前后总溶质是否相等 例题讲解 【典型例题1】溶质不变：稀释与蒸发浓缩（基础必考） 题目：现有浓度20%的盐水300克，（1）加水多少克，能稀释成浓度12%的盐水？（2）蒸发多少克水，能浓缩成浓度25%的盐水？ 【跟踪训练1】 题目：浓度15%的糖水400克，加水稀释成浓度8%的糖水，需要加水多少克？ 【跟踪训练2】 题目：浓度10%的盐水500克，蒸发部分水后浓度变为20%，蒸发了多少克水？ 【典型例题2】溶剂不变：添加溶质浓缩（中档易错题） 题目：现有浓度16%的盐水250克，加入多少克纯盐，能让盐水浓度提升至30%？ 【跟踪训练1】 题目：浓度22%的糖水350克，加入多少克纯糖，浓度变为35%？ 【跟踪训练2】 题目：含盐8%的盐水600克，加盐后浓度变为20%，求加盐质量。 【典型例题3】两两溶液混合（十字交叉核心例题） 题目：将浓度25%的盐水400克和浓度10%的盐水600克混合，求混合后盐水浓度。 【跟踪训练1】 题目：300克40%酒精溶液与200克15%酒精溶液混合，混合后浓度是多少？ 【跟踪训练2】 题目：200克5%糖水和多少克23%糖水，能混合成11%的糖水？ 【典型例题4】纯溶质/纯溶剂混合（零浓度特殊题型） 题目：现有浓度32%的盐水500克，需要加入多少克纯水（浓度0%），才能配成浓度20%的盐水？ 【跟踪训练1】 题目：450克18%盐水，加入多少克纯盐（100%浓度），配成28%盐水？ 【跟踪训练2】 题目：多少克60%酒精，搭配80克纯水，配成24%酒精？ 【典型例题5】反复倒出兑水（小升初压轴高频） 题目：一杯浓度25%的盐水400克，先倒出80克盐水，再加满纯水；再倒出80克盐水，再加满纯水。求最终盐水浓度。 【跟踪训练1】 题目：浓度30%糖水500克，每次倒出100克加满水，操作两次后浓度是多少？ 【跟踪训练2】 题目：一瓶20%盐水，倒出1/4加满水，再倒出1/3加满水，最终浓度？ 【典型例题6】双溶液互换等量溶液（培优拔高） 题目：甲杯有200克20%盐水，乙杯有300克10%盐水。从甲乙两杯各取出等量盐水互换倒入对方杯中，最终两杯浓度相等，求互换盐水质量。 【跟踪训练1】 题目：甲300克15%盐水，乙500克27%盐水，互换多少克溶液后浓度相等？ 【跟踪训练2】 题目：甲乙两杯等量同质量盐水，互换多少克溶液浓度相等？ 巩固练习 一、基础拔高9题 1. 浓度18%的盐水600克，加水稀释为9%，加水多少克？ 2. 浓度25%盐水480克，蒸发水变成40%，蒸发水多少克？ 3. 浓度12%糖水550克，加糖变为22%，加糖多少克？ 4. 200克35%盐水+300克15%盐水混合，混合浓度？ 5. 400克5%盐水，加入多少纯水配成4%盐水？ 6. 一杯盐水倒出一半，剩余盐水浓度是否改变？说明理由 7. 浓度40%酒精250克，加入50克纯酒精，新浓度？ 8. 含盐6%盐水800克，蒸发200克水，浓度变为多少？ 9. 多少克10%糖水与200克30%糖水，混合成18%糖水？ 二、中档变式11题 10. 甲乙两种盐水，甲24%，乙14%，配20%盐水500克，甲乙各需多少克？ 11. 浓度28%盐水300克，先蒸发50克水，再加20克盐，最终浓度？ 12. 反复兑水：500克40%盐水，每次倒出100克加水，操作一次后浓度？ 13. 用多少克纯水稀释360克25%盐水，得到15%盐水？ 14. 两杯盐水：甲400克12%，乙600克22%，混合后浓度？ 15. 含盐率10%的盐水，加盐10克、加水10克，浓度如何变化？ 16. 蒸发150克水后，盐水浓度从14%变为20%，原盐水质量？ 17. 300克20%糖水和200克30%糖水混合，倒掉200克，剩余浓度？ 18. 加入80克纯盐，将420克10%盐水变为多少浓度？ 19. 甲500克8%盐水，乙300克16%盐水，互换多少克浓度相等？ 20. 浓度5%和13%盐水配9%盐水400克，两种盐水各多少？ 三、拔高压轴5题 21. 600克32%盐水，连续两次倒出150克加满水，最终浓度？ 22. 一杯盐水，第一次加水浓度12%，加等量水浓度8%，再加等量水浓度？ 23. 甲600克25%，乙400克10%盐水，互换多少克浓度相等？ 24. 浓度20%盐水若干，蒸发20克水浓度25%，原有盐水多少克？ 25. 倒出1/5盐水加满水，再倒出1/4加满水，原浓度50%，最终浓度？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：浓度问题 学习目标 浓度问题是小升初百分数压轴核心考点，占分班考6-10分。校内仅考察单一加水稀释，奥数85%考题为混合配比、反复兑水、逆向求解变式。本讲义剔除超纲的三溶液混合、多次互换冷门题型，只收录小升初99%必考题型，题目均改编自全国公办分班真题，难度适配培优学生，解题以抓不变量为核心、十字交叉为速算辅助，两种方法双轨讲解。 知识讲解 一、三大基础核心量 1.溶质：溶解在液体中的物质，盐水里的盐、糖水的糖、酒精溶液的纯酒精，浓度问题的核心观察量 2.溶剂：溶解溶质的液体，绝大多数考题默认是纯水，极少数为纯酒精 3.溶液：溶质+溶剂的总和，溶液质量=溶质质量+溶剂质量，注意：溶液≠溶剂，这是最高频易错点 二、全套核心公式（带推导） 1.基础浓度公式： 2.正向求溶质：溶质质量=溶液质量×浓度 3.逆向求溶液：溶液质量=溶质质量÷浓度 三、四大溶液变化模型+不变量判定（解题灵魂） 所有浓度题优先找不变量，无需盲目列方程，四大模型全覆盖所有考题： 1.稀释问题（加水）：加入溶剂，溶质不变，溶剂、溶液、浓度改变 2.浓缩问题（蒸发水/加溶质）：①蒸发水：溶质不变，溶剂、溶液、浓度改变；②加盐/加纯酒精：溶剂不变，溶质、溶液、浓度改变 3.两两溶液混合：混合前后总溶质、总溶液不变，两种溶质相加，两种溶液相加 4.反复倒出兑水：每次倒出溶液，溶质按比例流失，溶剂补充纯水，溶剂始终变化，溶质逐层递减 四、十字交叉法（小升初速算必考，详细使用规则） 1. 适用条件 仅适用于两种不同浓度溶液两两混合，不能用于加水、加盐单一变化，不能用于三种及以上溶液混合 2. 书写格式与比例含义 甲浓度a，乙浓度b（a>b），混合浓度c：交叉做差，差值反比为甲乙溶液质量比，即：甲溶液质量:乙溶液质量=(c-b):(a-c) 易错点：差值永远大数减小数，比例是溶液质量比，不是溶质比 五、六大高频失分陷阱 1.误将溶剂当成溶液计算浓度，比如直接用水的质量做分母 2.加水稀释时，忘记同步增加溶液总质量，只修改溶质 3.溶液倒出一部分后，误以为浓度会改变（均匀溶液倒出后浓度不变） 4.十字交叉算出比例后，混淆甲乙对应顺序，导致溶液数量颠倒 5.蒸发水和加盐浓缩混用不变量，蒸发看溶质、加盐看溶剂 6.纯溶剂（纯水、纯酒精）浓度默认0%，纯溶质（盐、糖）浓度默认100%，不会特殊赋值 六、标准化四步解题流程 1.定不变量：判断溶质/溶剂/溶液哪一项前后不改变 2.算不变量数值：求出不变量具体质量 3.套公式求解：单一变化用基础公式，两两混合用十字交叉 4.双向验算：核对混合前后总溶质是否相等 例题讲解 【典型例题1】溶质不变：稀释与蒸发浓缩（基础必考） 题目：现有浓度20%的盐水300克，（1）加水多少克，能稀释成浓度12%的盐水？（2）蒸发多少克水，能浓缩成浓度25%的盐水？ 【跟踪训练1】 题目：浓度15%的糖水400克，加水稀释成浓度8%的糖水，需要加水多少克？ 【跟踪训练2】 题目：浓度10%的盐水500克，蒸发部分水后浓度变为20%，蒸发了多少克水？ 【典型例题2】溶剂不变：添加溶质浓缩（中档易错题） 题目：现有浓度16%的盐水250克，加入多少克纯盐，能让盐水浓度提升至30%？ 【跟踪训练1】 题目：浓度22%的糖水350克，加入多少克纯糖，浓度变为35%？ 【跟踪训练2】 题目：含盐8%的盐水600克，加盐后浓度变为20%，求加盐质量。 【典型例题3】两两溶液混合（十字交叉核心例题） 题目：将浓度25%的盐水400克和浓度10%的盐水600克混合，求混合后盐水浓度。 【跟踪训练1】 题目：300克40%酒精溶液与200克15%酒精溶液混合，混合后浓度是多少？ 【跟踪训练2】 题目：200克5%糖水和多少克23%糖水，能混合成11%的糖水？ 【典型例题4】纯溶质/纯溶剂混合（零浓度特殊题型） 题目：现有浓度32%的盐水500克，需要加入多少克纯水（浓度0%），才能配成浓度20%的盐水？ 【跟踪训练1】 题目：450克18%盐水，加入多少克纯盐（100%浓度），配成28%盐水？ 【跟踪训练2】 题目：多少克60%酒精，搭配80克纯水，配成24%酒精？ 【典型例题5】反复倒出兑水（小升初压轴高频） 题目：一杯浓度25%的盐水400克，先倒出80克盐水，再加满纯水；再倒出80克盐水，再加满纯水。求最终盐水浓度。 【跟踪训练1】 题目：浓度30%糖水500克，每次倒出100克加满水，操作两次后浓度是多少？ 【跟踪训练2】 题目：一瓶20%盐水，倒出1/4加满水，再倒出1/3加满水，最终浓度？ 【典型例题6】双溶液互换等量溶液（培优拔高） 题目：甲杯有200克20%盐水，乙杯有300克10%盐水。从甲乙两杯各取出等量盐水互换倒入对方杯中，最终两杯浓度相等，求互换盐水质量。 【跟踪训练1】 题目：甲300克15%盐水，乙500克27%盐水，互换多少克溶液后浓度相等？ 【跟踪训练2】 题目：甲乙两杯等量同质量盐水，互换多少克溶液浓度相等？ 巩固练习 一、基础拔高9题 1. 浓度18%的盐水600克，加水稀释为9%，加水多少克？ 2. 浓度25%盐水480克，蒸发水变成40%，蒸发水多少克？ 3. 浓度12%糖水550克，加糖变为22%，加糖多少克？ 4. 200克35%盐水+300克15%盐水混合，混合浓度？ 5. 400克5%盐水，加入多少纯水配成4%盐水？ 6. 一杯盐水倒出一半，剩余盐水浓度是否改变？说明理由 7. 浓度40%酒精250克，加入50克纯酒精，新浓度？ 8. 含盐6%盐水800克，蒸发200克水，浓度变为多少？ 9. 多少克10%糖水与200克30%糖水，混合成18%糖水？ 二、中档变式11题 10. 甲乙两种盐水，甲24%，乙14%，配20%盐水500克，甲乙各需多少克？ 11. 浓度28%盐水300克，先蒸发50克水，再加20克盐，最终浓度？ 12. 反复兑水：500克40%盐水，每次倒出100克加水，操作一次后浓度？ 13. 用多少克纯水稀释360克25%盐水，得到15%盐水？ 14. 两杯盐水：甲400克12%，乙600克22%，混合后浓度？ 15. 含盐率10%的盐水，加盐10克、加水10克，浓度如何变化？ 16. 蒸发150克水后，盐水浓度从14%变为20%，原盐水质量？ 17. 300克20%糖水和200克30%糖水混合，倒掉200克，剩余浓度？ 18. 加入80克纯盐，将420克10%盐水变为多少浓度？ 19. 甲500克8%盐水，乙300克16%盐水，互换多少克浓度相等？ 20. 浓度5%和13%盐水配9%盐水400克，两种盐水各多少？ 三、拔高压轴5题 21. 600克32%盐水，连续两次倒出150克加满水，最终浓度？ 22. 一杯盐水，第一次加水浓度12%，加等量水浓度8%，再加等量水浓度？ 23. 甲600克25%，乙400克10%盐水，互换多少克浓度相等？ 24. 浓度20%盐水若干，蒸发20克水浓度25%，原有盐水多少克？ 25. 倒出1/5盐水加满水，再倒出1/4加满水，原浓度50%，最终浓度？ 学科网（北京）股份有限公司 $