精品解析：浙江温州市瑞安市塘下镇鲍田中学等校2026年下学期九年级学生学科素养检测数学试题卷

2026年瑞安市九年级学生学科素养检测 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，细心答题，发挥最佳水平，答题时请注意以下几点： 1．全卷共6页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 实数，0，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 豆包AI日常单日智能服务请求量可达 次．将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在浙BA联赛中，瑞安队某主力球员在5场比赛中的得分（单位：分）如下：13，16，16，18，21．则这组数据的中位数是（ ） A. 13分 B. 16分 C. 18分 D. 21分 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. 64 C. D. 16 6. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 7. 瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当， C. 当时， D. 当时， 10. 如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形）沿着足够长的斜坡从点向点运动，过点作于点，设为，的值为，如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过点．若．则下列选项正确的是（） A. B. C. 点在该函数图象上 D. 点的纵坐标是2 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________． 12. 为创建文明校园，学校从甲、乙、丙、丁4名同学中，随机选取1名同学参加课间文明劝导活动，则选中甲的概率为________． 13. 不等式组的解集是________． 14. 【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 15. 如图，在中，，，平分．交于点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，连结．若，则的长为________． 16. 如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 解二元一次方程组 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 （1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． （2）若，，求的长． 20. 某研学基地打造“未来智造”四大机器人主题体验区，分别为：A．编程机器人：B．智能服务机器人；C．拼装机器人；D．表演机器人．为了解各主题体验区的受欢迎程度，工作人员随机抽取了部分到访学生开展调查，绘制了如下不完整的统计图： （1）参与本次调查的学生总人数为_______人，喜欢D主题体验区的学生人数为________人． （2）若该研学基地全年预计有8000名学生参与体验．请根据抽样结果，估计全年喜爱A主题体验区的学生人数． 21. 【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即 ， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即 ， 得， 故 ． 【比较分析】 （1）你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 （2）请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 22. 如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得．过点作的切线，交延长线于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若半径为5，，求的长． 23. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． （3）点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 24. 如图1，在四边形中，，，，，平分，交于点，点在上，且． （1）如图2，当点与点重合时，求的值． （2）如图3，点在射线上，且点在点上方时，连结，． ①当时，求的长． ②若 ，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年瑞安市九年级学生学科素养检测 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，细心答题，发挥最佳水平，答题时请注意以下几点： 1．全卷共6页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 实数，0，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“负数小于0，负数小于正数”的大小比较规则，四个数中只有是负数，由此得出其中最小的数是． 【详解】解：∵，， ∴最小的数是． 2. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的主视图是． 3. 豆包AI日常单日智能服务请求量可达次．将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 4. 在浙BA联赛中，瑞安队某主力球员在5场比赛中的得分（单位：分）如下：13，16，16，18，21．则这组数据的中位数是（ ） A. 13分 B. 16分 C. 18分 D. 21分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，解题思路为先将数据按大小排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数位置． 【详解】解：∵ 将这组数据从小到大排序为 ，，，，，数据总个数为 5，是奇数， ∴ 中位数为排序后第3 个数据， ∵ 第三个数据为 ， ∴ 这组数据的中位数是分． 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. 64 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴ ， 解得． 6. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长． 【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形，  ，  ．  点的坐标为，点的坐标为 ，  ， ．   ，  ，  ． 7. 瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总质量、每筐质量、筐数的数量关系，结合筐数的差值列出对应方程即可． 【详解】解：设原来每筐装千克，则每筐装千克，依题意得： ． 8. 某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据  即可求解． 【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，，  ，  ． 在 中， ，  ∵，  ．  ∴米． 9. 已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 10. 如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形）沿着足够长的斜坡从点向点运动，过点作于点，设为，的值为，如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过点．若．则下列选项正确的是（） A. B. C. 点在该函数图象上 D. 点的纵坐标是2 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，过点作于点，过点作交的延长线于点，利用三角函数分别表示出和的长度，从而得到与的函数关系式，代入点坐标求出的值，进而确定函数解析式，最后对各选项进行判断 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， ， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ， 四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 即， 图象过点， ，解得， 函数解析式为，且，故B选项错误； 当时，，故A选项错误； 当时，， 点在该函数图象上，故C选项正确； 当时，， 点的纵坐标是，故D选项错误． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】解： ． 12. 为创建文明校园，学校从甲、乙、丙、丁4名同学中，随机选取1名同学参加课间文明劝导活动，则选中甲的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取1名，所有等可能的结果共4种，其中选中甲的结果有1种， 则选中甲的概率为． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为． 14. 【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 15. 如图，在中，，，平分．交于点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，连结．若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键，通过平行四边形性质得到为等边三角形，再根据，即可得，从而求解，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，平分， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 如图：过点，作， （等腰三角形的三线合一） ， ， 由弧长公式即可得的长为， 故答案为：． 16. 如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，连接并延长交于点，交于点，设，设的半径长为，分别在中，中，中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，连接并延长交于点，交于点，则：， ∵，点是的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴设，则，， ∴， 设的半径长为，则， 在中，由勾股定理，得， 解得（舍去）或， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值舍去）； ∴. 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解二元一次方程组 【答案】 【解析】 【详解】解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， 方程组的解为． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 （1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断； （2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵在菱形中，， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 又∵在菱形中，， ∴， ， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 20. 某研学基地打造“未来智造”四大机器人主题体验区，分别为：A．编程机器人：B．智能服务机器人；C．拼装机器人；D．表演机器人．为了解各主题体验区的受欢迎程度，工作人员随机抽取了部分到访学生开展调查，绘制了如下不完整的统计图： （1）参与本次调查的学生总人数为_______人，喜欢D主题体验区的学生人数为________人． （2）若该研学基地全年预计有8000名学生参与体验．请根据抽样结果，估计全年喜爱A主题体验区的学生人数． 【答案】（1）， （2）估计全年喜爱A主题体验区的学生人数为名 【解析】 【分析】（）用主题学生人数除以其百分比可求出本次调查的学生总人数，进而可求出喜欢主题的学生人数； （）求出参与本次调查的学生中喜欢A主题的学生人数，用乘以喜欢A主题的学生人数占比即可求解． 【小问1详解】 解：参与本次调查的学生总人数为（人）， 喜欢主题的学生人数为（人）； 【小问2详解】 解：参与本次调查的学生中喜欢A主题的学生人数为（人）， （人）， 答：估计全年喜爱A主题体验区的学生人数为名． 21. 【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 （1）你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 （2）请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】（1） 方式一得出的近似值精确度更高 （2） 选择方式一：，选择方式二： 【解析】 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， 方式一：∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ； 方式二：∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ； ∴选择方式一：，选择方式二：． 22. 如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得．过点作的切线，交延长线于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易证垂直平分，得到，推出，再根据垂径定理得到，进而得到，推出，由切线的性质得到，证明 ，即可证明结论； （2）连接，由（1）可得 ，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，进而求出，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接， 则， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 23. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． （3）点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的点的坐标为，代入函数解析式得出，根据，，解不等式即可求解； （3）先求得抛物线与坐标轴的交点，，不重合，则，分情况讨论，当在直线上时，得出；当不在直线上时，直线与抛物线交于点和，分和两种情况讨论，分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，为 ∵在； ∴ 解得： ∵且 ∴ 解不等式 得或， 解不等式 得， 又因， ∴ ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：当时， 解得：或 ∴， ∵ ∴顶点坐标为 过点作直线轴， 则 解得： ∵不重合，则， 当在直线上时，，解得：或（舍去） 当时，，即点，直线为轴，不符合题意，则 当不在直线上时，直线与抛物线交于点和 ①当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足 或 当时，则， 当时，则； ∴或； ②当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当 时，则（矛盾，舍去） ∴ 综上所述，或或． 24. 如图1，在四边形中，，，，，平分，交于点，点在上，且． （1）如图2，当点与点重合时，求的值． （2）如图3，点在射线上，且点在点上方时，连结，． ①当时，求的长． ②若，求的最小值． 【答案】（1）． （2）①，② 【解析】 【分析】（1）当与重合时，结合条件，可以推导出该点是的中点．因为，所以，在直角三角形中，求出，利用角平分线，得，即可求解； （2）①过点作，垂足为，延长交延长线于，根据已知求出，在和中，利用勾股定理和三角函数求出、，利用角平分线+平行模型证明是等腰三角形，进而求出、，由即可求解； ②将两条分散的线段和转化到同一直线上，延长到，使，构造．得到．将的最小值转化为的最小值．根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值，即线段的长度． 【小问1详解】 解：∵当点与点重合时，． ∴， ∵， ∴， 又∵平分，即， ∴． 【小问2详解】 解：①过点作，垂足为，延长交延长线于，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵平分，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴， ②延长到，使，连接、，作垂足为，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 当、、三点公共线时，等号成立，取最小值，最小值为， 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴、、三点公共线． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】这道几何综合题主要考查了矩形性质、角平分线定理、三角函数以及最值问题中的“将军饮马”模型．这道题的解题关键在于模型的识别与转化，几何难题往往需要“化折为直”，通过构造辅助线（如全等、对称）将分散的条件集中，利用勾股定理或三角函数求解． 第（1）问是基础铺垫，考察了角平分线定义与锐角三角函数的直接计算，体现了“数形结合”中由形得数的思想． 第（2）问①考察了在复杂图形中通过已知线段关系求未知线段的能力，重点在于利用方程思想求出中间量，，再结合勾股定理和三角函数求解． 第（2）问②是典型的最短路径问题（将军饮马变式）． 核心技巧：当题目中出现   为定值，且求两条折线段之和的最小值时，通常采用构造全等三角形或轴对称的方法，将折线转化为直线． 难点突破：通过构造  ，巧妙地将  转移到了  的位置，从而将问题转化为定值条件下的直角三角形斜边最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $