精品解析：2026年山东东营市垦利区初中学业水平模拟考试数学试题

二〇二六年初中学业水平模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 在1，0，2，四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，通过比较数的大小，负数小于零和正数，得到是最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 2. 一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据数轴明确不等式的解集，是解题的关键． 由图可知，不等式的解集为：，分别解不等式，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，不等式的解集为：； A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，符合题意； C、，解得：，不符合题意； D、，解得：，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方等．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项B∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项C∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项D∶ ， 故本选项正确，符合题意． 故选：D 5. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据题意得到门框的宽、高和对角线的长度，再利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设竹竿的长为尺， ∵ 横放竹竿时比门框宽多尺， ∴ 门框的宽为尺， ∵ 竖放竹竿时比门框高多尺， ∴ 门框的高为尺， ∵ 斜放竹竿刚好顶住门框两个对角， ∴ 门框对角线长等于竹竿长尺， ∵ 门框是矩形，四个角为直角，根据勾股定理可得  ． 6. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据平行四边形的判定方法求解即可． 【详解】解：已知， A、添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； B、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴， 又，不能用“边边角”证明三角形全等， ∴不能确定的数量关系，不能确定的位置关系， ∴不能判定四边形一定是平行四边形； 同理连接亦是如此，故B选项符合题意； C、添加，根据两组对边平行的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； D、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； 故选：B ． 7. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案． 【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等． 点坐标在双曲线上有2种情况: ，． 所以，这个事件的概率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 9. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，    由题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口，对称轴，与轴的交点即可判断①②，根据时的函数值小于，即可判断③，根据当时，有最大值即可判断④，根据方程的解，即为的交点的横坐标，画出一次函数图象，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，根据函数图象可得， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵当时，， 又， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值 ∴对于任意实数，都有，即，故④正确； 对于方程的解，即为的交点的横坐标， 如图所示，方程有两个同号的实数根，故⑤错误． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日23时44分在酒泉卫星发射中心成功发射，飞船大约经过小时成功对接空间站天和核心舱，创下交会对接最快纪录．天宫空间站是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其所处轨道高度约为450000米，450000这个数用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示为：． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 13. 在体育运动技能测试中，参与排球连续垫球项目的15名学生的成绩如下表所示： 个数 18 21 25 27 30 35 人数 2 1 4 3 3 2 则这15名学生连续垫球个数的众数是________个． 【答案】25 【解析】 【分析】根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格中的数据即可确定众数． 【详解】解：由统计表可知，垫球个数为25的人数最多，为4人， ∴众数为25． 14. 如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 15. 如图，将一个周长为8的沿射线方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，连接，已知四边形的周长为12，那么平移的距离是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为12， ∴， ∴， ∵周长为8，即， ∴， ∴， 即平移的距离为2． 16. 我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形与等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ， 由题意知：， 在中，， 在中，， ∴， ． 17. 中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【解析】 【分析】设每件模型涨价元，每日利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设每件模型涨价元，每日利润为元， 则 ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，在直线上．若点的坐标为，且，，，均为等边三角形，则点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点,,的纵坐标，最后归纳类推出一般规律得到的纵坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点， ， ， 当时，， 即，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 即点的纵坐标为， 同理可得：点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 归纳类推得：点的纵坐标为(n为正整数)． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 三．解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，请为选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）； （2），当时，原式．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）先计算二次根式的乘法、零指数幂，特殊角的三角函数值，再合并即可． （）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵且， ∴且， 当时，原式．（答案不唯一） 20. 2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整的统计图表： 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 请解答下列问题： （1）_________，_________． （2）你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由． （3）该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率． 【答案】（1）7.5；8.5 （2）化学组，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数，列表法或画树状图法求概率． （1）根据加权平均数和中位数的定义求解即可； （2）从平均数，方差，中位数中选一个特征量分析即可（答案不唯一）； （3）用列表法求解即可． 【小问1详解】 解：分； ∵化学组成绩从小到大排，排在第6和第7位的分别是8和9， ∴． 【小问2详解】 解：化学组学生的成绩较好． 理由：化学组学生的高分人数多；化学组学生的平均分高于物理组；化学组学生成绩的方差比物理组小，即成绩更稳定，所以化学组学生的成绩较好． 【小问3详解】 解：记物理组的两名学生为、，化学组的两名学生为、．列表如下： — — — — 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的结果有8种， 所以（恰好抽到一名物理组和一名化学组学生）． 21. 如图，在中，，是角平分线，是上一点，经过点、点的分别交，于点，点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形与角平分线证明，两直线平行同位角相等，从而得出答案； （2）连得直角三角形，利用平行线性质得到对应角相等证明，根据相似比和等量代换求解． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场节后每千克A粽子的进价是10元； （2）商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； 【小问2详解】 设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于、． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与y轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴交于点C， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：观察图象得：不等式的解集为或． 24. 实践与探究 杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】 如图，已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图，航天小组同学将绕中点________（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（）的基础上，将绕点顺时针旋转得到．当旋转到，，三点共线时，发现： 如图，连接，四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 如图，若设与交于点，求的面积． 【答案】（1）旋转； （2）四边形是矩形，见解析；． 【解析】 【分析】（）连接，与交于点，由四边形是平行四边形，故有四边形是中心对称图形，，然后根据旋转的性质即可求解； （）由（）可得，四边形是平行四边形，所以，，，由旋转可得，，证明四边形是平行四边形，然后通过，即可证明四边形是矩形； 由可知，四边形是矩形，所以，则有，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形，， ∴将绕中点旋转得， 故答案为：旋转； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， 证明：由（）可得，四边形是平行四边形， ∴，，， 由旋转可得，， ∵，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 解：由可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（）； （3）存在．点N的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）对于，令，求出值，令，求出的值，进而得到、的坐标，待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴、， ∵抛物线经过点A，B ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年初中学业水平模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 在1，0，2，四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 2. 一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 5. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 7. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 9. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日23时44分在酒泉卫星发射中心成功发射，飞船大约经过小时成功对接空间站天和核心舱，创下交会对接最快纪录．天宫空间站是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其所处轨道高度约为450000米，450000这个数用科学记数法表示为________． 12. 因式分解：_________． 13. 在体育运动技能测试中，参与排球连续垫球项目的15名学生的成绩如下表所示： 个数 18 21 25 27 30 35 人数 2 1 4 3 3 2 则这15名学生连续垫球个数的众数是________个． 14. 如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 15. 如图，将一个周长为8的沿射线方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，连接，已知四边形的周长为12，那么平移的距离是________． 16. 我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 17. 中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，在直线上．若点的坐标为，且，，，均为等边三角形，则点的纵坐标为________． 三．解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，请为选择一个合适的数代入求值． 20. 2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整的统计图表： 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 请解答下列问题： （1）_________，_________． （2）你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由． （3）该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率． 21. 如图，在中，，是角平分线，是上一点，经过点、点的分别交，于点，点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 22. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于、． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 24. 实践与探究 杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】 如图，已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图，航天小组同学将绕中点________（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（）的基础上，将绕点顺时针旋转得到．当旋转到，，三点共线时，发现： 如图，连接，四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 如图，若设与交于点，求的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $