双曲线及其性质测试题-2026届高三数学一轮复习

2025-2026学年广东高考复习《双曲线及其性质》测试题 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 6．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 7．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上一点，为线段的中点.若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 10．已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．（为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．为圆上一点，的最小值为1 11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 三、填空题 12．（2025·上海·三模）双曲线的焦距为 ． 13．（2025·北京大兴·三模）若双曲线（）的一条渐近线方程为，则 ． 14．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题 15．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 16．曲线 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标. 17．已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的右焦点为，点，斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程. 18．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 19．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 2025-2026学年广东高考复习《双曲线及其性质》测试题解析 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【解答过程】由得，，所以， 即，所以， 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A【解答过程】由题知，双曲线焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为， 所以，解得. 3．（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解答过程】直线与与双曲线只有一个公共点， 联立方程组，消去得，， 当，即时，直线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当，即时，， 此时直线与双曲线恒有两个不同的交点； 当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点， 由能推出直线与双曲线只有一个公共点， 反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出， “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件. 4．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解答过程】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 5．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B【解答过程】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为. 6．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C【解答过程】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 7．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【解答过程】由题意设双曲线方程为，由题意可知， 由于，，故，解得， 故，故双曲线方程为， 8．已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上一点，为线段的中点.若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C【解答过程】由题意设， 因为为线段的中点，所以， 又，所以，则， 根据双曲线定义知，所以， 解得，故双曲线的离心率为. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC【解答过程】设点．因为双曲线，所以，，，．对于A，，所以，所以点到轴的距离为4，错误．对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 10．已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．（为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．为圆上一点，的最小值为1 【答案】ABD 【解答过程】由题意知，，则，虚轴长为，A项正确； 易知右顶点是的中点，当点在右支上运动时，有，B项正确； 双曲线的渐近线方程为，C项错误； 易知为双曲线的左焦点，则， 则，D项正确． 11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD【解答过程】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为，故D正确， 三、填空题 12．（2025·上海·三模）双曲线的焦距为 ． 【答案】【解答过程】双曲线的实半轴长，虚半轴长，因此半焦距，所以所求焦距为. 13．（2025·北京大兴·三模）若双曲线（）的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】3 【解答过程】由双曲线（）可知双曲线焦点在轴上，则，得. 14．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解答过程】设，则，，故，    在等腰中，，则 ，又，可得， 所以，则，， 在中，可得，所以. 四、解答题 15．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】(1)；(2). 【解答过程】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 16．（24-25高二上·河南驻马店·期末）曲线 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标. 【答案】(1)(2) 【解答过程】（1）曲线表示双曲线，则， 即，解得. （2）当时，曲线为双曲线， 点在曲线上，设，则，所以， 因为，所以， 解得，故点的横坐标为. 17．（2025·河北保定·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的右焦点为，点，斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程. 【答案】(1)(2) 【解答过程】（1）双曲线的一个渐近线方程为， 得，即，因为点在双曲线上，所以，即， 解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1），得. 设直线的方程为，，， 联立消去，得，， 所以，，即. 因为，所以，又，， 所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 18．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解答过程】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)是定值1 【解答过程】（1）双曲线可化为 ，即 双曲线C的标准方程为． （2）设直线l的方程为，，， 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即， 进而可得，即AB中点M为， 线段AB的中垂线为， 则，即． ． 即为定值1． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $