第八章 概率与统计的综合问题 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义以“概率与统计的综合问题”为核心，通过题型分类框架系统梳理知识体系，将回归分析与概率、独立性检验与概率两大模块按“基础公式-实际应用-综合拓展”递进组织，用表格归纳关键公式（如相关系数、回归方程、卡方统计量）和题型特征，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“情境化问题链”练习设计，如通过景区游客量数据考查线性回归与概率综合应用，结合抽球游戏分析非线性回归模型拟合效果，培养数学建模与数据分析素养。每个例题配套残差计算、相关指数比较等方法指导，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能深化模型选择能力，为教师实施分层教学和学生自主复习提供精准支持。

第八章 概率与统计的综合问题 目录 题型1：回归分析与概率的综合问题 2 题型2：独立性检验与概率的综合问题 16 题型1：回归分析与概率的综合问题 【例1.1.】 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第x天 入园游客量y（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第3个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 【答案】(1)，相关程度很强 (2)，残差为百人 (3) 【难度】0.65 【知识点】残差的计算、相关系数的计算、利用全概率公式求概率、求回归直线方程 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 【例1.2.】 现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【难度】0.6 【知识点】求回归直线方程、求离散型随机变量的均值、非线性回归、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可； （2）设，则回归方程为，根据所给数据和公式，求出的值，再代回，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 【例1.3.】 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2025年 2026年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%）. 11 13 16 15 20 21 (1)求关于的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？ (2)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2025年的月产量（单位：万件）的分布列为 1 1.2 0.6 0.4 2026年的该公司产品的市场价格（单位：万元/件）对应的概率分布为.假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望. 参考数据：，，. 参考公式：回归直线方程为，其中：，. 【答案】(1)，2026年7月. (2)分布列见解析，3148万元. 【难度】0.68 【知识点】求回归直线方程、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，进而估计对应时间. （2）确定随机变量的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）（1）因， ，   由题意得， 而， 于是得， 所以关于的线性回归方程为， 令，即，解得， 又，所以， 故从2026年7月开始，该种产品的市场占有率超过； （2）（2）设该产品平均每月利润为万元，且，则，，，， 所以Z的可能取值为2800，3300，3400，4000， 故， ， ， ， 所以的分布列为： 2800 3300 3400 4000 0.48 0.12 0.32 0.08 故万元. 【例1.4.】 我国全面二孩政策已正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)建立变量关于的一元线性回归模型； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 参考数据：. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】求回归直线方程、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由已知求出，，利用公式求出，，即可得到关于的线性回归方程； （2）由回归方程求出预测值，可得残差的绝对值，判断是否为“次数据”，可得“次数据”和非“次数据”个数，“次数据”个数为，求出对应概率，即可列出分布列求出数学期望. 【详解】（1），， 所以， 则， ， 所以关于的一元线性回归方程为. （2）由（1）回归方程为，样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”， 由题意，列出下表， 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为“次数据” 否 是 是 否 否 则“次数据”共有2个，非“次数据”共有3个，从这5个数据中任取三个，“次数据”个数为， 则， ， ， 分布列 0 1 2 所以，数学期望为 . 【例1.5.】 “一人公司”是指个人借助工具，独立完成产品设计研发到市场投放的全链路商业闭环，某数字文化创意制作有限公司是“一人公司”，连续5个月的科技投入（万元）与利润额（万元）的数据如下： 第月 1 2 3 4 5 投入 2 2 4 5 7 利润额 3 7 10 15 20 (1)从这5个月的利润额中随机抽取3个数值，记大于9万元的数值个数为，求的分布列及均值： (2)已知与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测投入为10万元时的利润额．附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)X的分布列为： 1 2 3 均值（或1.8） (2)经验回归方程为，投入10万元时预测利润额为万元（或约29.33万元） 【难度】0.65 【知识点】求回归直线方程、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）分析出服从参数为的超几何分布，即可得出分布列及均值； （2）根据公式即可得出经验回归方程，再计算当时，的值即可求解． 【详解】（1）由题可知，5个利润额中大于9万元的共3个，不大于9万元的共2个，抽取3个数值时，的可能取值为1,2,3，服从参数为的超几何分布： ， ， ， 因此X的分布列为： 1 2 3 均值为：． （2）首先计算样本均值：， 计算最小二乘估计所需的分子、分母： ， ， 所以， 因此经验回归方程为， 当时，，即投入10万元时预测利润额为万元． 【例1.6.】 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】(1)模型①的小于模型②，模型② (2)分布列见解析， 【难度】0.85 【知识点】求离散型随机变量的均值、决定系数的计算及分析、写出简单离散型随机变量分布列、指定区间的概率 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； （2）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 【例1.7.】 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 【答案】(1) (2)，0.782． (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、求回归直线方程、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）分两种成功情况分别计算概率后相加； （2）利用最小二乘公式求回归方程参数； （3）通过分析失败概率乘积构造递推关系，结合代数变形证明不等式. 【详解】（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为． 摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为． （2）， 所以，则所求经验回归方程为． 当试验轮数足够大，即足够大时，接近于0，则接近于0.782， 故预测成功志愿者的比例为0.782． （3）依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能， 第一种可能为直接摸出白球，概率为， 第二种可能为摸出黑球后再摸出白球， 概率为， 所以， 则， 因此. 【例1.8.】 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 (1)根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． (2)据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1)①，理由见解析；. (2)①；②，． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、非线性回归、离散型随机变量的方差与标准差、二项分布的均值 【分析】（1）根据残差可选模型①，再根据题设中的数据和公式可求回归方程； （2）①根据二项分布可求，利用导数可求其最大值；②利用二项分布可求期望和方差. 【详解】（1）①理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好． 令，则，， 所以， 因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为． （2）①由题意得，， 所以 令，得， 故当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以取得最大值时对应的概率． ②由①知，当时，，即每年需要人工防治的概率为， 且服从二项分布．所以， ． 题型2：独立性检验与概率的综合问题 相关知识 1. 分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量， 提醒 (1)分类变量的不同取值仅表示个体所属的类别；(2)分类变量的取值一定是离散的； (3)分类变量是大量存在的. 2. 22列联表 假设有两个分类变量和，它们的取值分别为和，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： 总计 总计 其中是样本容量. 3. 独立性检验 (1) 随机变量，其中. (2) 利用随机变量的取值来判断分类变量和是否独立的方法,称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. (3) 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值() 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 对于小概率值，我们有如下的具体检验规则: ①当时，我们推断（零假设或原假设）不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05; ②当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立. 【例2.1.】 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2) (3)判断“检测结果”与“文本真实性”有差异 【难度】0.85 【知识点】独立性检验解决实际问题、利用全概率公式求概率、线性回归 【分析】（1）利用回归直线过样本中心可求回归系数； （2）利用全概率公式可求概率； （3）完善列联表，再根据公式计算卡方，结合临界值表判断即可. 【详解】（1）因为，且，， 故，故. （2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”， 为“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由题意知，，，，， 由全概率公式知： ， 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为. （3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异. 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异. 【例2.2.】 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： (1)请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； (2)采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望． 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 120 女 合计 130 200 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1) 认为爱好该项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 (2) 分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、完善列联表、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）先补全列联表，计算卡方统计量后与临界值比较，判断爱好运动与性别是否有关联. （2）先求男生爱好运动的概率，确定随机变量X服从二项分布，再计算分布列和数学期望. 【详解】（1）男生不爱好某项体育运动人数为； 女生总人数为，因此女生爱好某项体育运动人数为， 女生不爱好人数为；合计不爱好人数为，补全后列联表如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 设原假设：爱好该项体育运动与性别无关. 则， 由于，根据小概率值的独立性检验， 推断不成立，即认为爱好该项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）由样本数据可知，抽取1名男生，爱好该项运动的概率为. 随机抽取4名男生为4次独立重复试验，故，的可能取值为0,1,2,3,4， 则，， ，，. 分布列为： 根据二项分布期望公式，. 【例2.3.】 近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 【答案】(1) 没有90%的把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关 (2) ， (3) 答案见解析 【难度】0.72 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值 【详解】（1）由列联表可得(成绩优秀支持人数)，(成绩优秀不支持人数)，(成绩不优秀支持人数)，(成绩不优秀不支持人数)，则， 所以， 由题可知，把握对应的临界值为，因为， 所以没有把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关. （2）随机抽取一名学生，该学生为成绩优秀且支持双休的概率， 由题意得， 所以，. （3）分层抽样的抽样比为，则抽取的7人中支持双休但成绩不优秀的共人，其余共4人， 因此的可能取值为， ；；， 因此的分布列为 . 【例2.4.】 为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 (2)不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异 (3) 【难度】0.65 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意完成列联表， （2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （3）利用二项分布求解即可. 【详解】（1）由已知，列联表如下： 单位：人 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 （2）零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异. （3）甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率， 设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则， 所求概率为. 【例2.5.】 随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； (2)现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)在小概率值的独立性检验下，没有充分证据推断喜爱DeepSeek的程度与性别有关，即认为二者无关. (2)（i）；（ii） 【难度】0.52 【知识点】卡方的计算、递推法求概率、独立性检验解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据列联表数据代入卡方公式计算观测值，与临界值比较，得出独立性检验结论. （2）（i）分第一次解答代数题正确、第一次解答几何题错误两类互斥情况，由互斥事件概率加法公式计算第二次解代数题的概率. （ii）构造第次解答代数题的概率序列，推导递推关系，构造等比数列求通项，再利用期望的线性性质求和得到. 【详解】（1）零假设为：喜爱的程度与性别无关. 由列联表得， ∵ ， ∴ 代入数据得. ∵ 小概率值对应的临界值为，， ∴ 没有充分证据拒绝，即在的检验水平下，认为喜爱的程度与性别无关. （2）记“第次解答代数问题”为事件，，. （i）第2次解答代数问题包含两类互斥情况： ① 第1次解答代数问题且答案正确，概率为； ② 第1次解答几何问题且答案错误，概率为. ∵ 两类事件互斥， ∴ . （ii）由题意得，第次解答代数问题的递推关系为： ， 化简得，. 构造等比数列，令，展开得， 对比递推式得，解得. ∴ 数列是首项为，公比为的等比数列. ∴ ，即. 由期望的可加性，前次解答代数问题的总期望等于每次解答代数问题的概率之和，即 . 【例2.6.】 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】(1)能 (2)（i）；（ii）当时，建议挑战第3道题；当时，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，建议不挑战第3道题. 【难度】0.61 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）求，并与临界值对比分析，结合独立性检验思想分析判断； （2）（i）可知3道题至少答对2道题，结合独立重复事件概率公式运算求解； （ii）分别求不挑战第3道题与挑战第3道题的期望，利用作差法比较大小，即可判断. 【详解】（1）零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关， 因为， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以可以认为对航天工程的关注情况与学历有关. （2）（i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题， 所以； （ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0，400， 则，， 可知的分布列为： 0 400 所以； 若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0，200，800， 则，，， 可知的分布列为 0 200 800 所以. 令， 当时，，建议挑战第3道题； 当时，，挑战和不挑战第3道题都可以； 当时，，建议不挑战第3道题. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 概率与统计的综合问题 目录 题型1：回归分析与概率的综合问题 2 题型2：独立性检验与概率的综合问题 7 题型1：回归分析与概率的综合问题 【例1.1.】 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第x天 入园游客量y（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第3个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 【例1.2.】 现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【例1.3.】 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2025年 2026年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%）. 11 13 16 15 20 21 (1)求关于的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？ (2)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2025年的月产量（单位：万件）的分布列为 1 1.2 0.6 0.4 2026年的该公司产品的市场价格（单位：万元/件）对应的概率分布为.假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望. 参考数据：，，. 参考公式：回归直线方程为，其中：，. 【例1.4.】 我国全面二孩政策已正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)建立变量关于的一元线性回归模型； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 参考数据：. 【例1.5.】 “一人公司”是指个人借助工具，独立完成产品设计研发到市场投放的全链路商业闭环，某数字文化创意制作有限公司是“一人公司”，连续5个月的科技投入（万元）与利润额（万元）的数据如下： 第月 1 2 3 4 5 投入 2 2 4 5 7 利润额 3 7 10 15 20 (1)从这5个月的利润额中随机抽取3个数值，记大于9万元的数值个数为，求的分布列及均值： (2)已知与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测投入为10万元时的利润额．附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【例1.6.】 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【例1.7.】 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 【例1.8.】 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 (1)根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． (2)据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 题型2：独立性检验与概率的综合问题 相关知识 1. 分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量， 提醒 (1)分类变量的不同取值仅表示个体所属的类别；(2)分类变量的取值一定是离散的； (3)分类变量是大量存在的. 2. 22列联表 假设有两个分类变量和，它们的取值分别为和，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： 总计 总计 其中是样本容量. 3. 独立性检验 (1) 随机变量，其中. (2) 利用随机变量的取值来判断分类变量和是否独立的方法,称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. (3) 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值() 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 对于小概率值，我们有如下的具体检验规则: ①当时，我们推断（零假设或原假设）不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05; ②当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立. 【例2.1.】 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【例2.2.】 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： (1)请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； (2)采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望． 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 120 女 合计 130 200 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【例2.3.】 近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 (1)根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． (2)若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； (3)该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 【例2.4.】 为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【例2.5.】 随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； (2)现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【例2.6.】 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $