概率三分布数学模型思想及方法探究教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21 学科网（北京）股份有限公司 一、教学内容解析 本课题的“概率三分布”是指二项分布、超几何分布、正态分布．本课内容为新教材人教A版数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布7.4与7.5的数学模型思想及方法探究课．学生在此之前已经学习了离散型随机变量的分布列、期望、方差，并逐个学习了二项分布、超几何分布、正态分布三个概率分布（以下简称概率三分布）的相关知识及方法，本课进一步学习概率三分布的数学模型特征、联系与区别，以及简单的实际应用． 二项分布和超几何分布是最常见的两种离散型分布，是离散型概率模型的代表，正态分布则是现实世界中最常见的一种连续型分布，是概率论中最重要的一个分布．这三种概率分布数学模型有着相似的研究思路，基本的研究架构都是“现实概率问题——概率分布规律概括抽象——概率分布规律特征描述——概率分布数学模型构建——概率分布模型应用”，三个概率分布有着紧密的内在联系，但又有着本质的区别．只有厘清概率三分布的联系与区别，才能在实际问题解决中做到准确地理解模型、识别模型和应用模型．因此，本节课的教学重点是：通过实例及问题探究，让学生进一步认识理解概率三分布模型特征及联系，并会应用概率三分布模型解决简单实际问题． 本节课的学习过程中学生将借助具体实例和信息技术，在已学习的基础上对概率三分布的分布特征及模型的数学思想方法进行辨析、比较及关联，体会三个概率分布模型的联系与区别，从而提高学生数学模型识别能力和问题解决能力．本节课所学内容对学生而言具有一定挑战，故需要教师充分分析并把握好学生学情，搭好脚手架，积极引导学生开展探究活动． 概率三分布数学模型整体结构分析如下图： 二、教学目标设置 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，选择性必修概率单元的学习，可以帮助学生感悟离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象；理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布；感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量；基于随机变量及其分布解决简单的实际问题．具体内容要求为： 1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．了解正态分布的均值、方差及其含义． 根据课标和教学要求，结合我校学生情况，本课教学目标定位为： 1.学生通过具体实例，能准确辨析概率三分布不同数学模型特征及简单应用，提高识模能力． 2.学生通过现实问题直观感知，概括抽象概率分布规律，借用技术进行分布随机误差运算，模型结果比较等探究过程，体会概率三分布间的联系与区别，并能灵活运用概率三分布数学模型解决简单的实际问题，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界． 3.通过小组合作探究学习，培养学生的团队合作意识，提升学生的数学抽象、运算、建模的数学核心素养水平． 三、学生学情分析 学生已经具备的认知基础： 1.学生高一时已学完概率与统计的必修课程，积累了一定的概率统计案例知识与方法，具备一定的随机思想和模型思想； 2.学生高二学习了排列组合，随机变量的分布列及其期望、方差，以及二项分布、超几何分布、正态分布的基础知识，具备了进一步探究概率三分布的认知基础； 3.统计概率的学习有着较强的生活气息和实际背景，学生在实际生活中已经积累了一定的生活经验，对概率模型所依托的实际背景有一定的认识； 4.学生通常较害怕大段文字的阅读理解，需要对学生进行适当的引导和专门的阅读理解指导． 学生业已“各个击破”地掌握了概率三分布的基础知识，对概率三分布各自的模型特征已有所了解，但目前还未将概率三分布模型放在一起比较探究，对概率三分布的整体认识还不够深刻，对概率三分布数学模型的实际应用水平有待提高．好在学生目前已经学完概率的全部知识，具备进一步深入对概率三分布数学模型深层内部联系结构及理解的认知基础，因此，本节课的教学难点确定为：学生对概率三分布数学模型抽象方法的深入理解及模型的简单实际应用． 四、教学策略分析 基于以上分析，概率三分布数学模型思想及方法的探究是在学生已有的认知基础和能力水平情况下，选择恰当的实际问题作为探究媒介，遵循学生的思维活动进程，设置分层有梯度的问题去启发、引导学生，并给予学生充分的阅读思考和抽象思维活动的时间，充分借助信息技术的支持帮助学生进行探究和发现，通过小组合作学习，一个台阶一个台阶往上探行，让学生充分体验探究过程，体会概率数学模型在实际应用中的作用和力量． 本课主要采用的教学策略方法： 引导发现法：创设问题情境，设计有梯度、有层次的问题，调动学生的学习积极性和主动性，引导学生探索新知，实现数学模型的“再发现”． 实验探究法：实际案例中的很多数据往往不便于学生手动计算，此时可指导学生借助电子表格Excel或数学软件GeoGebra进行数据分析、计算、画图，通过动手实验，对概率三分布模型特征进行深入探究． 合作探究法：在概率三分布的模型特征分析、数学实验、模型应用等环节指导学生小组合作、互助探究、讨论交流、探究新知，培养学生的合作意识和探究能力． 五、教学条件分析 本节课从单元整体设计思想出发，科学合理安排各教学环节教学时间与教室空间分布，落实探究过程．根据我校现有的信息技术设施，充分利用我校每个教室配备的电子白板及师生都配备有的科大讯飞智慧教育平板，引入智慧课堂，基于信息技术开展教学探究活动．学生使用的平板安装有GeoGebra等数学软件，方便学生进行数据计算、数据分析和作图，为本节课有效利用信息技术辅助探究教学提供了强大的信息技术保障． 六、教学流程 （一）模型简单应用，特征深入辨析 师：同学们，前面我们已学习了离散型随机变量的分布列、期望、方差，并逐个学习了二项分布、超几何分布、正态分布三个概率分布，这些都为我们今天的学习做好了准备，首先来看3个问题（教师投影问题1~3）． 问题1：鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某病毒．如果3只鸡接种疫苗，那么恰有1只鸡感染病毒的概率为 ； 问题2：一箱10罐的饮料中有4罐有奖券，从中任意抽取2罐，则这2罐中恰有1罐有奖券的概率为 ； 问题3：设随机变量，则 ． 【设计意图】问题1~3分别改编自教材第77页练习2、第80页练习1、第87页练习1，从学生熟悉的问题入手，初步识别概率模型及应用，为下一步深入辨析概率三分布模型特征奠定模型直观感知． 教师组织学生思考，引导学生独立完成，采用个别提问的方式解答这三个问题．然后组织学生小组合作学习，对三个概率分布的模型特征进行讨论、交流、展示． 三种常见概率分布模型特征分析： 1.二项分布（） 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）． 一般地，在n重伯努利试验中，设每次实验中事件A发生的概率为p (0< p <1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为． 如果X的分布列具有上述形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作． 如果，那么． 2.超几何分布（） 不放回抽样：一般地，假设一批产品共N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 其中，． 如果X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution），记作. 如果，设，则． 3.正态分布（） 正态密度函数：，其中为参数． 标准正态分布：． 正态密度曲线（正态曲线）： 历史渊源： 早在1734年，法国数学家棣莫弗（A. De Moivre，1667~1754）在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式． 直到德国数学家高斯（C. F. Gauss，1777~1855）提出“正态误差”的理论后，正态密度函数才取得“概率分布”的身份．因此，人们也称正态分布为高斯分布． 法国数学家棣莫弗(1667~1754) 德国数学家高斯(1777~1855) 如果随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布（nomal distribution），记为． 如果，那么． 原则： ; ; ． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X一般只取中的值，这在统计学中称为原则． 【设计意图】通过小组合作学习形式，让学生对三个概率分布的模型特征从概率分布规律代数表征形式、表格方式、图象等方面进行辨析．突出整体结构思想，在各分布模型识别过程中注意各概率模型分布特点及相互联系，强化对各模型中均值、方差等参数含义的理解．重视对数学文化的渗透，在正态密度函数模型辨识过程中，增加了正态密度函数的历史发展过程关键人物介绍，体会数学家们创新性工作，同时了解知识的产生与发展过程． （二）借用信息技术，探究模型关系 师：现在我们已经明确了概率三分布的模型特征，接下来让我们借助信息技术对它们做进一步探究（投影例1）． 例1：一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）分别就逐一有放回摸球和一次性不放回摸球，求X的分布列； （2）分别就逐一有放回摸球和一次性不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率，并比较它们的大小． 思考：（1）两种不同摸球方式的概率分布分别属于哪一种概率分布模型? （2）如何理解“误差不超过0.1” ?你能用数学语言将其表示出来吗? 解析： （1）①逐一有放回摸球：每次摸到黄球概率为0.4，且各次实验结果相互独立，相当于做20次伯努利试验，因此，X的分布列为 ②一次性不放回摸球：各次实验结果不独立，，X的分布列为 （2）样本中的黄球比例是一个随机变量，误差不超过0.1的意思是，解得，分别按逐一有放回摸球和一次性不放回摸球计算． 接下来请学生利用数学软件GeoGebra中的“概率计算器”对此问题进行合作探究、展示交流． 所以. 这说明，在相同的误差限制下，采用一次性不放回摸球估计的结果更可靠些． 追问：将小球数扩大一定倍数？此时“误差不超过0.1的概率”如何变化？ 让学生小组合作，用数学软件GeoGebra进行数学实验，并讨论、交流、分享． 如：将小球数扩大10倍，即“一个袋子中有1000个大小相同的球，其中有400个黄球、600个白球，从中随机地摸出200个球作为样本． ”，此时“误差不超过0.1的概率”又如何？ 不难发现． 仍然有结论：在相同误差限制下，采用超几何分布估计的结果更可靠些． 与此同时我们会发现：此时两个概率已经很接近了，且两种分布的概率分布图也特别相似了，都很像“钟形曲线”． 总结： （1）逐一有放回抽样用二项分布，一次性不放回抽样用超几何分布；在相同误差限制下，采用超几何分布估计的结果更可靠些． （2）对于一次性不放回抽样，当n远远小于N时，每取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似． （3）超几何分布和二项分布在一定条件下可转化为正态分布（以后高等数学学习中会详细论证，这里只做感性认识、简单了解）． 【设计意图】例1选自教材第79页例6，利用GeoGebra进行数学实验，引导学生对此题进行深度思考，改变各参数的值，观察超几何分布和二项分布的变化情况，引导学生思考二项分布和超几何分布的区别与联系，了解二项分布、超几何分布与正态分布的联系． 在学生完成对例1中二项分布与超几何分布关系探究的基础上，接着引出下面实际生活案例，引导学生对正态分布模型进行深入探究学习． 例2：自动流水线上包装的食盐，每袋标准质量是400g．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量），规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．检测人员在一次产品检验中随机抽取了100袋食盐，获得误差（单位：g）的观测值如下： -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.0 1.4 0.1 4.6 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.8 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.8 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.3 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.1 2.5 3.4 -4.2 -1.1 -0.5 0.1 0.9 0.9 2.3 0.9 -0.8 -4.4 -1.1 3.9 -1.1 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 5 -0.8 -3.5 -2.7 3.1 1.4 -3.6 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.3 2.1 1.3 0.2 -0.9 （1）考虑袋装食盐是否合格 （ⅰ）从这100袋食盐中随机抽取10袋食盐看不合格袋数X的分布列和数学期望； （ⅱ）从自动流水线上随机抽取10袋食盐看不合格袋数Y的分布列和数学期望； 思考：随机变量X,Y分别服从哪一种概率分布？ （2）请各小组根据上述100个误差数据，制作100袋食盐误差的频率分布直方图． 思考：（1）为什么可用相应区间面积的大小估计概率？ （2）为什么频率分布直方图中各部分面积之和为1？ （3）考虑袋装食盐具体误差，试估计这批袋装食盐的合格率能否达到95%以上？ 思考：如何构建适当的概率模型刻画这批袋食盐的误差 Z的概率分布？ 解析：为方便使用，借助Excel对数据进行排序． （1）不合格食盐袋数有6袋．根据例1习得经验可判断出“从这100袋食盐中随机抽取10袋食盐”适合用超几何分布解决，即；“从自动流水线上随机抽取10袋食盐”可近似为二项分布，即． 在GeoGebra中选择“概率计算器”，再分别选择“超几何分布”和“二项分布”，如下图输入参数进行计算，可得到X，Y的分布列和数学期望． 注：此处教师可适当启发引导学生尝试更改食盐袋数，观察X，Y的分布列、期望、方差，进一步体会二项分布与超几何分布的联系与区别． （2）制作频率分布直方图的一般步骤为：求极差→决定组距和组数→将数据分组→列频率分布表→画频率分布直方图．计算得极差为10，可选组距为2、1、0.5等，但组数控制在5~12组为宜，故选择2和1作为组距． 给学生分小组，每个小组提供一张如下图所示《频率分布直方图小组活动卡》，学生小组合作制作出的频率分布直方图会因组距和组数不一样而有所差异． 展示、交流、反馈各小组提交的频率分布直方图． 如下图，把100个误差观测值复制到GeoGebra的“表格区”，绘制频率分布直方图，对学生的作图结果进行验证，并可适当改变组数进行观察，频率分布直方图呈现中间高、两边低的形状． （3）袋装食盐的误差是一个连续型随机变量，根据（2）中所得100袋食盐误差的频率分布直方图，用样本估计总体，可以认为袋装食盐的误差服从正态分布，接下来借助GeoGebra计算样本的均值和标准差，进一步计算这一批袋装食盐的合格率能否达到95%以上． 对（2）中用GeoGebra获得的频率分布直方图进行进一步操作，如下图，点选，将统 计数据显示出来，然后保留一位小数,可得． 在GeoGebra中选择“概率计算器”，再选择“正态分布”，输入参数进行计算，如下图，可得，故这批袋装食盐的合格率不能达到95%． 总结： （１）对于一次性不放回抽样，当抽取数n远远小于总数N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似； （２）在现实生活中，很多连续型随机变量服从或近似服从正态分布，可利用3原则帮助我们进行决策． 【设计意图】例2选自教材第83页的问题，进行深度改编，特别分组让学生动手画100袋食盐误差频率分布直方图，给学生提供坐标纸，方便简洁，返璞归真．让学生画频率分布直方图，进一步体会频率估计概率、样本估计总体的思想，增强对技术运算过程及结果的理解.利用GeoGebra进行数学实验，引导学生从不同角度思考问题，进一步体会概率三分布之间的联系与区别. （三）课堂小结，概括提高 课堂小结是课堂教学不可缺少的重要环节，根据本节课学生学习内容及学习过程，引导学生主要从以下几方面进行课堂小结： 1．通过本节课的学习，谈谈你对概率二项分布、超几何分布和正态分布间之间的联系与区别的认识。 2．学习反思：通过这节课的学习，你有何收获与提高？ 请同学们带着这两个问题，对以下小结单进行填写完善，小组讨论，交流分享本节课的学习体会． 超几何分布 二项分布 正态分布 区别 模型特征 不放回抽样 独立重复试验 典型连续型随机变量 分布记号 参数意义 ——产品总数 ——次品数量 ——抽取数量 ——实验次数 ——事件发生的概率 ——均值(左右对称) ——标准差(数据分布) 分布公式 期望 方差 联系 对于一次性不放回抽样，当n远远小于N时，每取一次后，对N的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似； 超几何分布和二项分布在一定条件下可转化为正态分布(以后高等数学中将进一步学习)． 【设计意图】引导学生对本节课所学内容和方法进行归纳概括，让学生形成较完整的概率三分布的知识、思想和方法的认知结构，进一体会概率数学模型应用的思想，充分感受数学的力量和数学的有用性． （四）作业布置，巩固提升 1．某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为，，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？ 解答：检查员的决定是有道理的．理由：当该设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为，，所以根据正态分布的性质可知产品质量在区间，即内的概率为0.9973，而产品的质量超出这个范围的概率只有0.0027，这是一个几乎不可能发生的事件．但是，检查员随机抽取的产品为，这说明设备的运行可能不正常,因此检查员的决定是有道理的． 2．一份某种意外伤害保险费为100元，保险金额为40万元．某城市的一家保险公司一年能销售2万份保单，而每一份保单需要赔付的概率为．请问：这家保险公司亏本的概率大么？ 解答：设一年内需要赔付的保单数为，则． 共可收保险费100×2=200万元，保险公司亏本等价于，即． 如下图，利用GeoGebra“概率计算器”计算得． ，所以这家保险公司亏本的概率约为0.0166，这是一个几乎不可能发生的小概率事件，故这家保险公司亏本的概率是很小的． 3．请以学习小组为单位，结合现实问题，合作设计一个应用概率三分布数学模型解决实际问题的案例． 说明：此题为开放性问题，解答从略． 【设计意图】三个课后作业形成一定的梯度和难度，让每一个学生通过作业，应用概率分布模型的水平都能得到进一步提升，进一步体验数学应用的广泛性． $$