精品解析：2026年山东省济宁市济宁高新技术产业开发区二模数学试题

2025-2026学年度第二学期二模质量检测九年级数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于，小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于，小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘以单项式．分别根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘以单项式运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 2026年米兰冬奥会的赛场上，苏翊鸣在单板滑雪男子坡面障碍技巧赛中，为中国队夺得本届冬奥会的第一枚金牌，当他站上领奖台的一刻，全国人民都感到无比的骄傲与自豪，下图是领奖台的一个立体图形，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】左视图是从左边看到的图形，以及看不到的线条用虚线表示，据此即可解答． 【详解】解：领奖台一个立体图形的左视图是 ， 即选项D符合题意． 5. 电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义，延长交于点，由平行线的性质得到，根据邻补角的定义得，最后根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B、C在上，且， ∴． 7. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 8. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， 为的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数上， ， ，点到的距离为， ． 9. 我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是新定义下的格点问题，解题关键是充分考虑多种情况． 分情况考虑：①时，②时，找到所有符合条件的点即可． 【详解】解：依图得，此时， 则要使四边形是“等邻边四边形”， 可分两种情况考虑： ①时，即要使，符合要求，此时； ②时，即要使，、符合要求，此时，． 综上，点的位置有个． 故选：． 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 12. 2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】把化冰为水记作，玻璃破碎记作，煤炭燃烧记作，铜环生绿记作，画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中同时抽到和的有种情况，所以两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是． 【详解】解：化冰为水记作，玻璃破碎记作，煤炭燃烧记作，铜环生绿记作， 其中化冰为水和玻璃破碎是物理变化，煤炭燃烧和铜环生绿是化学变化， 即和是化学变化， 画树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中同时抽到和的有种情况， 两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是． 14. 如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，由平行四边形的对角线互相平分可得，所以要求的最小值，即求的最小值，由垂线段最短可得，当时，取最小值，则过点作于点，通过解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，设与相交于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， 当的长取最小值，的长取最小值， 由垂线段最短可得，当时，即与重合时，取最小值， 此时，， 的最小值是． 15. 观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象上的点的特征，求出，结合题干得到相应的数字规律，再进行计算即可． 【详解】解：由，，，…， 可知：； ∵分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点， ∴ ，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，数字规律探究．解题的关键是抽象概括出数字规律． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及解不等式组： （1）． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：解得： 解得： ∴ 17. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作边的垂直平分线交于点E，即可； （2）过点A作于点F，在中，，，由作法得：点E为的中点，可得，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 理由：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作法得：点E为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作于点F， 在中，，， ∴，， 由作法得：点E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 新课标 项目式学习探究综合与实践 【项目背景】 农业作为人类最基本的生产活动之一，关乎人类的生存和发展．两个数学兴趣小组分别前往甲、乙两个小麦种植基地，对两处基地的小麦长势进行调查统计，分析不同的自然环境对小麦长势的影响． 【数据收集与整理】 从甲、乙两处种植基地各随机抽取100株麦苗，在技术人员的指导下，测量每株麦苗的苗高（单位：）．将所收集的甲、乙两基地的样本数据进行分组，分别绘制了如下统计表1和扇形统计图． 表1 甲基地样本数据统计表 苗高 12 13 14 15 16 样本个数 12 15 30 a 5 【数据分析与运用】 对甲、乙两基地样本数据进行计算，结果如表2所示： 表2 甲、乙两基地样本数据统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲 b 15 乙 14 c 请根据以上信息，完成下列任务． （1）任务1填空： ． （2）任务2乙基地样本数据中，苗高为的麦苗有 株． （3）任务3下列结论正确的是 （填正确结论的序号）． ①甲、乙两基地样本数据的中等水平相同； ②两基地样本数据中，众数均为； ③乙基地的麦苗长势较齐． （4）任务4农科院某小麦课题研究组想从甲、乙两基地中选择一个麦苗长势又高又整齐的基地进行实验，请你为该课题组推荐一个基地，并说明理由． 【答案】（1）38 （2）31 （3）①③ （4）推荐乙基地，理由见解析 【解析】 【分析】（1）甲基地共抽取100株麦苗，样本总数为100，用总数减去其余各组样本数，即可得到解答； （2）由扇形图可得，苗高对应圆心角，占比为，即可求出苗高的占比，进而即可求出其株数； （3）①甲的中位数为14，与乙相同，中等水平一致，即可判断；②乙的众数为14，与甲不同，即可判断；③乙的方差小于甲的，长势更齐，即可判断； （4）根据方差做决策即可． 【小问1详解】 解：∵甲基地共抽取100株麦苗， ∴； 【小问2详解】 解：由扇形图可得，苗高对应的圆心角为， ∴其占比为， ∴苗高的占比：， ∴苗高的株数：株； 【小问3详解】 解：①：由题意得，甲基地100个数据的中位数是第50、51个数据的平均数， 由表格可得，和有（个），有（个）， ∴第50、51个数据均为，甲的中位数为14，与乙的中位数14相同，中等水平相同，①正确； ②：甲的众数为15，乙的苗高占比（最高）， ∴乙的众数为14，二者众数不同，②错误． ③：方差越小，数据越稳定（长势越整齐）．乙的方差小于甲的， ∴乙基地麦苗长势更齐，③正确； 【小问4详解】 解：选择乙基地， 理由：乙基地样本数据的平均数高于甲基地，且方差小于甲基地，说明乙基地的麦苗长势又高又整齐． 19. 某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； （2）设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． 【小问2详解】 解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论； （2）过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，以为直径的交于点，连接， 则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图2，，，过点作，垂足为点， ， ， ∴， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 21. 问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 （1）人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 （2）如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 （3）通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 【答案】（1） （2）下移的距离为 （3）最小的镜子长为 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，即可求解． 【小问1详解】 解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； 【小问3详解】 解：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度，如图： ∴， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度，如图： ∴， ∴最小的镜子长为． 22. 已知抛物线（b为常数）经过点,． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时,,求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【答案】（1） （2）2． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可. （2）结合二次函数的图象和性质求解即可. （3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可. 【小问1详解】 解：把代入,得,解得, ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵,,对称轴为直线, ∴当时,；而当或2时,, ∴由图象可得,当时,, ∴k的最大值为2． 【小问3详解】 解：∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即, ∵ , 即, ∴． ∵,且当时，y随x的增大而减小, ∴当时,；时,． ∴t的取值范围是． 23. 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． （1）猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； （3）问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分两种情况：点，在的同一侧和点，在的异侧，根据勾股定理求出，结合图形求出的值． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵四边形与四边形都是矩形， ∴， ∴， 即， 根据旋转的性质可得：， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图：连接， 根据旋转的性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴； 当点，在的异侧时，如图： 同理可得， ∴， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期二模质量检测九年级数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年米兰冬奥会的赛场上，苏翊鸣在单板滑雪男子坡面障碍技巧赛中，为中国队夺得本届冬奥会的第一枚金牌，当他站上领奖台的一刻，全国人民都感到无比的骄傲与自豪，下图是领奖台的一个立体图形，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 9. 我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 12. 2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知，将用科学记数法表示为________． 13. 如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是________． 14. 如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是________． 15. 观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及解不等式组： （1）． （2）解不等式组：． 17. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 18. 新课标 项目式学习探究综合与实践 【项目背景】 农业作为人类最基本的生产活动之一，关乎人类的生存和发展．两个数学兴趣小组分别前往甲、乙两个小麦种植基地，对两处基地的小麦长势进行调查统计，分析不同的自然环境对小麦长势的影响． 【数据收集与整理】 从甲、乙两处种植基地各随机抽取100株麦苗，在技术人员的指导下，测量每株麦苗的苗高（单位：）．将所收集的甲、乙两基地的样本数据进行分组，分别绘制了如下统计表1和扇形统计图． 表1 甲基地样本数据统计表 苗高 12 13 14 15 16 样本个数 12 15 30 a 5 【数据分析与运用】 对甲、乙两基地样本数据进行计算，结果如表2所示： 表2 甲、乙两基地样本数据统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲 b 15 乙 14 c 请根据以上信息，完成下列任务． （1）任务1填空： ． （2）任务2乙基地样本数据中，苗高为的麦苗有 株． （3）任务3下列结论正确的是 （填正确结论的序号）． ①甲、乙两基地样本数据的中等水平相同； ②两基地样本数据中，众数均为； ③乙基地的麦苗长势较齐． （4）任务4农科院某小麦课题研究组想从甲、乙两基地中选择一个麦苗长势又高又整齐的基地进行实验，请你为该课题组推荐一个基地，并说明理由． 19. 某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； （2）设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 （1）人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 （2）如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 （3）通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 22. 已知抛物线（b为常数）经过点,． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时,,求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 23. 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． （1）猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； （3）问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $