期中培优：全概率公式与数列递推求通项公式问题综合复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

期中培优：全概率公式与数列递推求通项公式问题综合复习讲义 期中培优：全概率公式与数列递推求通项公式问题综合复习讲义 知识点解析 1、 核心解题原理 1.全概率公式本质 若事件 构成完备事件组（两两互斥、并为全集），则： · 核心作用：借助上一步的不同状态，分步拆解当下事件的概率，实现“由前推后”。 2.数列递推结合逻辑 概率随次数/阶段依次变化，设第 次（第 阶段）目标概率为 ，利用全概率，用 与 （两种对立状态）表示 ，从而建立： · 一阶线性递推、或等比型递推关系式。 3.整体核心思想 把随机状态划分为两类对立状态，用全概率写出概率转移关系，将概率问题转化为数列递推问题，再通过构造等比数列、累加法、求通项、求极限，解决概率通项、稳态概率、最值等问题。 二、标准解题思路（完整四步） 步骤 1：定义状态，设数列 根据题意划分两种核心对立状态： 设第 次/第 阶段，满足题意的概率为 ， 则对立状态概率为 。 步骤 2：利用全概率，列概率转移等式 分析状态转移规则： - 上一阶段为状态 时，转移到当前目标状态的概率； - 上一阶段为状态 时，转移到当前目标状态的概率； 由全概率公式： 代入对应转移概率，化简得到递推关系式。 步骤 3：整理递推，求数列通项 得到常见两类递推： 1. 一阶线性递推： > 解法：构造等比数列 ，求不动点 ，写出等比通项。 1. 等比递推： > 直接由等比数列通项求解。 再结合初始条件 （首项概率），写出 完整通项公式。 步骤 4：结合问题求解 · 求指定项概率：直接代 计算； · 求长期稳态概率：令 ，无穷项极限； · 范围/大小比较：利用通项单调性分析。 三、关键细节与常用结论 1. 完备事件组必为对立双态 此类题型几乎都只有两种互斥状态，简化全概率为两项相加，列式更简便。 1. 不动点（稳态）原理 对 ，稳态满足 ，解得： 即为无穷次后的稳定概率，高频考点。 1. 递推符号易错点 严格区分：从 推 ，不能颠倒先后顺序；转移概率不要写反。 1. 初始条件不能漏 首项 由题干初始情境直接算出，是求通项的必要条件。 例题分析 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·黑龙江大庆·月考）甲、乙、丙三人进行掷骰子游戏，由甲开始投掷，规则是：每次投掷时，如出现的点数是1，则由自己接着投：如果掷出的点数不是1，则由另外两个人抓阄决定谁进行投掷．如果一次投掷中，由任何两个人投掷的概率之差的绝对值小于0.001，则称此次投掷是“机会接近均等”，那么从第______次开始，三人投掷的机会接近均等． 例3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为. (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求. 例4．（2026·浙江金华·二模）某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发 射的信息第次发 射信息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 变式训练 变式1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，甲同学回答第题时答错的概率为，，当时，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·广东佛山·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是_____；甲同学第局赢的概率_____． 变式3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 变式4．（2026·浙江杭州·模拟预测）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 实战演练 1．（25-26高二下·江苏常州·月考）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 2．（24-25高二下·河南平顶山·月考）商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为__________． 3．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 4．（2026·山西太原·模拟预测）如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. (1)求； (2)用表示； (3)某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：全概率公式与数列递推求通项公式问题综合复习讲义 期中培优：全概率公式与数列递推求通项公式问题综合复习讲义 知识点解析 1、 核心解题原理 1.全概率公式本质 若事件 构成完备事件组（两两互斥、并为全集），则： · 核心作用：借助上一步的不同状态，分步拆解当下事件的概率，实现“由前推后”。 2.数列递推结合逻辑 概率随次数/阶段依次变化，设第 次（第 阶段）目标概率为 ，利用全概率，用 与 （两种对立状态）表示 ，从而建立： · 一阶线性递推、或等比型递推关系式。 3.整体核心思想 把随机状态划分为两类对立状态，用全概率写出概率转移关系，将概率问题转化为数列递推问题，再通过构造等比数列、累加法、求通项、求极限，解决概率通项、稳态概率、最值等问题。 二、标准解题思路（完整四步） 步骤 1：定义状态，设数列 根据题意划分两种核心对立状态： 设第 次/第 阶段，满足题意的概率为 ， 则对立状态概率为 。 步骤 2：利用全概率，列概率转移等式 分析状态转移规则： - 上一阶段为状态 时，转移到当前目标状态的概率； - 上一阶段为状态 时，转移到当前目标状态的概率； 由全概率公式： 代入对应转移概率，化简得到递推关系式。 步骤 3：整理递推，求数列通项 得到常见两类递推： 1. 一阶线性递推： > 解法：构造等比数列 ，求不动点 ，写出等比通项。 1. 等比递推： > 直接由等比数列通项求解。 再结合初始条件 （首项概率），写出 完整通项公式。 步骤 4：结合问题求解 · 求指定项概率：直接代 计算； · 求长期稳态概率：令 ，无穷项极限； · 范围/大小比较：利用通项单调性分析。 三、关键细节与常用结论 1. 完备事件组必为对立双态 此类题型几乎都只有两种互斥状态，简化全概率为两项相加，列式更简便。 1. 不动点（稳态）原理 对 ，稳态满足 ，解得： · 即为无穷次后的稳定概率，高频考点。 1. 递推符号易错点 严格区分：从 推 ，不能颠倒先后顺序；转移概率不要写反。 1. 初始条件不能漏 首项 由题干初始情境直接算出，是求通项的必要条件。 例题分析 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案. 【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以，即. 显然数列递减，所以当时，， 所以的最小值为. 故选：D. 例2．（24-25高二下·黑龙江大庆·月考）甲、乙、丙三人进行掷骰子游戏，由甲开始投掷，规则是：每次投掷时，如出现的点数是1，则由自己接着投：如果掷出的点数不是1，则由另外两个人抓阄决定谁进行投掷．如果一次投掷中，由任何两个人投掷的概率之差的绝对值小于0.001，则称此次投掷是“机会接近均等”，那么从第______次开始，三人投掷的机会接近均等． 【答案】6 【分析】设第次由甲投掷的概率是，由乙或丙投掷的概率均为，根据题意，分析得到数列的递推公式，继而求得其通项公式，，以及，结合题意，需使，解之即得的最小值即可 【详解】设第次由甲投掷的概率是，由乙或丙投掷的概率均为，则，， 因第次由甲投掷的概率是，，则第次由甲投掷而第次仍由甲投掷的概率是， 而第次由另两人投掷而第次由甲投掷的概率是， 则，则， 故数列为首项是，公比为的等比数列，则，即. 则， 由，即，解得，即，即从第6次开始，机会接近均等. 故答案为：6. 例3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为. (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出，，的值； （2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式； （3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出. 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， ②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，故. （2）由题意得，时，第天晨跑的事件可分为两种互斥情况：其一是第天晨跑且第天晨跑，其概率为；其二是第天不晨跑且第天晨跑（这意味着第天必须晨跑），其概率为， 所以，即，则， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，则，，，， 所以． （3）记小明前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且，因为，且对于离散型随机变量，都有， 所以 . 例4．（2026·浙江金华·二模）某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发 射的信息第次发 射信息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据条件，利用二项分布的概率公式，即可求解； （2）根据条件，利用全概率公式得，从而可得，进而可得，再由，即可求解； （3）根据条件，由（2）可得， ，进而可得，再由极限思想，即可求解；法二，直接利用极限思想得，即可求解. 【详解】（1）因为，则，，. （2）若，则，，所以， 由题知，即， 则， 又，， ， 所以，又，所以， 所以． （3）由题知，，，则， 又因为，则恒成立， 又，则， 所以， 则，所以 则，则， 所以. 法二，，，， 所以，解得. 变式训练 变式1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，甲同学回答第题时答错的概率为，，当时，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再借助单调性求出的最小值即可得解. 【详解】依题意，，当时，由，得， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即，显然数列是递增数列， 当时，，而当时，恒成立，于是， 所以的最大值为. 故选：A 变式2．（24-25高二下·广东佛山·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是_____；甲同学第局赢的概率_____． 【答案】 【分析】应用全概率公式求乙同学第2局赢的概率，根据题设得，应用构造法及等比数列的定义求通项公式即可. 【详解】记事件“第局甲赢”，则乙同学第2局赢的概率是 ， ，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， . 故答案为：； 变式3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）设教练甲接球次数为，可取，再求出、的概率，根据得到的概率，写出分布列并计算期望即可； （2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率，则，即，进而得到，再由传给学员的概率相等，即可得到． 【详解】（1）设教练甲接球次数为，可取， 球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为， ， ， 分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率， ， 且， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 又传给学员的概率相等， ． 变式4．（2026·浙江杭州·模拟预测）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 【答案】(1)； (2)；； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用全概率公式求出. （2）根据给定条件，利用全概率公式求出；再结合及构造法求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用条件概率公式列式求解. 【详解】（1）依题意，；，所以. （2）依题意，当时，，， 则，即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以的通项公式是. （3）设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出， 则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲， ， 所以. 实战演练 1．（25-26高二下·江苏常州·月考）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【答案】C 【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果， 它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A错误； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙， 甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果， 它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果， 所以概率为，故B错误； 3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确； 次传球后球在甲手上的事件记为，则有， 令，则， 于是得， 故，则， 而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以即，故D错误. 故选：C 2．（24-25高二下·河南平顶山·月考）商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为__________． 【答案】 【分析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，求得数列的通项公式，即可求得. 【详解】设小明在第天选择餐馆的概率为， 由题意可知， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 故． 故答案为：. 3．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用数列构造法及累加法求出通项公式即可. 【详解】（1）依题意，质点运动到的概率，则. （2）运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 则，即， 而，因此是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以 ， . 4．（2026·山西太原·模拟预测）如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. (1)求； (2)用表示； (3)某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先得出，然后再根据全概率公式即可求解； （2）首先根据全概率公式求出，，三个式子联立结合即可求解； （3）根据题目提示构造可得的递推公式，然后求出方程的复数根即可求解. 【详解】（1）由题意得， ， ， ， . （2）由题意可得， ，且， ， ， 又 ， ， . （3）由（2）得，设， 则，且， 由方程的根为， 可得， 则， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $