精品解析：2025年山东省济宁市济宁高新技术产业开发区中考二模数学试题

2024-2025学年度第二学期第二次模拟学情监测 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上数的特点，在-2和-4之间的数即为答案； 【详解】由题可得，黑墨遮盖的数字在-2和-4之间，符合条件的数字只有-3． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了数轴的应用，准确分析是解题的关键． 2. 2024年10月30日，搭载最新3人组的神舟十九号载人飞船成功发射并在距地面约米的轨道上与中国空间站完成对接．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 3. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是矩形，则这个几何体不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体截面，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解：A. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意； B. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意； C. 截面不可能是矩形，故该选项符合题意； D. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可． 详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格的特点和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，取格点，连接，则，那么，由平行线的性质得到，而，即可求解． 【详解】解：连接，取格点，连接， 由网格可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算以及无理数的估算． 利用二次根式的性质先化简，计算，利用平方法估算即可解答． 【详解】解；， ∵ ∴， ，即， 故选 B． 7. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得，，进而可得答案． 【详解】解：∵是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有9种情况，至少一辆车向右转有5种， ∴至少一辆车向右转的概率是， 故选：D． 9. 已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ……， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形沿直线（点在边上，点在边上）折叠，点的对应点恰好是边的中点，点的对应点落在反比例函数的图象上，下列结论①，②，③，④，其中正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于，连接，由题意可得，，，，由矩形的性质可得，，结合题意，，设，则，由勾股定理得出，，证明，求出，，从而得出，，，； 由反比例函数的性质求出；设，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作轴于，连接， 由题意可得：，，，， ∵矩形的顶点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵点A对应点D恰好是边的中点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，，故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，故③错误，不符合题意； ∵点P落在反比例函数的图象上， ∴，故④正确，符合题意； 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，故②错误，不符合题意； 则正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数综合、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，确定分母的取值情况，进而得出的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解这个不等式可得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 12. 命题“如果，那么”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析题设是否能推出结论，可得答案． 【详解】如果，那么或故是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 13. 小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下： 第一步：从左叠拿本放入中间； 第二步：从右叠拿本放入中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠． 请问最终中间叠剩下的练习本数量为______． 【答案】本 【解析】 【分析】本题了列代数式，认真审题理解各种语句间的数量关系是解题的关键． 根据题意设练习本共有本，则每堆练习本本（），再根据题要求，步步列出数据数值解答即可． 【详解】解：由分布左、中、右三堆练习本，每堆牌不少于本，且各堆练习本的本数相同， 设练习本共有本，则每堆练习本本（）， 第一步：从左叠拿本放入中间， 则左：（本），中：（本），右本； 第二步：从右叠拿本放入中间， 则左：（本），中：（本），右（本）； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠， 则左：（本），中：（本），右（本）； 所以，中间一堆练习本现有的本数为（本）， 故答案为：本． 14. 如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先求得正方形的边长，取的中点G，连接，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则有最小值，此时即可求得这个值． 【详解】解：如图，连接，取的中点G，连接， ∵是圆内接正方形，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 当点C、F、G在同一直线上时，有最小值，如下图： 最小值是：， 故答案为：． 15. 2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是______________．（填写序号） ① 第所用的时间最长； ② 前的平均速度大于最后的平均速度； ③ 第和第的平均速度相同； ④ 第的平均速度最大． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故①说法正确； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故④说法正确； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选③说法正确； 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故②说法错误； 综上所述：说法正确的是①③④． 故答案为①③④． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再利用平方差公式化简，再代入求值即可； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：， 解①得：； 解②得：， ∴原不等式组的解集为：． 17. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)利用尺规作图的方式(本质为三角形全等)作出∠ABC的角平分线即可； (2)先证明AB＝BC，AB＝AD，则AD＝BC，则可判断四边形ABCD是平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABCD是菱形． 【详解】解：(1)如下图所示，DB、CD为所作； (2)证明：∵AC平分∠BAM， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AM∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA． ∴∠BAC＝∠BCA． ∴AB＝BC， 同理可证：AB＝AD． ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图中角平分线的作法，其本质是利用三角形全等的知识来作图；另外本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形判定方法是解决此题的关键. 18. 为激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“乐学悦读，打造未来之星”读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型：A：2本，B：3本，C：4本，D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查学生________人，________．将条形统计图补全； （2）本次抽取学生的读书量的众数是________本，中位数是________本； （3）学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 【答案】（1），，补全图形见解析 （2）3，4 （3）该校有2000名学生中此次受表扬的学生人数大约有人． 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图和数据分析： （1）综合分析条形统计图和扇形统计图的信息即可求得答案； （2）根据众数和中位数定义即可求得答案； （3）先求得读书量不低于4本的学生比例，结合该校学生总数即可求得答案． 【小问1详解】 解：本次抽查学生人数：(人) ． 因为，所以． 组的学生人数：(人)， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：这组数据中出现次数最多的数据是，所以众数是本； 将这组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的两个数据是，所以中位数是本． 故答案为：，； 【小问3详解】 解：(人)， 答：该校有2000名学生中此次受表扬的学生人数大约有人． 19. 南门大街某特产店销售A、B两种品牌的咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． （1）求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ （2）A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； （2）A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、二次函数的应用． （1）设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元，根据“购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元． 根据题意得， 解得， 答：A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； 【小问2详解】 解：设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元， 由题意得 ． ， ∴当时，w有最大值2460． 答：A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）先利用，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，交于点， ， 又为的内心 ∴ 又为的直径 又∵ ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， =． 22. 问题引入： 如图①，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______； 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）连接，若，，则的长为　　　　． 【答案】问题引入：；问题延伸：（1），理由见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．熟练掌握以上知识是解题的关键． 问题引入：先根据证明，由此可得，即E点是的中点，然后在中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明． 问题延伸： 问题延伸：（1）延长交于点M，由正方形的性质可得，，先根据证明，由此可得，即P点是的中点．然后在中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明． （2）根据正方形的性质可得，，， 设，则．在中，由，可求出．根据勾股定理列方程求出x的值，即可知的长，然后在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】问题引入：，理由如下： ， ， ∵E是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ； 故答案为：； 问题延伸：（1），理由如下： 如图，延长交于点M， ∵四边形，四边形均为正方形， ∴，， ， ∵P为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为斜边上的中线， ， ； （2）如图，连接， ∵四边形为正方形， ，，， 设， ， ， ， ， ， ，（舍去）， ，， ． 故答案为： 23. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），2 （2） （3）存在，点或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第二次模拟学情监测 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月30日，搭载最新3人组的神舟十九号载人飞船成功发射并在距地面约米的轨道上与中国空间站完成对接．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 用一个平面截一个几何体，得到截面是矩形，则这个几何体不可能是（　　） A. B. C D. 4. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 6. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五边形是内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 0 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形沿直线（点在边上，点在边上）折叠，点的对应点恰好是边的中点，点的对应点落在反比例函数的图象上，下列结论①，②，③，④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 命题“如果，那么”是__________命题．（填“真”或“假”） 13. 小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下： 第一步：从左叠拿本放入中间； 第二步：从右叠拿本放入中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠． 请问最终中间叠剩下的练习本数量为______． 14. 如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为________． 15. 2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是______________．（填写序号） ① 第所用的时间最长； ② 前的平均速度大于最后的平均速度； ③ 第和第的平均速度相同； ④ 第的平均速度最大． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：． 17. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 18. 为激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“乐学悦读，打造未来之星”读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型：A：2本，B：3本，C：4本，D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查学生________人，________．将条形统计图补全； （2）本次抽取学生的读书量的众数是________本，中位数是________本； （3）学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 19. 南门大街某特产店销售A、B两种品牌咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． （1）求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ （2）A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22. 问题引入： 如图①，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______； 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）连接，若，，则的长为　　　　． 23. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$