21.1四边形及多边形 同步分层训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 本同步练习按夯实基础、能力提升、拓展创新三层设计，梯度清晰，覆盖四边形及多边形核心知识点，从概念理解到综合应用，培养数学抽象、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|多边形内角和、外角和、对角线公式，四边形内角关系|以选择、填空为主，直接应用公式，如第2题对角线数量计算，巩固基础概念| |能力提升|多边形组合角度计算、动态问题、探究归纳|结合图形变换（如第11题正多边形摆放），通过归纳推理（如第13题n边形分三角形）提升逻辑思维| |拓展创新|新定义“等垂四边形”、多步推理证明、含参数问题|设置开放探究题（如第18题等垂四边形判定），融合分类讨论，发展创新意识与数学表达能力|

人教版八年级下同步分层训练21.1四边形及多边形 一、夯实基础 1． 如图， 在四边形ABCD中， BD平分∠ABC， 且AD=CD，若∠CBD=m， 则∠ADC一定等于 （　　) A．3m B．90°+2m C．180°-2m D．180°-m 2．一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．12 D．13 3．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 4．若一个边形的每个内角为，过一个顶点可以画出　 　条对角线． 5．如图，小明从点 A 出发沿直线前进10米到达点 B，向左转45°后又沿直线前进 10米到达点 C，再向左转 45°后沿直线前进 10米到达点 D……照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为　 　米. 6．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值． 7．凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值. 8．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60° 求证：∠ADE=∠ADC。 二、能力提升 9．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 10．如图，线段 AB 所在的直线与线段CD 所在的直线互相垂直，若∠A=30°，∠D=50°，则∠E+∠F=（　　）. A．190° B．180° C．170° D．160° 11．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数等于（　　） A．10° B．12° C．15° D．20° 12．已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题. （1） 嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由. （2） 设A的边数为. ① 若，求的值； ② 淇淇说：“无论取何值，的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由. 13．探究归纳题： （1）试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作　 　条对角线，它把四边形分为　 　个三角形； （2）拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为　 　个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为　 　个三角形； （3）探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为　 　个三角形．（用含的式子表示） （4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为　 　个三角形． 三、拓展创新 14．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．27 B．35 C．44 D．54 15．已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 16． 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　. 17．如图 （1）如图①，四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 P，已知∠A+∠D=140°，求∠P 的度数. （2）如图②，在四边形 ABCD 中， 和 外角的三等分线交于点 P，已知 ，请写出 与 的数量关系，并证明. （3）如图③，E在CD 边的延长线上，F在AD 边的延长线上， 和 的平分线交于点 P，请直接写出 的数量关系. 18．如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形。如图1，在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为等垂四边形。 （1）如图2和如图3，已知四边形ABCD为等垂四边形，。①在图2中，若，则的度数为 ； ②在图3中，若分别平分，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由。 （2）如图4，在锐角中，，且是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含的式子表示）。 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°， ∵BD平分∠ABC， ∴ DE=DF，∠ABD=∠CBD=m， 在Rt△ADE和Rt△CDF中：AD=CD，DE=DF ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠ADE=∠CDF， ∴ ∠ADC= ∠CDF+∠ADF =∠ADE+∠ADF=∠EDF， ∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2m， ∴∠ADC=180°-2m， 故答案为：C. 【分析】作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，首先根据角平分线的性质可得出DE=DF，再根据HL可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，进而得出∠ADE=∠CDF，进一步根据四边形内角和即可得出∠ADC=∠EDF=180°-2m。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线， ∴n-3=10， ∴n=13， 故答案为：D． 【分析】根据多边形的对角线结合题意得到n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，进而即可求解。 3．【答案】B 【解析】【解答】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可． 4．【答案】 【解析】【解答】解：一个正边形的每个内角为， )， 解得：． 过一个顶点可以画出． 故答案为：． 【分析】先根据多边形内角和公式求出边的数量，然后根据对角线的条数公式计算即可． 5．【答案】80 【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度， ∴他走过的图形是正多边形 ∴边数n=360°÷45°=8 ∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80m 故答案为：80. 【分析】利用多边形外角和为360°，求出小明走过的正多边形的边数，再结合每边长度求出总路程. 6．【答案】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线， 所以． 因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形， 所以． 因为正t边形的边长为6，周长为48， 所以， 所以代数式． 【解析】【分析】根据题意，由多边形的性质：从n边形的一个顶点出发能引出(n-3)条对角线，能分成(n-2)个三角形，分别求出n，m的值，再由正多边形的性质求出t，然后代入式子即可求解. 7．【答案】解：设除去的角为x°，则(n-2)×180=x+2570， 整理得： ∵0°<x<180°，且n取整数 ∴当时， 【解析】【分析】设除去的角为x°，可建立关于x，n的不定方程，结合多边形的性质即可求出答案. 8．【答案】证明：∠A=∠B=∠C， 由四边形的内角和为360°得 ∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3∠A. 在△ADE中，∠ADE=180°-∠AED-∠A=120°-∠A， ∠ADE=∠ADC. 【解析】【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出 ∠ADC=360°-3∠A，再利用三角形内角和为180°，得出 ∠ADE=120°-∠A，从而得出结果。 9．【答案】C 【解析】【解答】解： 如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC， ∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°， ∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°， 故答案为：C. 【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：延长CD，BA 交于点G ∵线段AB所在的直线与线段CD所在的直线相互垂直 ∴∠G=90° ∵∠BAF=30°，∠CDE=50° ∴∠GAF=150°，∠GDE=130° ∵五边形AFEDG中， ∠G+∠GAF+∠F+∠E+∠GDE=(5-2)×180°=540° ∴∠E+∠F=540°-90°-150°-130°=170° 故答案为：C 【分析】延长CD，BA 交于点G，由题意可得：∠G=90°，再根据补角可得∠GAF=150°，∠GDE=130°，再根据五边形内角和定理即可求出答案. 11．【答案】B 【解析】【解答】解： 在图中标上点A，B，C，如图所示. 根据题意得： ∠BAC = 180°-∠2-90°= 180°-40°-90°=50°； ∠ABC=180°-∠1-60°=180°-50°-60°= 70°； ∠ACB=180°-∠BAC- ∠ABC=180°-50°-70°= 60°. -60°-108°= 12°. 故答案为： B . 【分析】在图中标上点A，B，C，利用平角等于180°及∠1， ∠2的度数， 可求出∠BAC及∠ABC的度数， 在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数， 再结合∠3=180°-∠ACB-108°即可求出∠3的度数. 12．【答案】（1）解：嘉嘉的说法不正确. 理由：多边形的外角和始终为 ，与多边形的边数无关. （2）解：① 由题意，得， 解得，即的值为2. ②， 整理，得， 解得. 无论取何值，的值始终不变. 【解析】【分析】(1)根据多边形外角和的性质判断嘉嘉说法的正误； (2)①利用多边形内角和公式，结合已知条件列方程求解x的值； ②通过列方程并化简，说明x的值与n无关. 13．【答案】（1）1；2 （2）3；4 （3） （4）8 【解析】【解答】(1) 解： 如下图： 经过A点可以做1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形， 故答案为： 1， 2； (2)解：拓展延伸： 运用 (1)的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为： 3， 4； (3) 解： 对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n-2)个三角形， 故答案为：(n-2)； (4)解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为10-2=8个三角形， 故答案为：8. 【分析】(1)根据对角线的定义，可得答案； (2)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答； (3)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答； (4)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答. 14．【答案】C 【解析】【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n为正整数， ∴n=11， ∴=44， 故选：C． 【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答． 15．【答案】B 【解析】【解答】解：延长AB交FN的延长线于点P，如图， ∵ AB∥DE， ∴ ∠NDE=∠FPB， ∵ ∠ABM=∠FBP， ∴ ∠F=180°-∠ABM-∠NDE， ∵ ∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE， ∴ 四边形BCDF中，∠FBC+∠C+∠CDF+∠F=360°， 即180°-∠CBM+∠C+180°-∠CDN+∠F=360°， ∴ 180°-m∠ABM+∠C+180°-m∠NDE+∠F=360°， ∴ 360°-m(180°-∠F)+∠C+∠F=360°，即(m+1)∠F+∠C=180°m， ∵ 4∠F+∠C=540°， ∴ m=3. 故答案为：B. 【分析】延长AB交FN的延长线于点P，根据平行线的性质可得∠NDE=∠FPB，根据三角形的内角和得∠F=180°-∠ABM-∠NDE，根据四边形的内角和列出等式可得(m+1)∠F+∠C=180°m，即可求得m的值. 16．【答案】120° 【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F ∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC ∵DE∥AB ∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC 设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y 在中，由外角性质可知∠BFD=x+y ∵ ∴ 在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得 化简得x+y=120° ∴ 故答案为：120° . 【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。 17．【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠BCD+∠ABC=360° ∵∠A+∠D=140° ∴∠BCD+∠ABC=220° ∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点P ∴∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC ∴2∠PCB+∠2∠PBC=220° ∴∠PCB+∠PBC=110° ∵∠P+∠PCB+∠PBC=180° ∴∠P+110°=180° ∴∠P=70° （2）解：设∠ABP=x，∠ADP=y， 由题意可得： 由①得x-y=∠P-∠A ③ 将③代入②，得 （3）∠F+∠B+∠C-2∠P=180° 【解析】【解答】解：（3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y 由题意可得：x-y=∠F-∠P ∵∠ADC =360°-∠B-∠C-2x=∠EDF=180°-∠F-2y ∴180°-∠B-∠C-2x+2y+∠F=0，即180°-∠B-∠C-2(∠F-∠P)+∠F=0 ∴∠F+∠B+∠C-2∠P=180° 【分析】（1）根据四边形内角和定理可得∠BCD+∠ABC=220°，再根据角平分线定义可得∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，则∠PCB+∠PBC=110°，再根据三角形内角和定理即可求出答案. （2）设∠ABP=x，∠ADP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案. （3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案. 18．【答案】（1）解：①70； ②四边形CMAN是等垂四边形， 理由如下：∵ CD//AB， ∴ ∠ACD=∠ CAB。 ∵ CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB， ∴∠MCD=∠ACD， ∠BAN=∠BAC， ∴ ∠MCD=∠BAN， ∵ ∠DAB=∠DCB， ∴∠MCN=∠MAN， ∵ AC⊥CN， ∴ 四边形CMAN是等垂四边形。 （2）解：∠D 的大小为80-α或50-α或130-2α。 【解析】【解答】解：（1）①∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝130°， ∴∠DAB＝130°， ∴∠D＝360°-∠B-∠DAB-∠DCB＝360°-30°-130°-130°＝70°， 故答案为：70. （2）若以B，C为顶点的一组对角相等时， ∴∠D＝360°-140°-140°-α＝80°-α； 若以B，A为顶点的一组对角相等时， ∴∠D＝360°-50°-2×（90°＋α）＝130°-2α； 若以C，A为顶点的一组对角相等时， ∴∠D＝360°-（130°-α）-2×（90°＋α）＝50°-α； 综上所述，∠D的大小为80°-α 或 50°-α 或130°-2α． 【分析】（1）①利用角的运算求出∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝130°，再求出∠D＝360°-∠B-∠DAB-∠DCB＝360°-30°-130°-130°＝70°即可； ②先利用角平分线的性质可得∠MCD=∠ACD， ∠BAN=∠BAC， 再利用角的运算和等量代换可得∠MCN=∠MAN，再结合AC⊥CN， 证出四边形CMAN是等垂四边形即可； （2）分类讨论：①若以B，A为顶点的一组对角相等时，②若以C，A为顶点的一组对角相等时，再利用角的运算求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $